Condición de borde de Robin

En matemáticas, la condición de contorno de Robin (ROB-in, en francés: [ʁɔbɛ̃]), o condición de contorno de tercer tipo, es un tipo de condición de contorno, llamada así en honor a Victor Gustave Robin (1855-1897). Cuando se impone a una ecuación diferencial ordinaria o parcial, es una especificación de una combinación lineal de los valores de una función y los valores de su derivada en el límite del dominio. Otros nombres equivalentes en uso son condición de tipo Fourier y condición de radiación.

Las condiciones de contorno de Robin son una combinación ponderada de las condiciones de contorno de Dirichlet y las condiciones de contorno de Neumann. Esto contrasta con las condiciones de contorno mixtas, que son condiciones de contorno de diferentes tipos especificadas en diferentes subconjuntos del contorno. Las condiciones de contorno de Robin también se denominan condiciones de contorno de impedancia, por su aplicación en problemas electromagnéticos, o condiciones de contorno convectivo, por su aplicación en problemas de transferencia de calor (Hahn, 2012).

Si Ω es el dominio en el que se debe resolver la ecuación dada y ∂Ω denota su límite, la condición de límite de Robin es:

${\displaystyle au+b{\frac {\partial u}{\partial # G\qquad {\text{on}\partial \Omega }$

para algunas constantes distintas de cero a y b y una función dada g definida en ∂Ω. Aquí, u es la solución desconocida definida en Ω y ⁠∂u/∂n⁠ denota la derivada normal en el límite. En términos más generales, se permite que a y b sean funciones (dadas), en lugar de constantes.

En una dimensión, si, por ejemplo, Ω = [0,1], la condición de contorno de Robin se convierte en las condiciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}au(0)-bu'(0)}\au(1)+bu'(1)=g(1)\end{aligned}}$

Observe el cambio de signo delante del término que implica una derivada: esto se debe a que la normal a [0,1] en 0 apunta en la dirección negativa, mientras que en 1 apunta en la dirección positiva.

Las condiciones de contorno de Robin se utilizan habitualmente para resolver problemas de Sturm-Liouville que aparecen en muchos contextos de la ciencia y la ingeniería.

Además, la condición de contorno de Robin es una forma general de la condición de contorno aislante para ecuaciones de convección-difusión. Aquí, los flujos convectivo y difusivo en el contorno suman cero:

${\displaystyle u_{x}(0)\,c(0)-D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}=0}$

donde D es la constante de difusión, u es la velocidad convectiva en el límite y c es la concentración. El segundo término es un resultado de la ley de difusión de Fick.

• Gustafson, K. and T. Abe, (1998a). La tercera condición límite - ¿Era de Robin?, The Mathematical Intelligencer, 20#1, 63–71.
• Gustafson, K. and T. Abe, (1998b). Gustave Robin: 1855-1897, The Mathematical Intelligencer, 202, 47-53.
• Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004). Matemáticas aplicadas, cuerpo y alma. Berlín; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-00889-6.

• Atkinson, Kendall E.; Han, Weimin (2001). Análisis numérico teórico: un marco de análisis funcional. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-95142-3.

• Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Ecuaciones diferenciales computacionales. Cambridge; New York: Cambridge University Prensa. ISBN 0-521-56738-6.

• Mei, Zhen (2000). Análisis numérico de bifurcación para las ecuaciones de la diffusión de reacción. Berlín; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-67296-6.

• Hahn, David W.; Ozisk, M. N. (2012). Conducción de calor, 3a edición. Wiley. ISBN 978-0-470-90293-6.