Conductividad térmica

El conductividad térmica de un material es una medida de su capacidad de conducir calor. Es comúnmente denotado por k{displaystyle k}, λ λ {displaystyle lambda }, o κ κ {displaystyle kappa }.

La transferencia de calor se produce a un ritmo menor en materiales de baja conductividad térmica que en materiales de alta conductividad térmica. Por ejemplo, los metales suelen tener una alta conductividad térmica y son muy eficientes para conducir el calor, mientras que lo contrario ocurre con los materiales aislantes como la lana de roca o la espuma de poliestireno. En consecuencia, los materiales de alta conductividad térmica se usan ampliamente en aplicaciones de disipación de calor, y los materiales de baja conductividad térmica se usan como aislamiento térmico. El recíproco de la conductividad térmica se llama resistividad térmica.

La ecuación definitoria para la conductividad térmica es q=− − kSilencio Silencio T{displaystyle mathbf {q} = knabla T}, donde q{displaystyle mathbf {q} es el flujo de calor, k{displaystyle k} es la conductividad térmica, y Silencio Silencio T{displaystyle nabla T} es el gradiente de temperatura. Esto se conoce como Ley de Fourier para la conducción de calor. Aunque comúnmente se expresa como escalar, la forma más general de conductividad térmica es un tensor de segundo rango. Sin embargo, la descripción tensorial sólo se hace necesaria en materiales que son anisotrópicos.

Definición

Definición sencilla

La conductividad térmica se puede definir en términos de flujo de calor q{displaystyle q} a través de una diferencia de temperatura.

Considere un material sólido situado entre dos ambientes de diferentes temperaturas. Vamos T1{displaystyle T_{1} ser la temperatura a x=0{displaystyle x=0} y T2{displaystyle T_{2} ser la temperatura a x=L{displaystyle x=L}, y suponga T_{1}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">T2■T1{displaystyle T_{2} confíaT_{1}T_{1}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250cc00b26136105202559ce760ab12a656cb4a2" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.922ex; height:2.509ex;"/>. Una posible realización de este escenario es un edificio en un día frío de invierno: el material sólido en este caso sería la pared del edificio, separando el ambiente frío al aire libre del ambiente interior cálido.

Según la segunda ley de la termodinámica, el calor fluirá del ambiente caliente al frío ya que la diferencia de temperatura es igualada por la difusión. Esto se cuantifica en términos de flujo de calor q{displaystyle q}, que da la tasa, por área unidad, a la que el calor fluye en una dirección determinada (en este caso menos la dirección x). En muchos materiales, q{displaystyle q} se observa que es directamente proporcional a la diferencia de temperatura e inversamente proporcional a la distancia de separación L{displaystyle L.:

q=− − k⋅ ⋅ T2− − T1L.{displaystyle q=-kcdot {frac {T_{2}-T_{1} {L}}}

La constante de proporcionalidad k{displaystyle k} es la conductividad térmica; es una propiedad física del material. En el escenario actual, desde T_{1}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">T2■T1{displaystyle T_{2} confíaT_{1}T_{1}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250cc00b26136105202559ce760ab12a656cb4a2" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.922ex; height:2.509ex;"/> flujos de calor en el menos x-dirección y q{displaystyle q} es negativo, lo que a su vez significa que 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■0{displaystyle k]0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b3af208b148139eefc03f0f80fa94c38c5af45" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;"/>. En general, k{displaystyle k} siempre se define como positivo. La misma definición k{displaystyle k} también se pueden extender a los gases y líquidos, siempre que se eliminen o contabilizan otros modos de transporte energético, como la convección y la radiación.

La derivación anterior supone que la k{displaystyle k} no cambia significativamente ya que la temperatura varía de T1{displaystyle T_{1} a T2{displaystyle T_{2}. Casos en los que la variación de temperatura k{displaystyle k} no es insignificante debe abordarse utilizando la definición más general de k{displaystyle k} discutido a continuación.

Definición general

La conducción térmica se define como el transporte de energía debido al movimiento molecular aleatorio a través de un gradiente de temperatura. Se distingue del transporte de energía por convección y trabajo molecular en que no implica flujos macroscópicos ni esfuerzos internos que realicen trabajo.

El flujo de energía debido a la conducción térmica se clasifica como calor y se cuantifica por el vector q()r,t){displaystyle mathbf {q} (mathbf {r}t)}, que da el flujo de calor a la posición r{displaystyle mathbf {r} y tiempo t{displaystyle t}. Según la segunda ley de la termodinámica, el calor fluye de alta a baja temperatura. Por lo tanto, es razonable postular que q()r,t){displaystyle mathbf {q} (mathbf {r}t)} es proporcional al gradiente del campo de temperatura T()r,t){displaystyle T(mathbf {r}t)}, es decir.

q()r,t)=− − kSilencio Silencio T()r,t),{displaystyle mathbf {q} (mathbf {r}t)=-knabla T(mathbf {r}t),}

donde la constante de proporcionalidad, 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■0{displaystyle k]0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b3af208b148139eefc03f0f80fa94c38c5af45" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;"/>, es la conductividad térmica. Esto se llama ley de conducción de calor de Fourier. A pesar de su nombre, no es una ley sino una definición de conductividad térmica en términos de las cantidades físicas independientes q()r,t){displaystyle mathbf {q} (mathbf {r}t)} y T()r,t){displaystyle T(mathbf {r}t)}. Como tal, su utilidad depende de la capacidad de determinar k{displaystyle k} para un material dado en condiciones dadas. La constante k{displaystyle k} por lo general depende de T()r,t){displaystyle T(mathbf {r}t)} y así implícitamente en el espacio y el tiempo. También podría ocurrir un espacio explícito y una dependencia temporal si el material es inhomogéneo o cambia con el tiempo.

En algunos sólidos, la conducción térmica es anisotrópica, es decir, el flujo de calor no siempre es paralelo al gradiente de temperatura. Para dar cuenta de tal comportamiento, se debe utilizar una forma tensorial de la ley de Fourier:

q()r,t)=− − κ κ ⋅ ⋅ Silencio Silencio T()r,t){displaystyle mathbf {q} (mathbf {r}t)=-{boldsymbol {kappa }}cdot nabla T(mathbf {r}t)}}

Donde κ κ {displaystyle {boldsymbol {kappa } es un tensor simétrico de segundo rango llamado el tensor de conductividad térmica.

Una suposición implícita en la descripción anterior es la presencia de equilibrio termodinámico local, que permite definir un campo de temperatura T()r,t){displaystyle T(mathbf {r}t)}. Esta suposición podría ser violada en sistemas que no pueden alcanzar el equilibrio local, como podría ocurrir en presencia de una fuerte conducción de ningúnquilibrio o interacciones de largo alcance.

Otras cantidades

En la práctica de la ingeniería, es común trabajar en términos de cantidades derivadas de la conductividad térmica e implícitamente tienen en cuenta características específicas del diseño, como las dimensiones de los componentes.

Por ejemplo, conductividad térmica se define como la cantidad de calor que pasa en el tiempo de unidad a través de una placa de área particular y espesor cuando sus caras opuestas difieren en temperatura por un kelvin. Para un plato de conductividad térmica k{displaystyle k}, área A{displaystyle A} y espesor L{displaystyle L., la conducta es kA/L{displaystyle kA/L}, medido en W⋅K⁻¹. La relación entre conductividad térmica y conductividad es análoga a la relación entre conductividad eléctrica y conductividad eléctrica.

La resistencia térmica es la inversa de la conductancia térmica. Es una medida conveniente para usar en el diseño de múltiples componentes ya que las resistencias térmicas son aditivas cuando ocurren en serie.

También hay una medida conocida como el coeficiente de transferencia de calor: la cantidad de calor que pasa por unidad tiempo a través de un área de unidad de una placa de espesor particular cuando sus rostros opuestos difieren en temperatura por un kelvin. En ASTM C168-15, esta cantidad dependiente de área se denomina "conductancia térmica". El coeficiente de transferencia de calor es recíproco Insuficiencia térmica. En resumen, para un plato de conductividad térmica k{displaystyle k}, área A{displaystyle A} y espesor L{displaystyle L.,

• conductividad térmica = kA/L{displaystyle kA/L}, medido en W⋅K⁻¹.
  • Resistencia térmica = L/()kA){displaystyle L/(kA)}, medido en K⋅W⁻¹.
• coeficiente de transferencia de calor = k/L{displaystyle k/L}, medido en W⋅K⁻¹⋅m⁻².
  • insuficiencia térmica = L/k{displaystyle L/k}, medido en K⋅m²⋅W⁻¹.

El coeficiente de transferencia de calor también se conoce como admitancia térmica en el sentido de que se puede considerar que el material admite el flujo de calor.

Un término adicional, transmitancia térmica, cuantifica la conductancia térmica de una estructura junto con la transferencia de calor debido a la convección y la radiación. Se mide en las mismas unidades que la conductancia térmica ya veces se la conoce como conductancia térmica compuesta. También se utiliza el término valor U.

Finalmente, la difusividad térmica α α {displaystyle alpha } combina conductividad térmica con densidad y calor específico:

α α =k*** *** cp{displaystyle alpha ={frac {k}{rho ¿Qué?.

Como tal, cuantifica la inercia térmica de un material, es decir, la dificultad relativa de calentar un material a una temperatura dada usando fuentes de calor aplicadas en el límite.

Unidades

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la conductividad térmica se mide en vatios por metro-kelvin (W/(m⋅K)). Algunos artículos informan en vatios por centímetro-kelvin (W/(cm⋅K)).

En unidades imperiales, la conductividad térmica se mide en BTU/(h⋅ft⋅°F).

La dimensión de la conductividad térmica es M¹L¹T⁻³Θ⁻¹, expresada en términos de las dimensiones masa (M), longitud (L), tiempo (T) y temperatura (Θ).

Otras unidades que están estrechamente relacionadas con la conductividad térmica son de uso común en las industrias textil y de la construcción. La industria de la construcción utiliza medidas como el valor R (resistencia) y el valor U (transmitancia o conductancia). Aunque están relacionados con la conductividad térmica de un material utilizado en un producto o ensamblaje de aislamiento, los valores R y U se miden por unidad de área y dependen del espesor especificado del producto o ensamblaje.

Del mismo modo, la industria textil tiene varias unidades, incluidos el tog y el clo, que expresan la resistencia térmica de un material de manera análoga a los valores R utilizados en la industria de la construcción.

Medición

Hay varias formas de medir la conductividad térmica; cada uno es adecuado para una gama limitada de materiales. En términos generales, existen dos categorías de técnicas de medición: estado estable y transitorio. Las técnicas de estado estacionario infieren la conductividad térmica a partir de mediciones del estado de un material una vez que se ha alcanzado un perfil de temperatura de estado estacionario, mientras que las técnicas transitorias operan en el estado instantáneo de un sistema durante la aproximación al estado estacionario. Al carecer de un componente de tiempo explícito, las técnicas de estado estacionario no requieren un análisis de señal complicado (el estado estacionario implica señales constantes). La desventaja es que generalmente se necesita una configuración experimental bien diseñada y el tiempo requerido para alcanzar el estado estable impide una medición rápida.

En comparación con los materiales sólidos, las propiedades térmicas de los fluidos son más difíciles de estudiar experimentalmente. Esto se debe a que, además de la conducción térmica, el transporte de energía por convección y radiación suele estar presente a menos que se tomen medidas para limitar estos procesos. La formación de una capa límite aislante también puede resultar en una reducción aparente de la conductividad térmica.

Valores experimentales

Valores experimentales de conductividad térmica

Las conductividades térmicas de las sustancias comunes abarcan al menos cuatro órdenes de magnitud. Los gases generalmente tienen baja conductividad térmica y los metales puros tienen alta conductividad térmica. Por ejemplo, en condiciones estándar, la conductividad térmica del cobre es superior a 10000 veces la del aire.

De todos los materiales, los alótropos del carbono, como el grafito y el diamante, suelen tener las conductividades térmicas más altas a temperatura ambiente. La conductividad térmica del diamante natural a temperatura ambiente es varias veces mayor que la de un metal altamente conductor como el cobre (aunque el valor exacto varía según el tipo de diamante).

Las conductividades térmicas de las sustancias seleccionadas se tabulan a continuación; se puede encontrar una lista ampliada en la lista de conductividades térmicas. Estos valores son solo estimaciones ilustrativas, ya que no tienen en cuenta las incertidumbres de medición o la variabilidad en las definiciones de materiales.

Factores influyentes

Temperatura

El efecto de la temperatura sobre la conductividad térmica es diferente para metales y no metales. En los metales, la conductividad térmica se debe principalmente a los electrones libres. Siguiendo la ley de Wiedemann-Franz, la conductividad térmica de los metales es aproximadamente proporcional a la temperatura absoluta (en kelvin) multiplicada por la conductividad eléctrica. En los metales puros, la conductividad eléctrica disminuye al aumentar la temperatura y, por lo tanto, el producto de los dos, la conductividad térmica, permanece aproximadamente constante. Sin embargo, a medida que las temperaturas se acercan al cero absoluto, la conductividad térmica disminuye drásticamente. En las aleaciones, el cambio en la conductividad eléctrica suele ser menor y, por lo tanto, la conductividad térmica aumenta con la temperatura, a menudo de manera proporcional a la temperatura. Muchos metales puros tienen una conductividad térmica máxima entre 2 K y 10 K.

Por otro lado, la conductividad térmica en los no metales se debe principalmente a las vibraciones de la red (fonones). A excepción de los cristales de alta calidad a bajas temperaturas, el camino libre medio de los fonones no se reduce significativamente a temperaturas más altas. Así, la conductividad térmica de los no metales es aproximadamente constante a altas temperaturas. A bajas temperaturas muy por debajo de la temperatura de Debye, la conductividad térmica disminuye, al igual que la capacidad calorífica, debido a la dispersión de portadores por defectos.

Fase química

Cuando un material sufre un cambio de fase (por ejemplo, de sólido a líquido), la conductividad térmica puede cambiar abruptamente. Por ejemplo, cuando el hielo se derrite para formar agua líquida a 0 °C, la conductividad térmica cambia de 2,18 W/(m⋅K) a 0,56 W/(m⋅K).

Aún más dramático, la conductividad térmica de un fluido diverge en la vecindad del punto crítico vapor-líquido.

Anisotropía térmica

Algunas sustancias, como los cristales no cúbicos, pueden exhibir diferentes conductividades térmicas a lo largo de diferentes ejes de cristal. El zafiro es un ejemplo notable de conductividad térmica variable según la orientación y la temperatura, con 35 W/(m⋅K) a lo largo del eje c y 32 W/(m⋅K) a lo largo del eje a. La madera generalmente se conduce mejor a lo largo de la fibra que a través de ella. Otros ejemplos de materiales en los que la conductividad térmica varía con la dirección son los metales que se han sometido a un fuerte prensado en frío, los materiales laminados, los cables, los materiales utilizados para el sistema de protección térmica del transbordador espacial y las estructuras compuestas reforzadas con fibra.

Cuando hay anisotropía, la dirección del flujo de calor puede diferir de la dirección del gradiente térmico.

Conductividad eléctrica

En los metales, la conductividad térmica se correlaciona aproximadamente con la conductividad eléctrica según la ley de Wiedemann-Franz, ya que los electrones de valencia que se mueven libremente transfieren no solo corriente eléctrica sino también energía térmica. Sin embargo, la correlación general entre la conductancia eléctrica y térmica no es válida para otros materiales, debido a la creciente importancia de los portadores de fonones para el calor en los no metales. La plata altamente conductora de electricidad es menos conductora térmicamente que el diamante, que es un aislante eléctrico pero conduce el calor a través de fonones debido a su disposición ordenada de átomos.

Campo magnético

La influencia de los campos magnéticos en la conductividad térmica se conoce como efecto Hall térmico o efecto Righi-Leduc.

Fases gaseosas

Los componentes del sistema de escape con revestimientos cerámicos con baja conductividad térmica reducen la calefacción de componentes sensibles cercanos

En ausencia de convección, el aire y otros gases son buenos aislantes. Por lo tanto, muchos materiales aislantes funcionan simplemente por tener un gran número de bolsas llenas de gas que obstruyen las vías de conducción del calor. Ejemplos de estos incluyen poliestireno expandido y extruido (conocido popularmente como "espuma de poliestireno") y aerogel de sílice, así como ropa de abrigo. Los aislantes biológicos naturales, como la piel y las plumas, logran efectos similares al atrapar el aire en los poros, bolsas o huecos.

Los gases de baja densidad, como el hidrógeno y el helio, suelen tener una alta conductividad térmica. Los gases densos como el xenón y el diclorodifluorometano tienen una conductividad térmica baja. Una excepción, el hexafluoruro de azufre, un gas denso, tiene una conductividad térmica relativamente alta debido a su alta capacidad calorífica. El argón y el criptón, gases más densos que el aire, se utilizan a menudo en acristalamientos aislantes (ventanas de doble panel) para mejorar sus características de aislamiento.

La conductividad térmica a través de materiales a granel en forma porosa o granular se rige por el tipo de gas en la fase gaseosa, y su presión. A bajas presiones se reduce la conductividad térmica de una fase gaseosa, con este comportamiento gobernado por el número Knudsen, definido como Kn=l/d{displaystyle K_{n}=l/d, donde l{displaystyle l} es el camino libre de las moléculas de gas y d{displaystyle d} es el tamaño de la brecha típica del espacio lleno por el gas. En un material granular d{displaystyle d} corresponde al tamaño característico de la fase gaseosa en los poros o espacios intergranulares.

Pureza isotópica

La conductividad térmica de un cristal puede depender en gran medida de la pureza isotópica, suponiendo que otros defectos de la red sean insignificantes. Un ejemplo notable es el diamante: a una temperatura de alrededor de 100 K, la conductividad térmica aumenta de 10 000 W·m⁻¹·K⁻¹ para el diamante natural de tipo IIa (98,9 % 12C), a 41.000 para un diamante sintético enriquecido al 99,9 %. Se predice un valor de 200.000 para 99,999 % de 12C a 80 K, suponiendo un cristal por lo demás puro. La conductividad térmica del nitruro de boro cúbico enriquecido isotópicamente al 99 % es ~ 1400 W·m⁻¹·K⁻¹, que es un 90 % más alta que la del nitruro de boro natural.

Orígenes moleculares

Los mecanismos moleculares de la conducción térmica varían entre los diferentes materiales y, en general, dependen de los detalles de la estructura microscópica y las interacciones moleculares. Como tal, la conductividad térmica es difícil de predecir a partir de los primeros principios. Cualquier expresión de conductividad térmica que sea exacta y general, p. las relaciones de Green-Kubo son difíciles de aplicar en la práctica, y generalmente consisten en promedios sobre funciones de correlación de múltiples partículas. Una excepción notable es un gas diluido monoatómico, para el cual existe una teoría bien desarrollada que expresa la conductividad térmica de manera precisa y explícita en términos de parámetros moleculares.

En un gas, la conducción térmica está mediada por colisiones moleculares discretas. En una imagen simplificada de un sólido, la conducción térmica ocurre por dos mecanismos: 1) la migración de electrones libres y 2) vibraciones de red (fonones). El primer mecanismo domina en los metales puros y el segundo en los sólidos no metálicos. En los líquidos, por el contrario, los mecanismos microscópicos precisos de la conducción térmica son poco conocidos.

Gases

En un modelo simplificado de gas monatomico diluido, las moléculas se modelan como esferas rígidas que están en movimiento constante, colisionando elásticamente entre sí y con las paredes de sus contenedores. Considere tal gas a temperatura T{displaystyle T} y con densidad *** *** {displaystyle rho }, calor específico cv{displaystyle c_{v} y masa molecular m{displaystyle m}. Bajo estos supuestos, un cálculo elemental produce para la conductividad térmica

k=β β *** *** λ λ cv2kBTπ π m,{displaystyle k=beta rho lambda ¿Qué? #

Donde β β {displaystyle beta } es una constante numérica del orden 1{displaystyle 1}, kB{displaystyle k_{text{B}} es la constante de Boltzmann, y λ λ {displaystyle lambda } es el camino medio libre, que mide la distancia media de una molécula viaja entre colisiones. Desde λ λ {displaystyle lambda } es inversamente proporcional a la densidad, esta ecuación predice que la conductividad térmica es independiente de la densidad para la temperatura fija. La explicación es que la densidad creciente aumenta el número de moléculas que transportan energía pero disminuye la distancia promedio λ λ {displaystyle lambda } una molécula puede viajar antes de transferir su energía a una molécula diferente: estos dos efectos se cancelan. Para la mayoría de los gases, esta predicción está de acuerdo con experimentos con presiones de hasta 10 ambientes. Por otro lado, los experimentos muestran un aumento más rápido con temperatura que con temperatura. k∝ ∝ T{displaystyle kpropto {sqrt}} (aquí, λ λ {displaystyle lambda } es independiente de T{displaystyle T}). Este fracaso de la teoría elemental se puede rastrear al modelo de "esfera elástica" sobreimprimido, y en particular al hecho de que las atracciones interpartículas, presentes en todos los gases del mundo real, son ignoradas.

Para incorporar interacciones más complejas, es necesario adoptar un enfoque sistemático. Un enfoque de este tipo es proporcionado por la teoría Chapman-Enskog, que deriva expresiones explícitas para la conductividad térmica a partir de la ecuación Boltzmann. La ecuación Boltzmann, a su vez, proporciona una descripción estadística de un gas diluido para genérico genérico interparticle interactions. Para un gas monatómico, expresiones para k{displaystyle k} derivado de esta manera tomar la forma

k=2532π π mkBTπ π σ σ 2Ω Ω ()T)cv,{displaystyle k={frac {25}{32}{frac {sqrt {sqrt {f} {f}} {fnK}} {f}}}} {fnf}fnf}fnf}fnK} {f}fnfnKf}} {f}f}f}f}}}}}f}f}}fnfnfnf}fnfnfnfnfnfnKfnKfnKfnKfnKf}fnf}fnfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}}}f}}}}}}}fn ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

Donde σ σ {displaystyle sigma } es un diámetro de partículas eficaz y Ω Ω ()T){displaystyle Omega (T)} es una función de temperatura cuya forma explícita depende de la ley de interacción entre partículas. Para las esferas elásticas rígidas, Ω Ω ()T){displaystyle Omega (T)} es independiente de T{displaystyle T} y muy cerca 1{displaystyle 1}. Las leyes de interacción más complejas introducen una dependencia de temperatura débil. La naturaleza precisa de la dependencia no siempre es fácil de discernir, sin embargo, como Ω Ω ()T){displaystyle Omega (T)} se define como una integral multidimensional que puede no ser expresible en términos de funciones elementales. Una forma alternativa y equivalente de presentar el resultado es en términos de viscosidad de gas μ μ {displaystyle mu }, que también se puede calcular en el enfoque Chapman–Enskog:

k=fμ μ cv,{displaystyle k=fmu c_{v},}

Donde f{displaystyle f} es un factor numérico que en general depende del modelo molecular. Para moléculas esféricamente simétricas lisas, sin embargo, f{displaystyle f} es muy cercano 2.5{displaystyle 2.5}, no desviando por más que 1% % {displaystyle 1%} para una variedad de leyes de la fuerza interpartida. Desde k{displaystyle k}, μ μ {displaystyle mu }, y cv{displaystyle c_{v} son cada una de las cantidades físicas bien definidas que se pueden medir independientes entre sí, esta expresión proporciona una prueba conveniente de la teoría. Para los gases monatámicos, como los gases nobles, el acuerdo con el experimento es bastante bueno.

Para los gases cuyas moléculas no son esféricamente simétricas, la expresión k=fμ μ cv{displaystyle k=fmu c_{v} Todavía aguanta. Sin embargo, en contraste con moléculas simétricas esféricas f{displaystyle f} varía significativamente dependiendo de la forma particular de las interpartículas interacciones: esto es resultado de los intercambios energéticos entre los grados internos y traduccionales de la libertad de las moléculas. Un tratamiento explícito de este efecto es difícil en el enfoque Chapman–Enskog. Suplentemente, la expresión aproximada f=()1/4)()9γ γ − − 5){displaystyle f=(1/4){(9gamma -5)} fue sugerido por Eucken, donde γ γ {displaystyle gamma } es la relación de capacidad de calor del gas.

La totalidad de esta sección asume el camino libre medio λ λ {displaystyle lambda } es pequeño en comparación con las dimensiones macroscópicas (sistema). En gases extremadamente diluidos esta suposición falla, y la conducción térmica se describe en su lugar por una conductividad térmica aparente que disminuye con densidad. En última instancia, como la densidad va hacia 0{displaystyle 0} el sistema se acerca a un vacío, y la conducción térmica cesa totalmente.

Líquidos

Los mecanismos exactos de la conducción térmica son poco conocidos en los líquidos: no existe una imagen molecular que sea a la vez simple y precisa. Un ejemplo de una teoría simple pero muy aproximada es la de Bridgman, en la que a un líquido se le atribuye una estructura molecular local similar a la de un sólido, es decir, con moléculas ubicadas aproximadamente en una red. Los cálculos elementales conducen entonces a la expresión

k=3()NA/V)2/3kBvs,{displaystyle k=3(N_{text{A}/V)^{2/3}k_{text{B}v_{text{s}}}}

Donde NA{displaystyle N_{text{A}} es la constante Avogadro, V{displaystyle V} es el volumen de un topo de líquido, y vs{displaystyle v_{text{s}} es la velocidad del sonido en el líquido. Esto se llama comúnmente Ecuación de Bridgman.

Metales

Para metales a bajas temperaturas el calor es transportado principalmente por los electrones libres. En este caso, la velocidad media es la velocidad de Fermi, que es independiente de la temperatura. El camino libre medio está determinado por las impurezas y las imperfecciones del cristal, que también son independientes de la temperatura. Entonces, la única cantidad que depende de la temperatura es la capacidad calorífica c, que, en este caso, es proporcional a T. Entonces

k=k0T(metal a baja temperatura){displaystyle k=k_{0}}}

con k₀ una constante. Para metales puros, k₀ es grande, por lo que la conductividad térmica es alta. A temperaturas más altas, el camino libre medio está limitado por los fonones, por lo que la conductividad térmica tiende a disminuir con la temperatura. En las aleaciones la densidad de las impurezas es muy alta, por lo que l y, en consecuencia, k, son pequeñas. Por lo tanto, las aleaciones, como el acero inoxidable, se pueden utilizar para el aislamiento térmico.

Ondas de celosía

El transporte de calor en sólidos dieléctricos amorfos y cristalinos se realiza mediante vibraciones elásticas de la red (es decir, fonones). Se teoriza que este mecanismo de transporte está limitado por la dispersión elástica de los fonones acústicos en los defectos de red. Esto ha sido confirmado por los experimentos de Chang y Jones en vidrios comerciales y vitrocerámicas, donde se encontró que los caminos libres medios estaban limitados por la "dispersión del límite interno". a escalas de longitud de 10⁻² cm a 10⁻³ cm.

El phonon significa camino libre se ha asociado directamente con la longitud de relajación efectiva para procesos sin correlación direccional. Si V_g es la velocidad de grupo de un paquete de onda fonón, luego la longitud de relajación l{displaystyle l;} se define como:

l=Vgt{displaystyle No.

donde t es el tiempo de relajación característico. Dado que las ondas longitudinales tienen una velocidad de fase mucho mayor que las ondas transversales, V_long es mucho mayor que V_trans, y la longitud de relajación o el camino libre medio de los fonones longitudinales será mucho mayor. Por lo tanto, la conductividad térmica estará determinada en gran medida por la velocidad de los fonones longitudinales.

Con respecto a la dependencia de la velocidad de la onda en la longitud de onda o la frecuencia (dispersión), los fonones de baja frecuencia de longitud de onda larga estarán limitados en la longitud de relajación por la dispersión elástica de Rayleigh. Este tipo de dispersión de luz de pequeñas partículas es proporcional a la cuarta potencia de la frecuencia. Para frecuencias más altas, la potencia de la frecuencia disminuirá hasta que en las frecuencias más altas la dispersión sea casi independiente de la frecuencia. Posteriormente, se generalizaron argumentos similares a muchas sustancias formadoras de vidrio utilizando la dispersión de Brillouin.

Phonons en la rama acústica dominan la conducción de calor fonón ya que tienen mayor dispersión energética y por lo tanto una mayor distribución de velocidades de fonón. Modos ópticos adicionales también podrían ser causados por la presencia de estructura interna (es decir, carga o masa) en un punto de celo; es implícito que la velocidad de grupo de estos modos es baja y por lo tanto su contribución a la conductividad térmica de la celosía λ_L ()κ κ {displaystyle kappa }_L) es pequeño.

Cada modo de fonón se puede dividir en una rama de polarización longitudinal y dos transversales. Extrapolando la fenomenología de los puntos reticulares a las celdas unitarias se ve que el número total de grados de libertad es 3pq cuando p es el número de celdas primitivas con q átomos/celda unitaria. De estos, solo 3p están asociados con los modos acústicos, los 3p(q − 1) restantes se acomodan a través de las ramas ópticas. Esto implica que las estructuras con p y q mayores contienen un mayor número de modos ópticos y un λ_L reducido.

De estas ideas, se puede concluir que el aumento de la complejidad del cristal, que se describe mediante un factor de complejidad CF (definido como el número de átomos/celda unitaria primitiva), disminuye λ_L. Esto se hizo asumiendo que el tiempo de relajación τ disminuye con el aumento del número de átomos en la celda unitaria y luego escalando los parámetros de la expresión de conductividad térmica a altas temperaturas en consecuencia.

Describir los efectos anarmónicos es complicado porque no es posible un tratamiento exacto como en el caso armónico, y los fonones ya no son soluciones propias exactas de las ecuaciones de movimiento. Incluso si el estado de movimiento del cristal pudiera describirse con una onda plana en un momento determinado, su precisión se deterioraría progresivamente con el tiempo. El desarrollo del tiempo tendría que describirse introduciendo un espectro de otros fonones, lo que se conoce como decaimiento de fonones. Los dos efectos anarmónicos más importantes son la expansión térmica y la conductividad térmica de fonones.

Solo cuando el número de fonones ‹n› se desvía del valor de equilibrio ‹n›⁰, puede surgir una corriente térmica como se indica en la siguiente expresión

Qx=1V.. q,j▪ ▪ ⋅ ⋅ ().n.− − .n.0)vx,{displaystyle Q_{x}={frac {1}{V}sum _{q,j}{hslash omega left(leftlangle nrightrangle - {leftlangle nrightrangle ¿Qué?

donde v es la velocidad de transporte de energía de los fonones. Solo existen dos mecanismos que pueden causar la variación temporal de ‹n› en una región particular. El número de fonones que se difunden hacia la región desde las regiones vecinas difiere de los que se difunden hacia afuera, o los fonones se descomponen dentro de la misma región en otros fonones. Una forma especial de la ecuación de Boltzmann

d.n.dt=()∂ ∂ .n.∂ ∂ t)Diff.+()∂ ∂ .n.∂ ∂ t)decaimiento{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc {leftlangle nrightrangle }{partial t}}}}}text{diff}}}}}}}+{fnMicroc {erightleft}{left}{erightleft}}{}{}{}{}{erighti}{p}{p}}{c}{c}{c}{c}c}{c}{c}c}{c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}cc}c}c}c}c}c}c}ccc}ccc}ccc}c}c}

afirma esto. Cuando se suponen condiciones de estado estacionario, la derivada temporal total del número de fonones es cero, porque la temperatura es constante en el tiempo y, por lo tanto, el número de fonones también permanece constante. La variación del tiempo debida al decaimiento del fonón se describe con una aproximación del tiempo de relajación (τ)

()∂ ∂ .n.∂ ∂ t)decaimiento=− − .n.− − .n.0τ τ ,{displaystyle {left({frac {partial leftlangle nrightrangle }{partial t}}right)}_{text{decay}=-{text{text{ {fnMicroc {leftlangle nrightrangle -{leftlangle nrightrangle } {0} {tau }}}} {tau }}}}

que establece que cuanto más se desvía el número de fonones de su valor de equilibrio, más aumenta su variación en el tiempo. En condiciones de estado estacionario y se supone equilibrio térmico local, obtenemos la siguiente ecuación

()∂ ∂ ()n)∂ ∂ t)Diff.=− − vx∂ ∂ ()n)0∂ ∂ T∂ ∂ T∂ ∂ x.{displaystyle {left({frac {partial left(nright)}{partial t}right)}_{text{diff}}}=-{v}{x}{frac}{frac} {fnMicroc} {partial {left(nright)}{0}{partial T}{frac {partial T}{text{}}}}}}}} {text{}}}}}} {fnMicroel {fnMicroel}} {fnMicroel {fnMicroel}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {m}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}} {f}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Usando la aproximación del tiempo de relajación para la ecuación de Boltzmann y suponiendo condiciones de estado estable, se puede determinar la conductividad térmica del fonón λ_L. La dependencia de la temperatura para λ_L se origina en la variedad de procesos, cuya importancia para λ_L depende de la temperatura rango de interés. El camino libre medio es un factor que determina la dependencia de la temperatura para λ_L, como se indica en la siguiente ecuación

λ λ L=13V.. q,jv()q,j)▪ ▪ ()q,j)∂ ∂ ∂ ∂ Tε ε ()⋅ ⋅ ()q,j),T),{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft}\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }_{L}={frac {1} {3V}}sum _{q,j}vleft(q,jright)Lambda left(q,jright){frac {partial }{epsilon left(omega left(q,jright),Tright),}}epsilon left(omega)

donde ≥ es el camino libre medio para el fonón y ∂ ∂ ∂ ∂ Tε ε {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} } {partial T}epsilon } denota la capacidad de calor. Esta ecuación es el resultado de combinar las cuatro ecuaciones anteriores entre sí y saber que .vx2.=13v2{displaystyle leftlangle {fnMicroc {1}v^{2}} para sistemas cúbicos o isotrópicos y ▪ ▪ =vτ τ {displaystyle Lambda =vtau }.

A bajas temperaturas (< 10 K), la interacción anarmónica no influye en el camino libre medio y, por lo tanto, la resistividad térmica se determina solo a partir de procesos para los que no se cumple la conservación de q. Estos procesos incluyen la dispersión de fonones por defectos del cristal, o la dispersión desde la superficie del cristal en el caso de monocristales de alta calidad. Por tanto, la conductancia térmica depende de las dimensiones externas del cristal y de la calidad de la superficie. Por lo tanto, la dependencia de la temperatura de λ_L está determinada por el calor específico y, por lo tanto, es proporcional a T³.

Phonon quasimomentum se define como q y difiere del impulso normal porque sólo se define dentro de un vector de la tracción recíproca arbitraria. A temperaturas superiores (10 K) T. .), la conservación de la energía ▪ ▪ ⋅ ⋅ 1=▪ ▪ ⋅ ⋅ 2+▪ ▪ ⋅ ⋅ 3{displaystyle hslash {omega }_{1}=hslash {omega }_{2}+hslash {omega } y quasimomentum q1=q2+q3+G{displaystyle mathbf {q} ¿Qué? ¿Qué? _{3}+mathbf {G}, donde q₁ es vector de onda del incidente phonon y q₂, q₃ son vectores de onda de los phonons resultantes, también puede implicar un vector de celo recíproco G complicando el proceso de transporte energético. Estos procesos también pueden revertir la dirección del transporte energético.

Por lo tanto, estos procesos también se conocen como procesos Umklapp (U) y sólo pueden ocurrir cuando fonones con suficientemente grande q- Los vencedores están emocionados, porque a menos que la suma de q₂ y q₃ puntos fuera de la zona de Brillouin se conserva el impulso y el proceso es la dispersión normal (proceso N). La probabilidad de que un fono tenga energía E es dada por la distribución Boltzmann P∝ ∝ e− − E/kT{displaystyle Ppropto {e}{-E/kT}. Para U-proceso para ocurrir el phonon decadente para tener un vector de onda q₁ que es aproximadamente la mitad del diámetro de la zona de Brillouin, porque de lo contrario el quasimomentum no se conservaría.

Por lo tanto, estos fonones tienen que poseer energía de ♪ ♪ k.. /2{displaystyle sim kTheta /2}, que es una fracción significativa de la energía Debye que se necesita para generar nuevos fofones. La probabilidad de esto es proporcional a e− − .. /bT{fnMicrosoft Sans Serif} Theta /b T}, con b=2{displaystyle b=2}. La dependencia de la temperatura del camino libre medio tiene una forma exponencial e.. /bT{fnMicrosoft Sans Serif} Theta /bT}. La presencia del vector recíproco de onda de celosía implica un backscattering phonon neto y una resistencia al phonon y al transporte térmico resultante finito λ_L, ya que significa que el impulso no se conserva. Sólo los procesos de impulso no conservadores pueden causar resistencia térmica.

A altas temperaturas (T не не, el camino libre medio y por lo tanto λ_L tiene una dependencia de temperatura T⁻¹, a la que llega de fórmula e.. /bT{fnMicrosoft Sans Serif} Theta /bT} haciendo la siguiente aproximación <math alttext="{displaystyle {e}^{x}propto x{text{ }},{text{ }}left(xright)ex∝ ∝ x,()x).1{displaystyle {e}{x}propto x{text{ },{text{ }left(xright)se1}<img alt="{displaystyle {e}^{x}propto x{text{ }},{text{ }}left(xright) y escritura x=.. /bT{displaystyle x=Theta /bT}. Esta dependencia se conoce como ley de Eucken y se origina de la dependencia de temperatura de la probabilidad de que ocurra el proceso U.

La conductividad térmica generalmente se describe mediante la ecuación de Boltzmann con la aproximación del tiempo de relajación en la que la dispersión de fonones es un factor limitante. Otro enfoque es utilizar modelos analíticos o dinámica molecular o métodos basados en Monte Carlo para describir la conductividad térmica en sólidos.

Los fonones de longitud de onda corta se dispersan fuertemente por los átomos de impureza si está presente una fase aleada, pero los fonones de longitud de onda media y larga se ven menos afectados. Los fonones de longitud de onda media y larga transportan una fracción significativa de calor, por lo que para reducir aún más la conductividad térmica de la red, se deben introducir estructuras para dispersar estos fonones. Esto se logra mediante la introducción del mecanismo de dispersión de la interfaz, que requiere estructuras cuya longitud característica sea mayor que la del átomo de impureza. Algunas formas posibles de realizar estas interfaces son los nanocompuestos y las nanopartículas o estructuras incrustadas.

Predicción

Debido a que la conductividad térmica depende continuamente de cantidades como la temperatura y la composición del material, no se puede caracterizar por completo mediante un número finito de mediciones experimentales. Las fórmulas predictivas se vuelven necesarias si los valores experimentales no están disponibles bajo las condiciones físicas de interés. Esta capacidad es importante en las simulaciones termofísicas, donde cantidades como la temperatura y la presión varían continuamente con el espacio y el tiempo, y pueden abarcar condiciones extremas inaccesibles para la medición directa.

En fluidos

Para los fluidos más simples, como los gases monoatómicos diluidos y sus mezclas, los cálculos mecánicos cuánticos ab initio pueden predecir con precisión la conductividad térmica en términos de propiedades atómicas fundamentales, es decir, sin hacer referencia a las mediciones existentes de conductividad térmica u otras propiedades de transporte. Este método utiliza la teoría de Chapman-Enskog para evaluar una expansión de conductividad térmica de baja densidad. La teoría de Chapman-Enskog, a su vez, toma como entrada los potenciales intermoleculares fundamentales, que se calculan ab initio a partir de una descripción mecánica cuántica.

Para la mayoría de los fluidos, estos cálculos de principios básicos de alta precisión no son factibles. Más bien, las expresiones teóricas o empíricas deben ajustarse a las medidas de conductividad térmica existentes. Si tal expresión se ajusta a datos de alta fidelidad en un amplio rango de temperaturas y presiones, entonces se denomina "correlación de referencia" para ese material. Se han publicado correlaciones de referencia para muchos materiales puros; ejemplos son el dióxido de carbono, el amoníaco y el benceno. Muchos de estos cubren rangos de temperatura y presión que abarcan fases gaseosas, líquidas y supercríticas.

El software de modelado termofísico a menudo se basa en correlaciones de referencia para predecir la conductividad térmica a la temperatura y la presión especificadas por el usuario. Estas correlaciones pueden ser propietarias. Los ejemplos son REFPROP (propietario) y CoolProp (código abierto).

La conductividad térmica también se puede calcular mediante las relaciones de Green-Kubo, que expresan los coeficientes de transporte en términos de estadísticas de trayectorias moleculares. La ventaja de estas expresiones es que son formalmente exactas y válidas para sistemas generales. La desventaja es que requieren un conocimiento detallado de las trayectorias de las partículas, disponible solo en simulaciones computacionalmente costosas como la dinámica molecular. También se requiere un modelo preciso para las interacciones entre partículas, que puede ser difícil de obtener para moléculas complejas.

En sólidos