Condiciones de Inada

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Una función tipo Cobb-Douglas satisface las condiciones Inada cuando se utiliza como una función de utilidad o producción.

En macroeconomía, las condiciones de Inada, llamadas así por el economista japonés Ken-Ichi Inada, son supuestos sobre la forma de una función, que se aplican habitualmente a una función de producción o a una función de utilidad. Cuando la función de producción de un modelo de crecimiento neoclásico satisface las condiciones de Inada, se garantiza la estabilidad de una trayectoria de crecimiento económico. Las condiciones como tales fueron introducidas por Hirofumi Uzawa.

Estado

Dada una función continuamente diferenciable $f\colon X\to Y$ , donde $X=\left\{x\colon \,x\in \mathbb {R} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn} {\fn}}}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ y $Y=\left\{y\colon \,y\in \mathbb {R} {\fn} {\fnK}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ , las condiciones son:

el valor de la función $f {x$ a $\mathbf {x} = 'mathbf {0$ es 0: $f(\mathbf {0}=0$
la función es cóncava en $X$ , es decir, la matriz hesiana $\mathbf {H} _{i,j}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)$ necesita ser negativo-semidefinito. Económicamente esto implica que los retornos marginales para la entrada $x_{i}$ son positivos, es decir. $\partial f(\mathbf {x})/\partial x_{i} {0$ , pero disminuyendo, es decir. $\partial ^{2}f(\mathbf {x})/\partial x_{i}^{2} made0$
el límite del primer derivado es la infinidad positiva como $x_{i}$ enfoques 0: ${\displaystyle \lim _{x_{i}\to 0}\partial f(\mathbf {x})/\partial x_{i}=+\infty$ , significando que el efecto de la primera unidad de entrada $x_{i}$ tiene el mayor efecto
el límite del primer derivado es cero como $x_{i}$ acerca del infinito positivo: $\lim _{x_{i}\to ###infty }\partial f(\mathbf {x}/\partial x_{i}=0$ , lo que significa que el efecto de una unidad adicional de entrada $x_{i}$ es 0 cuando se acerca el uso de unidades infinitas de $x_{i}$

Consecuencias

La elasticidad de la sustitución entre mercancías se define para la función de producción $f(\mathbf {x}),\mathbf {x} \in \mathbb {R} {\fn$ como $\sigma {\fnMicroc {\partial \log(x_{i}/x_{j}{\partial \log MRTS_{ji}}$ , donde ${\displaystyle MRTS_{ji}({\bar {})={\frac {\partial f({\bar {z})/\partial {\fnMicrosoft Sans Serif} .$ es la tasa marginal de sustitución técnica. Se puede demostrar que las condiciones inada implican que la elasticidad de la sustitución entre componentes es asintomáticamente igual a una (aunque la función de producción es no necesariamente asintomáticamente Cobb-Douglas, una función de producción común para la cual esta condición tiene).

En el modelo de crecimiento neoclásico estocástico, si la función de producción no satisface la condición de Inada en cero, cualquier camino factible converge a cero con probabilidad de uno, siempre que los shocks sean suficientemente volátiles.

Referencias

^ Inada, Ken-Ichi (1963). "En un modelo de crecimiento económico de dos sectores: comentarios y una generalización". The Review of Economic Studies. 30 (2): 119–127. doi:10.2307/2295809. JSTOR 2295809.
^ Uzawa, H. (1963). "En un modelo de dos secciones del crecimiento económico II". The Review of Economic Studies. 30 (2): 105–118. doi:10.2307/2295808. JSTOR 2295808.
^ Takayama, Akira (1985). Economía Matemática (2a edición). New York: Cambridge University Press. pp. 125–126. ISBN 0-521-31498-4.
^ Barelli, Paulo; Pessoa, Samuel de Abreu (2003). "Las condiciones internas implícitamente esa función de producción debe ser asintomáticamente Cobb-Douglas". Cartas Económicas. 81 (3): 361–363. doi:10.1016/S0165-1765(03)00218-0. Hdl:10438/1012.
^ Litina, Anastasia; Palivos, Theodore (2008). "¿Las condiciones inada implican que la función de producción debe ser asintomáticamente Cobb-Douglas? Un comentario". Cartas Económicas. 99 (3): 498-499. doi:10.1016/j.econlet.2007.09.035.
^ Kamihigashi, Takashi (2006). "Casi la convergencia a cero en modelos de crecimiento estocástico" (PDF). Económico Teoría. 29 (1): 231–237. doi:10.1007/s00199-005-0006-1. S2CID 30466341.

Más lectura

Barro, Robert J.; Sala-i-Martin, Xavier (2004). Crecimiento Económico (Segunda edición). Londres: MIT Press. pp. 26–30. ISBN 0-262-02553-1.
Gandolfo, Giancarlo (1996). Dinámica Económica (Tercera edición). Berlín: Springer. pp. 176–178. ISBN 3-540-60988-1.
Romer, David (2011). "The Solow Growth Model". Macroeconómico avanzado (Cuarta edición). Nueva York: McGraw-Hill. pp. 6–48. ISBN 978-0-07-351137-5.

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