Condición de frontera de Neumann

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En matemáticas, la condición de frontera de Neumann (o segundo tipo) es un tipo de condición de frontera, que lleva el nombre de Carl Neumann. Cuando se impone a una ecuación diferencial ordinaria o parcial, la condición especifica los valores de la derivada aplicada en el límite del dominio.

Es posible describir el problema utilizando otras condiciones de frontera: una condición de frontera de Dirichlet especifica los valores de la solución misma (a diferencia de su derivada) en la frontera, mientras que la condición de frontera de Cauchy, la condición de frontera mixta y la condición de frontera de Robin son todos diferentes tipos de combinaciones de las condiciones de frontera de Neumann y Dirichlet.

Ejemplos

ODA

Para una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo,

{displaystyle Y'y=0,}

las condiciones de frontera de Neumann en el intervalo $[a, b]$ toman la forma

{displaystyle y'(a)=alphaquad y'(b)=beta}

donde $α$ y $β< /span> reciben números.$

PDE

Para una ecuación diferencial parcial, por ejemplo,

{displaystyle nabla ^{2}y+y=0,}

donde $\nabla 2$ denota el operador de Laplace, las condiciones de frontera de Neumann en un dominio $Ω \subset R n$ toma la forma

{displaystyle {frac {partial y}{partial mathbf {n}}(mathbf {x})=f(mathbf {x})quad forall mathbf {x} in partial Omega}

donde $n$ denota la normal (normalmente exterior) al límite $\partialΩ$ , y $f$ es una función escalar dada.

La derivada normal, que aparece en el lado izquierdo, se define como

{displaystyle {frac {partial y}{partial mathbf {n}} {mathbf {x})=nabla y(mathbf {x})cdot mathbf {hat {n} (mathbf {x}),}}} {}}}}}

donde $\nabla y (x)$ representa el vector de gradiente de $y (x)$ , $n̂$ es la unidad normal y $\cdot$ representa el operador interno del producto.

Queda claro que el límite debe ser lo suficientemente suave como para que pueda existir la derivada normal, ya que, por ejemplo, en los puntos de las esquinas del límite el vector normal no está bien definido.

Aplicaciones

Las siguientes aplicaciones implican el uso de condiciones de contorno de Neumann:

En la termodinámica, un flujo de calor prescrito de una superficie serviría como condición de límite. Por ejemplo, un aislador perfecto no tendría flujo mientras que un componente eléctrico puede estar disipando a una potencia conocida.
En magnetostatics, la intensidad del campo magnético se puede prescribir como condición de límite para encontrar la distribución de densidad de flujo magnético en un array magnético en el espacio, por ejemplo en un motor magnético permanente. Dado que los problemas en la magnetostática implican resolver la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson para el potencial de escalar magnético, la condición de límite es una condición de Neumann.
En la ecología espacial, una condición de límite de Neumann en un sistema de reacción-difusión, como la ecuación de Fisher, puede ser interpretada como un límite reflectante, de tal manera que todos los individuos que se encuentran $Ω$ se reflejan de nuevo en $Ω$ .

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