Conectividad

En matemáticas, conectividad se utiliza para referirse a varias propiedades que significan, en cierto sentido, "todas de una sola pieza". Cuando un objeto matemático tiene tal propiedad, decimos que está conectado; de lo contrario, está desconectado. Cuando un objeto desconectado se puede dividir de forma natural en piezas conectadas, cada pieza suele denominarse componente (o componente conectado).

Conectividad en topología

Se dice que un espacio topológico está conectado si no es la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos no vacíos. Un conjunto es abierto si no contiene ningún punto que se encuentre en su límite; por lo tanto, en un sentido informal e intuitivo, el hecho de que un espacio pueda dividirse en conjuntos abiertos disjuntos sugiere que el límite entre los dos conjuntos no es parte del espacio y, por lo tanto, lo divide en dos partes separadas.

Otras nociones de conectividad

Los campos de las matemáticas normalmente se ocupan de tipos especiales de objetos. A menudo se dice que un objeto de este tipo está conectado si, cuando se considera como un espacio topológico, es un espacio conectado. Por lo tanto, las variedades, los grupos de Lie y los gráficos se denominan conexos si están conectados como espacios topológicos y sus componentes son los componentes topológicos. A veces es conveniente reafirmar la definición de conectividad en tales campos. Por ejemplo, se dice que un gráfico está conectado si cada par de vértices del gráfico está unido por un camino. Esta definición es equivalente a la topológica, aplicada a grafos, pero es más fácil de tratar en el contexto de la teoría de grafos. La teoría de grafos también ofrece una medida de conexión independiente del contexto, llamada coeficiente de agrupamiento.

Otros campos de las matemáticas se ocupan de objetos que rara vez se consideran espacios topológicos. No obstante, las definiciones de conectividad a menudo reflejan el significado topológico de alguna manera. Por ejemplo, en la teoría de categorías, se dice que una categoría está conectada si cada par de objetos en ella está unido por una secuencia de morfismos. Así, una categoría está conectada si es, intuitivamente, una sola pieza.

Puede haber diferentes nociones de conexión que son intuitivamente similares, pero diferentes como conceptos formalmente definidos. Podríamos desear llamar a un espacio topológico conectado si cada par de puntos en él está unido por un camino. Sin embargo, esta condición resulta ser más fuerte que la conectividad topológica estándar; en particular, hay espacios topológicos conectados para los que esta propiedad no se cumple. Debido a esto, se utiliza una terminología diferente; Se dice que los espacios con esta propiedad están conectados por caminos. Si bien no todos los espacios conectados están conectados por caminos, todos los espacios conectados por caminos están conectados.

Los términos relacionados con conectado también se utilizan para propiedades relacionadas con la conectividad, pero claramente diferentes de ella. Por ejemplo, un espacio topológico conectado por caminos está simplemente conectado si cada bucle (camino de un punto a sí mismo) en él es contráctil; es decir, intuitivamente, si hay esencialmente una sola forma de llegar de cualquier punto a cualquier otro punto. Por lo tanto, una esfera y un disco están simplemente conectados, mientras que un toro no lo está. Como otro ejemplo, un gráfico dirigido está fuertemente conectado si cada par ordenado de vértices está unido por un camino dirigido (es decir, uno que 'sigue las flechas').

Otros conceptos expresan la forma en que un objeto no está conectado. Por ejemplo, un espacio topológico es totalmente desconectado si cada uno de sus componentes es un solo punto.

Conectividad

Propiedades y parámetros basados en la idea de conectividad a menudo implican la palabra conectividad. Por ejemplo, en la teoría de grafos, un grafo conexo es aquel del que debemos eliminar al menos un vértice para crear un grafo inconexo. En reconocimiento de esto, también se dice que dichos gráficos son 1-conectados. De manera similar, un gráfico es conexo en 2 si debemos eliminar al menos dos vértices de él para crear un gráfico desconectado. Un gráfico 3-conectado requiere la eliminación de al menos tres vértices, y así sucesivamente. La conectividad de un grafo es el número mínimo de vértices que deben eliminarse para desconectarlo. De manera equivalente, la conectividad de un gráfico es el entero mayor k para el cual el gráfico es k-conexo.

Si bien la terminología varía, las formas nominales de las propiedades relacionadas con la conectividad a menudo incluyen el término conectividad. Por lo tanto, cuando se habla de espacios topológicos simplemente conectados, es mucho más común hablar de conectividad simple que de conectividad simple. Por otro lado, en campos sin una noción definida formalmente de conectividad, la palabra puede usarse como sinónimo de conectividad.

Otro ejemplo de conectividad se puede encontrar en mosaicos regulares. Aquí, la conectividad describe la cantidad de vecinos accesibles desde un solo mosaico:

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  3-conectividad en un revestimiento triangular,

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  4-conectividad en un revestimiento cuadrado,

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  6-conectividad en un revestimiento hexagonal,

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  8-conectividad en un nivel cuadrado (nota que la igualdad de distancia no se mantiene)