Composición de funciones

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Operación en funciones matemáticas

En matemáticas, composición de funciones es una operación $\circ$ que toma dos funciones $f$ y $g$ , y produce una función $h = g \circ f$ tal que $h (x) = g (f (x))$ . En esta operación se aplica la función $g$ al resultado de aplicar la función $f$ a $x$ . Es decir, las funciones $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ están compuestos para producir una función que asigna x en el dominio $X$ a $g (f (x))$ en el codominio $Z . Intuitivamente, si z es una función de y, y y es una función de x, entonces z es una función de x . La función compuesta resultante se denota g \circ f : X \to Z, definido por (g \circ f)(x) = g (f (x)) para todas las x en X .$

La notación $g \circ f$ se lee como " $g$ de $f$ ", " $g$ después de $f$ ", " $g$ círculo $f$ ", " $g$ redondo $f$ ", " $g$ acerca de $f$ ", " $g$ compuesto con $f$ ", " $g$ después de $f$ ", " $f$ luego $g$ ", o " $g$ en $f$ ", o "la composición de $g$ y $f$ ". Intuitivamente, la composición de funciones es un proceso de encadenamiento en el que la salida de la función $f$ alimenta la entrada de la función $g$ .

La composición de las funciones es un caso especial de la composición de las relaciones, a veces también denotado por $circ$ . Como resultado, todas las propiedades de la composición de las relaciones son verdaderas de la composición de las funciones, como la propiedad de la asociación.

La composición de funciones es diferente de la multiplicación de funciones (si está definida) y tiene algunas propiedades bastante diferentes; en particular, la composición de funciones no es conmutativa.

Ejemplos

Ejemplo concreto para la composición de dos funciones.

Composición de funciones en un conjunto finito: Si $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , y $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , entonces $g \circ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ , como se muestra en la figura.
Composición de funciones en un conjunto infinito: Si $f : R \to R$ (donde) $R$ es el conjunto de todos los números reales) $f () x) = 2 x + 4$ y $g : R \to R$ es dado por $g () x) x 3$ , entonces:
$() f \circ g) x) f () g () x) = f () x 3) = 2 x 3 + 4$ , y

$() g \circ f) x) g () f () x) = g (22) x + 4) = (2 x + 4) 3$ .
Si la altitud de un avión a tiempo $t$ es $a () t)$ , y la presión del aire a altitud $x$ es $p () x)$ , entonces $() p \circ a) t)$ es la presión alrededor del avión a la vez $t$ .

Propiedades

La composición de funciones siempre es asociativa, una propiedad heredada de la composición de relaciones. Es decir, si $f$ , $g$ y $h$ son componibles, entonces $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h . Dado que los paréntesis no cambian el resultado, generalmente se omiten.$

En un sentido estricto, la composición $g \circ f$ es sólo significativo si el codominio de $f$ iguala el dominio de $g$ ; en un sentido más amplio, es suficiente que el primero sea un subconjunto impropio de este último. Además, a menudo es conveniente restringir tácitamente el dominio de $f$ , tal que $f$ produce sólo valores en el dominio de $g$ . Por ejemplo, la composición $g \circ f$ de las funciones $f : R \to (-\infty,+9]$ definidas por $f () x) = 9 - x 2$ y $g : [0,+\infty) \to R$ definidas por ${displaystyle g(x)={sqrt {x}}}$ se puede definir en el intervalo $[3,+3]$ .

Compositions of two real functions, the absolute value and a cubic function, in different orders, show a non-commutativity of composition.

Las funciones $g$ y $f Se dice que$ viajan entre sí si $g \circ f = f \circ g$ . La conmutatividad es una propiedad especial, alcanzada solo por funciones particulares y, a menudo, en circunstancias especiales. Por ejemplo, $| x | + 3 = | x + 3 |$ solamente cuando $x \geq 0$ . La imagen muestra otro ejemplo.

La composición de las funciones uno a uno (inyectivas) siempre es uno a uno. De manera similar, la composición de las funciones sobreyectivas siempre es sobre. Se sigue que la composición de dos biyecciones es también una biyección. La función inversa de una composición (supuestamente invertible) tiene la propiedad de que $(f \circ g) -1 = g -1 \circ f -1$ .

Las derivadas de composiciones que involucran funciones diferenciables se pueden encontrar usando la regla de la cadena. Las derivadas superiores de tales funciones vienen dadas por la fórmula de Faà di Bruno.

Monoides de composición

Supongamos que uno tiene dos (o más) funciones $f : X \to X,$ $g : X \to X$ teniendo el mismo dominio y codominio; a menudo se denominan transformaciones. Entonces uno puede formar cadenas de transformaciones compuestas juntas, como $f \circ f \circ g \circ f$ . Tales cadenas tienen la estructura algebraica de un monoide, llamado monoide de transformación o (mucho más raramente) monoide de composición. En general, los monoides de transformación pueden tener una estructura notablemente complicada. Un ejemplo notable en particular es la curva de Rham. El conjunto de todas funciones $f : X \to X$ se denomina semigrupo de transformación completa o semigrupo simétrico en $X$ . (En realidad, se pueden definir dos semigrupos dependiendo de cómo se defina la operación del semigrupo como la composición de funciones izquierda o derecha).

La similitud que transforma el triángulo EFA en triángulo ATB es la composición de una homoteca

H

y una rotación

R

, del cual es el centro comúnS. Por ejemplo, la imagen deA bajo la rotación

R

esU, que puede ser escrito

R

()A) U. Y

H

()U) B significa que la cartografía

H

transformaciones Uen B. Así

H () R

()A) =

() H \circ R)

()A) B.

Si las transformaciones son biyectivas (y por lo tanto invertibles), entonces el conjunto de todas las combinaciones posibles de estas funciones forma un grupo de transformación; y se dice que el grupo es generado por estas funciones. Un resultado fundamental en la teoría de grupos, el teorema de Cayley, esencialmente dice que cualquier grupo es, de hecho, solo un subgrupo de un grupo de permutación (excepto el isomorfismo).

El conjunto de todas las funciones biyectivas $f : X \to X$ (llamadas permutaciones) forma un grupo con respecto a la composición de funciones. Este es el grupo simétrico, también llamado a veces grupo de composición.

En el semigrupo simétrico (de todas las transformaciones) también se encuentra una noción más débil y no única de inversa (llamada pseudoinversa) porque el semigrupo simétrico es un semigrupo regular.

Poderes funcionales

Si $Y \subseteq X$ , entonces $f : X \to Y$ puede componer consigo mismo; esto a veces se denota como $f 2$ . Eso es:

() f \circ f)(x) = f () f () x) = f 2 () x)

() f \circ f \circ f)(x) = f () f () f () x) = f 3 () x)

() f \circ f \circ f \circ f)(x) = f () f () f () f () x)) = f 4 () x)

Más generalmente, para cualquier número natural $n \geq 2$ , el $n$ ésima potencia funcional se puede definir inductivamente mediante $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ , una notación introducida por Hans Heinrich Bürmann y John Frederick William Herschel. La composición repetida de tal función consigo misma se llama función iterada.

Por convención, $f 0$ se define como el mapa de identidad en $f$ 's dominio, $id X$ .
Si $Y = X$ y $f : X \to X$ admite una función inversa $f -1$ , poderes funcionales negativos $f - n$ se definen para $n ■ 0$ como el poder negado de la función inversa: $f - n = f -1) n$ .

Nota: Si $f$ toma sus valores en un anillo (en particular para valores reales o complejos -valorado $f$ ), existe riesgo de confusión, ya que $f n$ también podría representar el producto $n$ -fold de $f$ , p. $f 2 (x) = f (x) \cdot f (x)$ . Para funciones trigonométricas, generalmente se entiende lo último, al menos para exponentes positivos. Por ejemplo, en trigonometría, esta notación de superíndice representa la exponenciación estándar cuando se usa con funciones trigonométricas: $sin 2 (x) = sin(x) \cdot sin(x)$ . Sin embargo, para exponentes negativos (especialmente −1), generalmente se refiere a la función inversa, por ejemplo, $tan -1 = arctan \neq 1/tan$ .

En algunos casos, cuando, para una función dada $f$ , la ecuación $g \circ g = f$ tiene una solución única $g$ , esa función puede definirse como la raíz cuadrada funcional de $f$ , y luego escribirse como $g = f 1/2$ .

Más generalmente, cuando $g n = f$ tiene una solución única para algún número natural $n > 0$ , luego $f m / n$ se puede definir como $g m$ .

Bajo restricciones adicionales, esta idea se puede generalizar para que el recuento de iteraciones se convierta en un parámetro continuo; en este caso, dicho sistema se denomina flujo, especificado a través de soluciones de la ecuación de Schröder. Las funciones iteradas y los flujos ocurren naturalmente en el estudio de fractales y sistemas dinámicos.

Para evitar la ambigüedad, algunos matemáticos eligen usar $\circ$ para denotar el significado compositivo, escribiendo $f \circ n (x)$ para el $n$ -ésima iteración de la función $f (x)$ , como, por ejemplo, $f \circ3 (x)$ que significa $f (f (f (x)))$ . Con el mismo propósito, $f [n] (x)$ fue utilizado por Benjamin Peirce mientras que Alfred Pringsheim y Jules Molk sugirieron $n f (x)$ en su lugar.

Notaciones alternativas

Muchos matemáticos, particularmente en la teoría de grupos, omiten el símbolo de composición y escriben $gf$ para $g \circ f$ .

A mediados del siglo XX, algunos matemáticos decidieron que escribir " $g \circ f$ &# 34; para significar "primero aplique $f$ , luego aplique $g$ " era demasiado confuso y decidió cambiar las notaciones. Escriben " $xf$ " para " $f (x)$ " y " $(xf) g$ " para " $g (f (x))$ ". Esto puede ser más natural y parecer más simple que escribir funciones a la izquierda en algunas áreas, en álgebra lineal, por ejemplo, cuando $x$ es un vector de fila y $f$ y $g$ denotan matrices y la composición es por multiplicación de matrices. Esta notación alternativa se llama notación sufijo. El orden es importante porque la composición de funciones no es necesariamente conmutativa (por ejemplo, la multiplicación de matrices). Las transformaciones sucesivas que se aplican y componen a la derecha concuerdan con la secuencia de lectura de izquierda a derecha.

Los matemáticos que usan la notación de postfijo pueden escribir " $fg$ ", lo que significa que primero se aplica $f$ y luego aplique $g$ , siguiendo el orden en que los símbolos aparecen en notación de sufijo, por lo que la notación " $fg$ " ambiguo. Los informáticos pueden escribir " $f; g$ " para esto, eliminando así la ambigüedad del orden de composición. Para distinguir el operador de composición de la izquierda de un punto y coma de texto, en la notación Z se usa el carácter ⨾ para la composición de la relación de la izquierda. Dado que todas las funciones son relaciones binarias, también es correcto usar el punto y coma [grueso] para la composición de funciones (consulte el artículo sobre composición de relaciones para obtener más detalles sobre esta notación).

Operador de composición

Dada una función $g$ , el operador de composición $C g$ se define como el operador que asigna funciones a funciones como

{displaystyle C_{g}f=fcirc g.}

Los operadores de composición se estudian en el campo de la teoría de operadores.

En lenguajes de programación

La composición de funciones aparece de una forma u otra en numerosos lenguajes de programación.

Funciones multivariadas

La composición parcial es posible para funciones multivariadas. La función que resulta cuando algún argumento $x i$ de la función $f$ se reemplaza por la función $g$ se denomina composición de $f$ y $g$ en algunos contextos de ingeniería informática, y se denota $f | x i = g$

{displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},ldotsx_{i-1},g(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}),x_{i+1},ldotsx_{n}).}

Cuando $g$ es una constante simple $b$ , la composición degenera en una valoración (parcial), cuyo resultado también se conoce como restricción o cofactor.

{displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},ldotsx_{i-1},b,x_{i+1},ldotsx_{n}).}

En general, la composición de funciones multivariadas puede incluir otras funciones como argumentos, como en la definición de función recursiva primitiva. Dada $f$ , una $n$ -ary, y $n$ $m$ -funciones arias $g 1,..., g n$ , la composición de $f$ con $g 1,..., g n$ , es la función $m$ -ary

{displaystyle h(x_{1},ldotsx_{m})=f(g_{1}(x_{1},ldotsx_{m}),ldotsg_{n}(x_{1},ldotsx_{m})).}

Esto a veces se denomina compuesto generalizado o superposición de f con $g 1,..., g n$ . La composición parcial en un solo argumento mencionado anteriormente se puede ejemplificar a partir de este esquema más general configurando todas las funciones de argumento, excepto una, para que sean funciones de proyección adecuadamente elegidas. Aquí $g 1,..., g n$ puede verse como una función con valor de tupla/vector único en este esquema generalizado, en cuyo caso esta es precisamente la definición estándar de composición de funciones.

Un conjunto de operaciones finitas sobre algún conjunto base X se denomina clon si contiene todas las proyecciones y está cerrado bajo una composición generalizada. Tenga en cuenta que un clon generalmente contiene operaciones de varias aridades. La noción de conmutación también encuentra una generalización interesante en el caso multivariado; Se dice que una función f de aridad n conmuta con una función g de aridad m si f es un homomorfismo que conserva g, y viceversa, es decir:

{displaystyle f(g(a_{11},ldotsa_{1m}),ldotsg(a_{n1},ldotsa_{nm}))=g(f(a_{11},ldotsa_{n1}),ldotsf(a_{1m},ldotsa_{nm})).}

Una operación unaria siempre conmuta consigo misma, pero este no es necesariamente el caso de una operación binaria (o de mayor aridad). Una operación binaria (o de mayor aridad) que conmuta consigo misma se denomina medial o entrópica.

Generalizaciones

La composición se puede generalizar a relaciones binarias arbitrarias. Si $R \subseteq X \times Y$ y $S \subseteq Y \times Z$ son dos relaciones binarias, luego su composición $R \circ S$ es la relación definida como $[x, z) X \times Z : Sí. ▪ Y . () x, Sí.) R \land Sí., z) S}$ . Considerando una función como un caso especial de una relación binaria (nombre relaciones funcionales), la composición de la función satisface la definición para la composición de la relación. Un pequeño círculo $R \circ S$ ha sido utilizado para la notación infix de la composición de las relaciones, así como funciones. Cuando se utiliza para representar la composición de las funciones ${displaystyle (gcirc f)(x) = g(f(x))}$ Sin embargo, la secuencia de texto se invierte para ilustrar las diferentes secuencias de operación en consecuencia.

La composición se define de la misma manera para funciones parciales y el teorema de Cayley tiene su análogo llamado teorema de Wagner-Preston.

La categoría de conjuntos con funciones como morfismos es la categoría prototípica. De hecho, los axiomas de una categoría se inspiran en las propiedades (y también en la definición) de la composición de funciones. Las estructuras dadas por la composición son axiomatizadas y generalizadas en la teoría de categorías con el concepto de morfismo como el reemplazo teórico de categorías de las funciones. El orden inverso de composición en la fórmula $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1)$ se aplica a la composición de relaciones usando relaciones inversas y, por lo tanto, en la teoría de grupos. Estas estructuras forman categorías de dagas.

Tipografía

El símbolo de composición $\circ$ está codificado como U+2218 ∘ OPERADOR DE ANILLO (&compfn;, &Círculo pequeño;); consulte el artículo Símbolo de grado para ver los caracteres Unicode de apariencia similar. En TeX, se escribe circ.

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