Condición de energía

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En las teorías de campo relativistas clásicas de la gravitación, particularmente en la relatividad general, una condición de energía es una generalización de la afirmación "la densidad de energía de una región del espacio no puede ser negativa" en una formulación matemática relativista. Existen múltiples formas alternativas posibles de expresar tal condición de modo que se puedan aplicar al contenido de la materia de la teoría. La esperanza es, entonces, que cualquier teoría razonable de la materia satisfaga esta condición o al menos la conserve si las condiciones iniciales la satisfacen.

Las condiciones de energía no son restricciones físicas per se, sino condiciones límite impuestas matemáticamente que intentan capturar la creencia de que "la energía debe ser positiva". Se sabe que muchas condiciones de energía no se corresponden con la realidad física; por ejemplo, se sabe que los efectos observables de la energía oscura violan la condición de energía fuerte.

En la relatividad general, las condiciones de energía a menudo se usan (y se requieren) en las pruebas de varios teoremas importantes sobre los agujeros negros, como el teorema de la falta de cabello o las leyes de la termodinámica de los agujeros negros.

Motivación

En la relatividad general y teorías afines, la distribución de la masa, el momento y la tensión debido a la materia y a cualquier campo no gravitacional se describe mediante el tensor de energía-momento (o tensor de materia) T^{{ab}}. Sin embargo, la ecuación de campo de Einstein en sí misma no especifica qué tipos de estados de la materia o campos no gravitacionales son admisibles en un modelo de espacio-tiempo. Esto es a la vez una fortaleza, ya que una buena teoría general de la gravitación debería ser lo más independiente posible de cualquier suposición relacionada con la física no gravitacional, y una debilidad, porque sin algún criterio adicional, la ecuación de campo de Einstein admite soluciones putativas con propiedades que la mayoría de los físicos consideran no físicas. es decir, demasiado extraño para parecerse a algo en el universo real, ni siquiera aproximadamente.

Las condiciones de energía representan tales criterios. En términos generales, describen crudamente propiedades comunes a todos (o casi todos) los estados de la materia y todos los campos no gravitatorios que están bien establecidos en la física y que son lo suficientemente fuertes como para descartar muchas "soluciones" no físicas de la ecuación de campo de Einstein.

Hablando matemáticamente, la característica distintiva más aparente de las condiciones de energía es que son esencialmente restricciones sobre los valores y vectores propios del tensor de materia. Un rasgo más sutil pero no menos importante es que se imponen por eventos, a nivel de espacios tangentes. Por lo tanto, no tienen ninguna esperanza de descartar características globales objetables, como curvas temporales cerradas.

Algunas cantidades observables

Para comprender las declaraciones de las diversas condiciones de energía, uno debe estar familiarizado con la interpretación física de algunas cantidades escalares y vectoriales construidas a partir de vectores temporales o nulos arbitrarios y el tensor de materia.

Primero, un campo vectorial unitario temporal {vec {X}}puede interpretarse como la definición de las líneas del mundo de alguna familia de observadores ideales (posiblemente no inerciales). Entonces el campo escalar { estilo de visualización rho = T_ {ab} X ^ {a} X ^ {b}}

puede interpretarse como la densidad total de masa-energía (materia más energía de campo de cualquier campo no gravitatorio) medida por el observador de nuestra familia (en cada evento en su línea de mundo). De manera similar, el campo vectorial con componentes {displaystyle -{T^{a}}_{b}X^{b}}representa (después de una proyección) el momento medido por nuestros observadores.

En segundo lugar, dado un campo vectorial nulo arbitrario { estilo de visualización { vec {k}},}el campo escalar {displaystyle nu =T_{ab}k^{a}k^{b}}

puede considerarse una especie de caso límite de la densidad de masa-energía.

Tercero, en el caso de la relatividad general, dado un campo vectorial temporal arbitrario {vec {X}}, nuevamente interpretado como que describe el movimiento de una familia de observadores ideales, el escalar de Raychaudhuri es el campo escalar obtenido tomando la traza del tensor de marea correspondiente a esos observadores en cada evento: {displaystyle {E[{vec {X}}]^{m}}_{m}=R_{ab}X^{a}X^{b}}

Esta cantidad juega un papel crucial en la ecuación de Raychaudhuri. Entonces de la ecuación de campo de Einstein obtenemos inmediatamente {displaystyle {frac {1}{8pi }}{E[{vec {X}}]^{m}}_{m}={frac {1}{8pi }}R_{ ab}X^{a}X^{b}=left(T_{ab}-{frac {1}{2}}Tg_{ab}right)X^{a}X^{b},}

donde T={T^{m}}_{m}es la traza del tensor de materia.

Enunciado matematico

Hay varias condiciones de energía alternativa de uso común:

Condición de energía nula

La condición de energía nula estipula que para cada campo vectorial nulo que apunta al futuro { vec {k}}, {displaystyle nu =T_{ab}k^{a}k^{b}geq 0.}

Cada uno de estos tiene una versión promediada, en la que las propiedades mencionadas anteriormente se mantienen solo en promedio a lo largo de las líneas de flujo de los campos vectoriales apropiados. De lo contrario, el efecto Casimir conduce a excepciones. Por ejemplo, la condición de energía nula promediada establece que para cada línea de flujo (curva integral) Cdel campo del vector nulo { estilo de visualización { vec {k}},}Debemos tener {displaystyle int _{C}T_{ab}k^{a}k^{b}dlambda geq 0.}

Condición de energía débil

La condición de energía débil estipula que para cada campo vectorial temporal { estilo de visualización { vec {X}},}la densidad de materia observada por los observadores correspondientes siempre es no negativa: { estilo de visualización rho = T_ {ab} X ^ {a} X ^ {b} geq 0.}

Condición de energía dominante

La condición de energía dominante estipula que, además de que se cumple la condición de energía débil, para cada campo vectorial causal que apunta al futuro (ya sea temporal o nulo) { estilo de visualización { vec {Y}},}el campo vectorial {displaystyle -{T^{a}}_{b}Y^{b}}debe ser un vector causal que apunta al futuro. Es decir, nunca se puede observar que la energía de masa fluya más rápido que la luz.

Condición de energía fuerte

La condición de energía fuerte estipula que para cada campo vectorial temporal {vec {X}}, la traza del tensor de marea medida por los observadores correspondientes siempre es no negativa: {displaystyle left(T_{ab}-{frac {1}{2}}Tg_{ab}right)X^{a}X^{b}geq 0}

Hay muchas configuraciones clásicas de materia que violan la condición de energía fuerte, al menos desde una perspectiva matemática. Por ejemplo, un campo escalar con un potencial positivo puede violar esta condición. Además, las observaciones de la energía oscura/constante cosmológica muestran que la condición de energía fuerte no logra describir nuestro universo, incluso cuando se promedia a través de escalas cosmológicas. Además, se viola fuertemente en cualquier proceso inflacionario cosmológico (incluso uno que no esté impulsado por un campo escalar).

Fluidos perfectos

Los fluidos perfectos poseen un tensor de materia de forma. {displaystyle T^{ab}=rho u^{a}u^{b}+ph^{ab},}

donde {vec{u}}es la velocidad de cuatro de las partículas de materia y donde h^{{ab}}equiv g^{{ab}}+u^{{a}}u^{{b}}es el tensor de proyección sobre los elementos del hiperplano espacial ortogonal a las cuatro velocidades, en cada evento. (Observe que estos elementos del hiperplano no formarán un hipercorte espacial a menos que la velocidad esté libre de vorticidad, es decir, irrotacional). Con respecto a un marco alineado con el movimiento de las partículas de materia, los componentes del tensor de materia toman la forma diagonal {displaystyle T^{{hat {a}}{hat {b}}}={begin{bmatrix}rho &0&0&0\0&p&0&0\0&0&p&0\0&0&0&pend{bmatrix}}.}

Aquí, rhoes la densidad de energía y pages la presión.

Las condiciones energéticas se pueden reformular en términos de estos valores propios:

Las implicaciones entre estas condiciones se indican en la figura de la derecha. Tenga en cuenta que algunas de estas condiciones permiten la presión negativa. Además, tenga en cuenta que, a pesar de los nombres, la condición de energía fuerte no implica la condición de energía débil, incluso en el contexto de fluidos perfectos.

Intentos de falsear las condiciones energéticas.

Si bien la intención de las condiciones de energía es proporcionar criterios simples que descarten muchas situaciones no físicas y admitan cualquier situación físicamente razonable, de hecho, al menos cuando se introduce un modelo de campo efectivo de algunos efectos mecánicos cuánticos, algunos posibles tensores de materia que se conocen para ser físicamente razonables e incluso realistas porque han sido verificados experimentalmente, en realidad fallan en diversas condiciones energéticas. En particular, en el efecto Casimir, en la región entre dos placas conductoras que se mantienen paralelas con una separación d muy pequeña, hay una densidad de energía negativa {displaystyle varepsilon ={frac {-pi ^{2}}{720}}{frac {hbar }{d^{4}}}}

entre las placas. (Sin embargo, tenga en cuenta que el efecto Casimir es topológico, en el sentido de que el signo de la energía del vacío depende tanto de la geometría como de la topología de la configuración. Al ser negativa para placas paralelas, la energía del vacío es positiva para una esfera conductora)., varias desigualdades cuánticas sugieren que en tales casos se puede satisfacer una condición de energía promediada adecuada. En particular, la condición de energía nula promediada se cumple en el efecto Casimir. De hecho, para los tensores de energía-momento que surgen de las teorías de campos efectivos en el espacio-tiempo de Minkowski, la condición de energía nula promediada se mantiene para los campos cuánticos cotidianos. Extender estos resultados es un problema abierto.

La condición de energía fuerte es obedecida por toda la materia normal/newtoniana, pero un falso vacío puede violarla. Considere el estado de la ecuación barotrópica lineal { estilo de visualización p = w rho,}

donde rhoes la densidad de energía de la materia, pages la presión de la materia, y wes una constante Entonces la condición de energía fuerte requiere { estilo de visualización w geq -1/3}; pero para el estado conocido como falso vacío, tenemos w=-1.