Condición de frontera de Dirichlet

En el estudio matemático de ecuaciones diferenciales, la condición de frontera de Dirichlet (o de primer tipo) es un tipo de condición de frontera, denominada según Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859). Cuando se impone a una ecuación diferencial ordinaria o parcial, especifica los valores que una solución debe tomar a lo largo del límite del dominio.

En el análisis del método de elementos finitos (FEM), la condición de contorno esencial o de Dirichlet se define mediante la forma integral ponderada de una ecuación diferencial. La desconocida dependiente u en la misma forma que la función de peso w que aparece en la expresión límite se denomina variable primaria, y su especificación constituye la esencial o condición de frontera de Dirichlet.

La cuestión de encontrar soluciones a tales ecuaciones se conoce como el problema de Dirichlet. En las ciencias aplicadas, una condición de frontera de Dirichlet también puede denominarse condición de frontera fija.

Ejemplos

ODA

Para una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo,

Sí..+Sí.=0,{displaystyle Y'y=0,}

Sí.()a)=α α ,Sí.()b)=β β ,{displaystyle y(a)=alphaquad y(b)=beta}

PDE

Para una ecuación diferencial parcial, por ejemplo,

Silencio Silencio 2Sí.+Sí.=0,{displaystyle nabla ^{2}y+y=0,}

Silencio Silencio 2{displaystyle nabla ^{2}

Sí.()x)=f()x)О О x▪ ▪ ∂ ∂ Ω Ω ,{displaystyle y(x)=f(x)quad forall xin partial Omega}

Aplicaciones

Por ejemplo, las siguientes se considerarían condiciones de contorno de Dirichlet:

• En ingeniería mecánica e ingeniería civil (teoría del haz), donde un extremo de un haz se mantiene en una posición fija en el espacio.
• En transferencia de calor, donde se mantiene una superficie a temperatura fija.
• En electrostáticos, donde se mantiene un nodo de circuito a un voltaje fijo.
• En la dinámica de fluidos, la condición de no-slip para fluidos viscosos indica que en un límite sólido, el fluido tendrá velocidad cero relativa al límite.

Otras condiciones de contorno

Son posibles muchas otras condiciones de contorno, incluidas la condición de contorno de Cauchy y la condición de contorno mixta. Esta última es una combinación de las condiciones de Dirichlet y Neumann.