Condiciones de Rankine-Hugoniot

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Concepto en física

Las condiciones de Rankine-Hugoniot, también conocidas como condiciones de salto de Rankine-Hugoniot o relaciones de Rankine-Hugoniot, describen la relación entre las estados a ambos lados de una onda de choque o de una onda de combustión (deflagración o detonación) en un flujo unidimensional en fluidos o una deformación unidimensional en sólidos. Reciben su nombre en reconocimiento al trabajo realizado por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine y el ingeniero francés Pierre Henri Hugoniot.

En un sistema de coordenadas que se mueve con la discontinuidad, las condiciones de Rankine-Hugoniot se pueden expresar como:

${displaystyle rho _{1},u_{1}=rho _{2},u_{2}equiv m}$	Conservación de las masas
${displaystyle rho _{1},u_{1}^{2}+p_{1}=rho _{2},u_{2}^{2}+p_{2}}$	Conservación del impulso
${displaystyle h_{1}+{frac {1}{2}}u_{1}^{2}=h_{2}+{frac {1}{2}}u_{2}^{2}}$	Conservación de la energía

donde m es el caudal másico por unidad de área, ρ₁ y ρ₂ son la densidad de masa del fluido aguas arriba y aguas abajo de la onda, u₁ y u₂ son la velocidad del fluido aguas arriba y aguas abajo de la onda, p₁ y p₂ son las presiones en el dos regiones, y h₁ y h₂ son las específicas (con el sentido de entalpías por unidad de masa) en las dos regiones. Si además el flujo es reactivo, entonces las ecuaciones de conservación de especies exigen que

{displaystyle omega _{i,1}=omega _{i,2}=0,quad i=1,2,3,dotsN,qquad {text{Conservation of species}}}

para desaparecer tanto aguas arriba como aguas abajo de la discontinuidad. Aquí, $omega$ es la tasa de producción masiva de la i-la especie total N especies involucradas en la reacción. Combinar la conservación de la masa y el impulso nos da

{displaystyle {frac {p_{2}-p_{1}}{1/rho _{2}-1/rho _{1}}}=-m^{2}}

que define una línea recta conocida como Michelson-Rayleigh line, nombrado por Albert A. Michelson y Lord Rayleigh, que tiene una pendiente negativa (desde $m^{2}$ es siempre positivo) en el ${displaystyle p-rho ^{-1}}$ avión. Utilizando las ecuaciones Rankine-Hugoniot para la conservación de la masa y el impulso para eliminar u₁ y u₂, la ecuación para la conservación de la energía se puede expresar como la ecuación de Hugoniot:

{displaystyle h_{2}-h_{1}={frac {1}{2}},left({frac {1}{rho _{2}}}+{frac {1}{rho _{1}}}right),(p_{2}-p_{1}).}

El inverso de la densidad también se puede expresar como el volumen específico, ${displaystyle v=1/rho }$ . Junto con estos, hay que especificar la relación entre la ecuación de estado de corriente y aguas abajo

{displaystyle f(p_{1},rho _{1},T_{1},Y_{i,1})=f(p_{2},rho _{2},T_{2},Y_{i,2})}

Donde $Y_{i}$ es la fracción de masa de la especie. Finalmente, la ecuación calórica del estado ${displaystyle h=h(p,rhoY_{i})}$ se supone que se sabe, es decir,

{displaystyle h(p_{1},rho _{1},Y_{i,1})=h(p_{2},rho _{2},Y_{i,2}).}

Relaciones Rankine-Hugoniot simplificadas

Se hacen las siguientes suposiciones para simplificar las ecuaciones de Rankine-Hugoniot. Se supone que la mezcla obedece la ley de los gases ideales, de modo que la relación entre la ecuación de estado aguas abajo y aguas arriba puede escribirse como

{displaystyle {frac {p_{2}}{rho _{2}T_{2}}}={frac {p_{1}}{rho _{1}T_{1}}}={frac {R}{overline {W}}}}

Donde $R$ es la constante del gas universal y el peso molecular medio $overline W$ se supone que es constante (otros, $overline W$ dependería de la fracción de masa de todas las especies). Si uno asume que el calor específico a presión constante $c_{p}$ es también constante a través de la onda, el cambio en las enthalpies (ecuación calórica del estado) puede ser simplemente escrito como

{displaystyle h_{2}-h_{1}=-q+c_{p}(T_{2}-T_{1})}

donde el primer término en la expresión anterior representa la cantidad de calor liberado por unidad de masa de la mezcla aguas arriba por la ola y el segundo término representa el calentamiento sensible. Eliminando la temperatura usando la ecuación de estado y sustituyendo la expresión anterior por el cambio de entalpías en la ecuación de Hugoniot, se obtiene una ecuación de Hugoniot expresada solo en términos de presión y densidades.

{displaystyle left({frac {gamma }{gamma -1}}right)left({frac {p_{2}}{rho _{2}}}-{frac {p_{1}}{rho _{1}}}right)-{frac {1}{2}}left({frac {1}{rho _{2}}}+{frac {1}{rho _{1}}}right)(p_{2}-p_{1})=q,}

Donde $gamma$ es la relación de calor específica. Curva de Hugoniot sin liberación de calor $q=0$ A menudo se llama Shock Hugoniot. Junto con la ecuación de línea Rayleigh, la ecuación anterior determina completamente el estado del sistema. Estas dos ecuaciones se pueden escribir compactamente introduciendo las siguientes escalas no dimensionales,

{displaystyle {tilde {p}}={frac {p_{2}}{p_{1}}},quad {tilde {v}}={frac {rho _{1}}{rho _{2}}},quad alpha ={frac {qrho _{1}}{p_{1}}},quad mu ={frac {m^{2}}{p_{1}rho _{1}}}.}

Did you mean:

The Rayleigh line equation and the Hugoniot equation that simplifies to

{displaystyle {begin{aligned}{frac {{tilde {p}}-1}{{tilde {v}}-1}}&=-mu \{tilde {p}}&={frac {[2alpha +(gamma +1)/(gamma -1)]-{tilde {v}}}{[(gamma +1)/(gamma -1)]{tilde {v}}-1}}.end{aligned}}}

Teniendo en cuenta las condiciones preliminares, la intersección de las dos ecuaciones anteriores en las ${displaystyle {tilde {v}}}$ - ${displaystyle {tilde {p}}}$ el plano determina las condiciones de aguas abajo; en el ${displaystyle {tilde {v}}}$ - ${displaystyle {tilde {p}}}$ plano, la condición de arriba corresponde al punto ${displaystyle ({tilde {v}},{tilde {p}})=(1,1)}$ . Si no se produce liberación de calor, por ejemplo, ondas de choque sin reacción química, entonces $alpha =0$ . El Hugoniot curvas asintote a las líneas ${displaystyle {tilde {v}}=(gamma -1)/(gamma +1)}$ y ${displaystyle {tilde {p}}=-(gamma -1)/(gamma +1)}$ , que se representan como líneas desgarradas en la figura. Como se menciona en la figura, sólo se permite la región blanca atada por estos dos asintotos para que $mu$ es positivo. Las ondas de choque y las detonaciones corresponden a la región blanca superior izquierda donde $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p~ ~ ■1{displaystyle {tilde {p}] 1}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cadce05bd66e7c2ac82279bb77ca99345e44b6f" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.71ex; height:2.509ex;"/>$ y $<math alttext="{displaystyle {tilde {v}}v~ ~ .1{displaystyle {tilde {v}traducido}1} <img alt="{displaystyle {tilde {v}}$ , es decir, la presión aumenta y el volumen específico disminuye a través de la onda (la condición Chapman-Jouguet para la detonación es donde la línea Rayleigh es tangente a la curva Hugoniot). Las deflagraciones, por otro lado, corresponden a la región blanca inferior derecha donde $<math alttext="{displaystyle {tilde {p}}p~ ~ .1{displaystyle {tilde {cHFF}traducidos} <img alt="{displaystyle {tilde {p}}$ y $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">v~ ~ ■1{displaystyle {tilde {v}] 1}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e109907fb22f6d44bef83f06177ea438efc1ffdf" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.488ex; height:2.176ex;"/>$ , es decir, la presión disminuye y el volumen específico aumenta a través de la onda; la presión disminuye una llama típicamente muy pequeña que se considera raramente al estudiar deflagraciones.

Para ondas de choque y detonaciones, la presión aumenta a través de la onda puede tomar cualquier valor entre $<math alttext="{displaystyle 0leq {tilde {p}}0\leq \leq p~ ~ .JUEGO JUEGO {displaystyle 0leq {cH00}cantado <img alt="{displaystyle 0leq {tilde {p}}$ ; el más empinado la pendiente de la línea Rayleigh, el más fuerte es la onda. Por el contrario, aquí la relación de volumen específica está restringida al intervalo finito ${displaystyle (gamma -1)/(gamma +1)leq {tilde {v}}leq 2alpha +(gamma +1)/(gamma -1)}$ (el límite superior se deriva para el caso ${displaystyle {tilde {p}}rightarrow 0}$ porque la presión no puede tomar valores negativos). Si ${displaystyle gamma =1.4}$ (gas diatómica sin excitación del modo vibratorio), el intervalo es ${displaystyle 1/6leq {tilde {v}}leq 2alpha +6}$ , en otras palabras, la onda de choque puede aumentar la densidad en la mayoría por un factor de 6. Para el gas monatómico, $gamma =5/3$ , el intervalo permitido es ${displaystyle 1/4leq {tilde {v}}leq 2alpha +4}$ . Para gases diatómicos con modo vibratorio excitados, tenemos ${displaystyle gamma =9/7}$ que conduce al intervalo ${displaystyle 1/8leq {tilde {v}}leq 2alpha +8}$ . En realidad, la relación de calor específica no es constante en la onda de choque debido a la disociación molecular y ionización, pero incluso en estos casos, la relación densidad en general no excede un factor de alrededor ${displaystyle 11-13}$ .

Derivación de ecuaciones de Euler

Considere el gas en un recipiente unidimensional (por ejemplo, un tubo largo y delgado). Supongamos que el fluido no es viscoso (es decir, no muestra efectos de viscosidad como, por ejemplo, fricción con las paredes del tubo). Además, supongamos que no hay transferencia de calor por conducción o radiación y que la aceleración gravitacional puede despreciarse. Un sistema de este tipo puede describirse mediante el siguiente sistema de leyes de conservación, conocido como ecuaciones de Euler 1D, que en forma de conservación es:

{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}};;=-{frac {partial }{partial x}}left(rho uright)}

()1)

{displaystyle {frac {partial }{partial t}}(rho u),=-{frac {partial }{partial x}}left(rho u^{2}+pright)}

()2)

{displaystyle {frac {partial }{partial t}}left(E^{t}right)=-{frac {partial }{partial x}}left[uleft(E^{t}+pright)right],}

()3)

dónde

${displaystyle rho}$ densidad de masa de fluidos,
$u,$ Velocidad del fluido,
$e,$ energía interna específica del líquido,
$p,$ presión de líquido y
${displaystyle E^{t}=rho e+rho {tfrac {1}{2}}u^{2},}$ es la densidad total de energía del fluido, [J/m³], mientras e es su energía interna específica

Supongamos además que el gas es calóricamente ideal y que, por lo tanto, se utiliza una ecuación de estado politrópica de la forma simple

{displaystyle p=left(gamma -1right)rho e,}

()4)

es válido, donde $gamma$ es la relación constante de calores específicos $c_{p}/c_{v}$ . Esta cantidad también aparece como exponente politrópico del proceso politrópico descrito por

{displaystyle {frac {p}{rho ^{gamma }}}={text{constant}}.}

()5)

Para obtener una lista extensa de ecuaciones de flujo compresible, etc., consulte el Informe NACA 1135 (1953).

Nota: Para un gas calóricamente ideal $gamma$ es una constante y para un gas termal ideal $gamma$ es una función de temperatura. En este último caso, la dependencia de la presión sobre la densidad de masa y la energía interna puede diferir de la que se da por ecuación (en inglés)4).

La condición de salto

Antes de continuar, es necesario introducir el concepto de condición de salto, una condición que se mantiene ante una discontinuidad o un cambio abrupto.

Considere una situación de 1D donde hay un salto en el escalar conservado la cantidad física $w$ , que se rige por la ley integral de conservación

{displaystyle {frac {d}{dt}}int _{x_{1}}^{x_{2}}w,dx=-f(w){Big |}_{x_{1}}^{x_{2}}}

()6)

para cualquier $x_{1}$ , $x_{2}$ , $<math alttext="{displaystyle x_{1}x1.x2{displaystyle x_{1}<img alt="x_{1}$ , y, por lo tanto, por ecuación diferencial parcial

{displaystyle {frac {partial w}{partial t}}+{frac {partial }{partial x}}fleft(wright)=0}

()6 ')

para soluciones fluidas.

Deje que la solución exhiba un salto (o choque) en $x=x_{s}(t)$ , donde $<math alttext="{displaystyle x_{1}x1.xs()t){displaystyle x_{1} seleccionx_{s}(t)}<img alt="{displaystyle x_{1}$ y $<math alttext="{displaystyle x_{s}(t)xs()t).x2{displaystyle x_{s}(t) seleccionx_{2}<img alt="{displaystyle x_{s}(t)$ , entonces

{displaystyle {frac {d}{dt}}left[left(int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w,dx+int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w,dxright)right]=-int _{x_{1}}^{x_{2}}{frac {partial }{partial x}}fleft(wright),dx}

()7)

{displaystyle therefore w_{1}{frac {dx_{s}}{dt}}-w_{2}{frac {dx_{s}}{dt}}+int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w_{t},dx+int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w_{t},dx=-f(w){Big |}_{x_{1}}^{x_{2}}}

()8)

Los subscriptos 1 y 2 indican condiciones sólo arriba y sólo abajo del salto respectivamente, es decir. ${textstyle w_{1}=lim _{epsilon to 0^{+}}wleft(x_{s}-epsilon right)}$ y ${textstyle w_{2}=lim _{epsilon to 0^{+}}wleft(x_{s}+epsilon right)}$ .

Nota, para llegar a la ecuación (8Hemos utilizado el hecho de que ${displaystyle dx_{1}/dt=0}$ y ${displaystyle dx_{2}/dt=0}$ .

Ahora, vamos. ${displaystyle x_{1}to x_{s}(t)-epsilon }$ y ${displaystyle x_{2}to x_{s}(t)+epsilon }$ , cuando tenemos ${textstyle int _{x_{1}}^{x_{s}(t)-epsilon }w_{t},dxto 0}$ y ${textstyle int _{x_{s}(t)+epsilon }^{x_{2}}w_{t},dxto 0}$ , y en el límite

{displaystyle u_{s}left(w_{1}-w_{2}right)=fleft(w_{1}right)-fleft(w_{2}right),}

()9)

donde hemos definido ${displaystyle u_{s}=dx_{s}(t)/dt}$ (el sistema característica o velocidad de choque), que por división simple se da por

{displaystyle u_{s}={frac {fleft(w_{1}right)-fleft(w_{2}right)}{w_{1}-w_{2}}}.}

()10)

La ecuación (9) representa la condición de salto para la ley de conservación (6). Una situación de shock surge en un sistema donde sus características se cruzan y, bajo estas condiciones, un requisito para una solución única de un solo valor es que la solución debe satisfacer la condición de admisibilidad o condición de entropía. Para aplicaciones físicamente reales, esto significa que la solución debe satisfacer la condición de entropía laxa.

u_{s}>f'left(w_{1}right),}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f.()w2)■us■f.()w1),{displaystyle f'left(w_{2}right) confianzau_{s} confianzaf'left(w_{1}right),}u_{s}>f'left(w_{1}right),}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5d8d982c013f34ed884206921501c115b075eb" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.404ex; height:3.009ex;"/>

()11)

Donde ${displaystyle f'left(w_{1}right)}$ y ${displaystyle f'left(w_{2}right)}$ Representación velocidades características en condiciones de aguas arriba y aguas abajo, respectivamente.

Condición de choque

En el caso de la ley de conservación hiperbólica6), hemos visto que la velocidad de choque se puede obtener por división simple. Sin embargo, para las ecuaciones 1D Euler (1), (2) y (3), tenemos la variable estado vectorial ${displaystyle {begin{bmatrix}rho &rho u&Eend{bmatrix}}^{mathsf {T}}}$ y las condiciones de salto se vuelven

{displaystyle u_{s}left(rho _{2}-rho _{1}right)=rho _{2}u_{2}-rho _{1}u_{1}}

()12)

{displaystyle u_{s}left(rho _{2}u_{2}-rho _{1}u_{1}right)=left(rho _{2}u_{2}^{2}+p_{2}right)-left(rho _{1}u_{1}^{2}+p_{1}right)}

()13)

{displaystyle u_{s}left(E_{2}-E_{1}right)=left[rho _{2}u_{2}left(e_{2}+{frac {1}{2}}u_{2}^{2}+{frac {p_{2}}{rho _{2}}}right)right]-left[rho _{1}u_{1}left(e_{1}+{frac {1}{2}}u_{1}^{2}+{frac {p_{1}}{rho _{1}}}right)right].}

()14)

Ecuaciones12), (13) y (14) son conocidos como Condiciones de Rankine-Hugoniot para las ecuaciones Euler y se derivan aplicando las leyes de conservación en forma integral sobre un volumen de control que incluye el choque. Para esta situación $u_{s}$ no se puede obtener por división simple. Sin embargo, se puede mostrar transformando el problema a un sistema coordinado en movimiento (setting ${displaystyle u_{s}':=u_{s}-u_{1}}$ , ${displaystyle u'_{1}:=0}$ , ${displaystyle u'_{2}:=u_{2}-u_{1}}$ para eliminar $u_{1}$ ) y alguna manipulación algebraica (involviendo la eliminación de $u'_{2}$ de la ecuación transformada13) utilizando la ecuación transformada (12)), que la velocidad de choque es dada por

{displaystyle u_{s}=u_{1}+c_{1}{sqrt {1+{frac {gamma +1}{2gamma }}left({frac {p_{2}}{p_{1}}}-1right)}},}

()15)

Donde ${textstyle c_{1}={sqrt {gamma p_{1}/rho _{1}}}}$ es la velocidad del sonido en el fluido a condiciones de corriente.

Línea Shock Hugoniot y Rayleigh en sólidos

Shock Hugoniot y Rayleigh en la línea p-v avión. La curva representa una parcela de ecuación (17Con p₁, v₁, c₀, y s conocido. Si p₁ = 0, la curva intersecará el eje de volumen específico en el punto v₁.

Para choques en sólidos, una expresión en forma cerrada como la ecuación (15) no puede derivarse de los primeros principios. En cambio, las observaciones experimentales indican que se puede utilizar una relación lineal (llamada choque Hugoniot en el u_s-u_p plano) que tiene la forma

{displaystyle u_{s}=c_{0}+s,u_{p}=c_{0}+s,u_{2}}

()16)

donde c₀ es la velocidad total del sonido en el material (en compresión uniaxial), s es un parámetro (la pendiente de el shock Hugoniot) obtenido de ajustes a datos experimentales, y u_p = u₂ es la velocidad de la partícula dentro de la región comprimida detrás del frente de choque.

La relación anterior, cuando se combina con las ecuaciones de Hugoniot para la conservación de la masa y el momento, se puede utilizar para determinar el choque de Hugoniot en el plano p-v, donde v es el volumen específico (por unidad de masa):

{displaystyle p_{2}-p_{1}={frac {c_{0}^{2},rho _{1},rho _{2},left(rho _{2}-rho _{1}right)}{left[rho _{2}-sleft(rho _{2}-rho _{1}right)right]^{2}}}={frac {c_{0}^{2},left(v_{1}-v_{2}right)}{left[v_{1}-sleft(v_{1}-v_{2}right)right]^{2}}},.}

()17)

También se pueden utilizar ecuaciones de estado alternativas, como la ecuación de estado de Mie-Grüneisen, en lugar de la ecuación anterior.

El choque Hugoniot describe el lugar de todos los estados termodinámicos posibles en los que puede existir un material detrás de un choque, proyectado en un plano estado-estado bidimensional. Por lo tanto, es un conjunto de estados de equilibrio y no representa específicamente el camino a través del cual un material sufre transformación.

Los choques débiles son isentrópicos y la isentropa representa el camino a través del cual el material es cargado desde el estado inicial al final por una onda de compresión con características convergentes. Por lo tanto, en el caso de choques débiles, el Hugoniot caerá directamente sobre el isentropo y puede usarse directamente como camino equivalente. En caso de un shock fuerte ya no podemos hacer esa simplificación directamente. Sin embargo, para los cálculos de ingeniería, se considera que la isentropo está lo suficientemente cerca del Hugoniot como para que se pueda hacer la misma suposición.

Si el Hugoniot es aproximadamente la ruta de carga entre estados para un "equivalente" onda de compresión, entonces las condiciones de salto para la trayectoria de carga de choque se pueden determinar trazando una línea recta entre los estados inicial y final. Esta recta se llama recta de Rayleigh y tiene la siguiente ecuación:

{displaystyle p_{2}-p_{1}=u_{s}^{2}left(rho _{1}-{frac {rho _{1}^{2}}{rho _{2}}}right)}

()18)

Límite elástico de Hugoniot

La mayoría de los materiales sólidos sufren deformaciones plásticas cuando se someten a fuertes golpes. El punto del choque Hugoniot en el que un material pasa de un estado puramente elástico a un estado elástico-plástico se denomina límite elástico de Hugoniot (HEL) y la presión a la que tiene lugar esta transición se denota p _HEL. Los valores de p_HEL pueden oscilar entre 0,2 GPa y 20 GPa. Por encima del HEL, el material pierde gran parte de su resistencia al corte y comienza a comportarse como un fluido.

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