Componentes simétricos

En ingeniería eléctrica, el método de los componentes simétricos simplifica el análisis de sistemas de energía trifásicos desequilibrados tanto en condiciones normales como anormales. La idea básica es que un conjunto asimétrico de N fasores se puede expresar como una combinación lineal de N conjuntos simétricos de fasores mediante una transformación lineal compleja. El teorema de Fortescue (componentes simétricos) se basa en el principio de superposición, por lo que es aplicable únicamente a sistemas de potencia lineales o a aproximaciones lineales de sistemas de potencia no lineales.

En el caso más común de sistemas trifásicos, el resultado "simétrico" Los componentes se denominan directo (o positivo), inverso (o negativo) y cero (o homopolar). El análisis de un sistema de potencia es mucho más simple en el dominio de los componentes simétricos, porque las ecuaciones resultantes son linealmente independientes entre sí si el circuito en sí está balanceado.

Descripción

En 1918, Charles Legeyt Fortescue presentó un artículo que demostraba que cualquier conjunto de N fasores desequilibrados (es decir, cualquier señal polifásica) podía expresarse como la suma de N conjuntos simétricos de fasores equilibrados, para valores de N que son primos. Los fasores sólo representan un componente de frecuencia.

En 1943, Edith Clarke publicó un libro de texto que proporcionaba un método de uso de componentes simétricos para sistemas trifásicos que simplificaba enormemente los cálculos con respecto al artículo original de Fortescue. En un sistema trifásico, un conjunto de fasores tiene la misma secuencia de fases que el sistema bajo estudio (secuencia positiva; digamos ABC), el segundo conjunto tiene la secuencia de fases inversa (secuencia negativa; ACB) y en el tercer conjunto el Los fasores A, B y C están en fase entre sí (secuencia cero, la señal de modo común). Básicamente, este método convierte tres fases desequilibradas en tres fuentes independientes, lo que hace que el análisis de fallas asimétricas sea más manejable.

Al ampliar un diagrama unifilar para mostrar las impedancias de secuencia positiva, secuencia negativa y secuencia cero de generadores, transformadores y otros dispositivos, incluidas líneas aéreas y cables, se puede analizar condiciones de desequilibrio como un cortocircuito de una sola línea a tierra. La culpa se simplifica enormemente. La técnica también se puede extender a sistemas de fases de orden superior.

Físicamente, en un sistema trifásico, un conjunto de corrientes de secuencia positiva produce un campo giratorio normal, un conjunto de secuencia negativa produce un campo con rotación opuesta y el conjunto de secuencia cero produce un campo que oscila pero no gira entre devanados de fase. Dado que estos efectos pueden detectarse físicamente con filtros de secuencia, la herramienta matemática se convirtió en la base para el diseño de relés de protección, que utilizaban voltajes y corrientes de secuencia negativa como un indicador confiable de las condiciones de falla. Dichos relés se pueden utilizar para disparar disyuntores o tomar otras medidas para proteger los sistemas eléctricos.

La técnica analítica fue adoptada y avanzada por ingenieros de General Electric y Westinghouse, y después de la Segunda Guerra Mundial se convirtió en un método aceptado para el análisis de fallas asimétricas.

Como se muestra en la figura de arriba a la derecha, los tres conjuntos de componentes simétricos (de secuencia positiva, negativa y cero) se suman para crear el sistema de tres fases desequilibradas como se muestra en la parte inferior del diagrama. El desequilibrio entre fases surge debido a la diferencia de magnitud y cambio de fase entre los conjuntos de vectores. Observe que los colores (rojo, azul y amarillo) de los vectores de secuencia separados corresponden a tres fases diferentes (A, B y C, por ejemplo). Para llegar al gráfico final, se calcula la suma de vectores de cada fase. Este vector resultante es la representación fasorial efectiva de esa fase en particular. Este proceso, repetido, produce el fasor para cada una de las tres fases.

El caso de las tres fases

Los componentes simétricos se utilizan más comúnmente para el análisis de sistemas de energía eléctrica trifásicos. El voltaje o la corriente de un sistema trifásico en algún punto puede indicarse mediante tres fasores, llamados los tres componentes del voltaje o la corriente.

Este artículo analiza el voltaje; sin embargo, las mismas consideraciones también se aplican a la corriente. En un sistema de energía trifásico perfectamente equilibrado, los componentes fasoriales de voltaje tienen magnitudes iguales pero están separados por 120 grados. En un sistema desequilibrado, las magnitudes y fases de los componentes fasoriales de tensión son diferentes.

Descomponer los componentes fasoriales de voltaje en un conjunto de componentes simétricos ayuda a analizar el sistema y a visualizar cualquier desequilibrio. Si los tres componentes de voltaje se expresan como fasores (que son números complejos), se puede formar un vector complejo en el que los tres componentes de fase son los componentes del vector. Un vector para componentes de voltaje trifásico se puede escribir como

vabc=[VaVbVc]{displaystyle mathbf {v} _{abc}={begin{bmatrix}V_{a}\V_{b}\V_{c}end{bmatrix}}} {c}}}} {c}}} {c}c}} {c}c}}}}}}}}}}

y descomponer el vector en tres componentes simétricos da

[VaVbVc]=[Va,0Vb,0Vc,0]+[Va,1Vb,1Vc,1]+[Va,2Vb,2Vc,2]{fnMicrosoft Sans Serif}

donde los subscriptos 0, 1, y 2 se refieren respectivamente a los componentes de secuencia cero, positivo y negativo. Los componentes de secuencia difieren sólo por sus ángulos de fase, que son simétricos y así son 23π π {displaystyle scriptstyle {frac {2}pi} radios o 120°.

Una matriz

Definir un operador de rotación de fasor α α {displaystyle alpha }, que gira un vector de phasor contrarreloj en 120 grados cuando se multiplica por él:

α α ↑ ↑ e23π π i{displaystyle alpha equiv e^{frac {2}{3}pi} - Sí..

Note que α α 3=1{displaystyle alpha ^{3}=1} así α α − − 1=α α 2{displaystyle alpha ^{-1}=alpha ^{2}.

Los componentes de secuencia cero tienen igual magnitud y están en fase entre sí, por lo tanto:

V0↑ ↑ Va,0=Vb,0=Vc,0{displaystyle V_{0}equiv V_{a,0}=V_{b,0}=V_{c,0},

y los otros componentes de la secuencia tienen la misma magnitud, pero sus ángulos de fase difieren en 120°. Si el conjunto original desequilibrado de fasores de tensión tiene una secuencia de fases positiva o abc, entonces:

V1↑ ↑ Va,1=α α Vb,1=α α 2Vc,1{displaystyle {begin{aligned}V_{1} V_{a,1}=alpha V_{b,1}=alpha ^{2}V_{c,1}end{aligned}},

V2↑ ↑ Va,2=α α 2Vb,2=α α Vc,2{displaystyle {begin{aligned}V_{2} V_{a,2}=alpha ^{2}V_{b,2}=alpha V_{c,2}end{aligned}},

lo que significa que

Vb,1=α α 2V1{displaystyle {begin{aligned}V_{b,1}=alpha ^{2}V_{1}end{aligned}},

Vc,1=α α V1{displaystyle {begin{aligned}V_{c,1}=alpha V_{1}end{aligned}},

Vb,2=α α V2{displaystyle {begin{aligned}V_{b,2}=alpha V_{2}end{aligned}},

Vc,2=α α 2V2{displaystyle {begin{aligned}V_{c,2}=alpha ^{2}V_{2}end{aligned}}.

Así,

vabc=[V0V0V0]+[V1α α 2V1α α V1]+[V2α α V2α α 2V2]=[1111α α 2α α 1α α α α 2][V0V1V2]=Av012{displaystyle {begin{aligned}mathbf {v} {{abc} {begin{bmatrix}V_{0}\\\\V_{0}end{bmatrix}+{begin{bmatrix}V_{1}\\\\\\\Alphaphaalpha ^{2}V_{1}\Alpha V_{1}end{bmatrix}}+{begin{bmatrix}V_{2}\\alpha V_{2}\\Alpha ^{2}V_{2}end{bmatrix}\\begin{bmatrix}1 limit111 limitalpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ ^{2}end{bmatrix} {begin{bmatrix}V_{0}\V_{1}\V_{2}end{bmatrix}\\\\\\textbf Mathbf {v}

dónde

v012=[V0V1V2],A=[1111α α 2α α 1α α α α 2]{displaystyle mathbf {v} _{012}={begin{bmatrix}V_{0}V_{1}V_{2}end{bmatrix},{textbf {fn}={begin{bmatrix}1 ventaja11}= {1}={begin{bmatrix}1}1 ^{2}end{bmatrix}}

Si, en cambio, el conjunto original desequilibrado de fasores de voltaje tiene una secuencia de fase negativa o acb, la siguiente matriz se puede derivar de manera similar:

Aacb=[1111α α α α 21α α 2α α ]{displaystyle {textbf {A}_{acb}={begin{bmatrix}1 tendrían un doble11} 'alpha ^{2}1 golpealpha ^{2}

Descomposición

Los componentes de la secuencia se derivan de la ecuación de análisis.

v012=A− − 1vabc{displaystyle mathbf {v} _{012}={textbf {} {fn}\fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {cH}} {cH}} {fn}}}}fnK}} {fnK}}}\fn} {\fnK}f}f}}fnKf}}f}}}\\\\fn}}}}}\\\\\\\\\\\fn}}}}fn}}}}}\\\\\\\fn}}}}}}}\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}\fn}}\fn}}}}}fn}}}}\\\\\\\\\\\\\\\

dónde

A− − 1=13[1111α α α α 21α α 2α α ]{displaystyle {textbf}{-1}={frac} {1}{3}{begin{bmatrix}1 curva11 golpe1 'alpha ^{2}1 golpealpha ^{2}

Las dos ecuaciones anteriores indican cómo derivar componentes simétricos correspondientes a un conjunto asimétrico de tres fasores:

• Secuencia 0 es una tercera parte de la suma de los tres faasores originales.
• Secuencia 1 es una tercera parte de la suma de los tres fasores originales girados en sentido contrario 0°, 120° y 240°.
• Secuencia 2 es una tercera parte de la suma de los tres fasores originales girados en sentido contrario 0°, 240° y 120°.

Visualmente, si los componentes originales son simétricos, las secuencias 0 y 2 formarán un triángulo, resumiendo a cero, y los componentes de secuencia 1 sumarán a una línea recta.

Intuición

Los fasores V()ab)=V()a)− − V()b);V()bc)=V()b)− − V()c);V()ca)=V()c)− − V()a){displaystyle scriptstyle V_{(ab)}=V_{(a)}-V_{(b)};;V_{(bc)}=V_{(b)}-V_{(c)};;V_{(ca)}=V_{(c)}-V_{(a)}}}} formar un triángulo cerrado (por ejemplo, voltajes externos o voltajes de línea a línea). Para encontrar los componentes sincrónicos e inversos de las fases, tomar cualquier lado del triángulo exterior y dibujar los dos posibles triángulos equiláteros compartiendo el lado seleccionado como base. Estos dos triángulos equiláteros representan un sistema sincrónico e inverso.

Si los faasores V fueran un sistema perfectamente sincronizado, el vértice del triángulo exterior no en la línea base estaría en la misma posición que el vértice correspondiente del triángulo equilátero que representa el sistema sincrónico. Cualquier cantidad de componente inverso significaría una desviación de esta posición. La desviación es exactamente 3 veces el componente de fase inversa.

El componente sincrónico es de la misma manera 3 veces la desviación del "triángulo equilátero inverso". Las direcciones de estos componentes son correctas para la fase correspondiente. Parece contrario a la intuición que esto funcione para las tres fases independientemente del lado elegido, pero esa es la belleza de esta ilustración. El gráfico es del Teorema de Napoleón, que coincide con una técnica de cálculo gráfico que a veces aparece en libros de referencia más antiguos.

Caja polifásica

Se puede ver que la matriz de transformación A anterior es una matriz DFT y, como tal, se pueden calcular componentes simétricos para cualquier sistema polifásico.

Contribución de armónicos a componentes simétricos en sistemas de potencia trifásicos

A menudo se producen armónicas en sistemas de energía como consecuencia de cargas no lineales. Cada orden de armónicos contribuye a diferentes componentes de secuencia. Los fundamentos y armónicos del orden 3n+1{displaystyle scriptstyle 3n+1} contribuirá al componente de secuencia positiva. Armonía del orden 3n− − 1{displaystyle scriptstyle 3n-1} contribuirá a la secuencia negativa. Armonía del orden 3n{displaystyle scriptstyle 3n} contribuir a la secuencia cero.

Tenga en cuenta que las reglas anteriores solo son aplicables si los valores de fase (o distorsión) en cada fase son exactamente los mismos. Tenga en cuenta además que incluso los armónicos no son comunes en los sistemas de energía.

Consecuencias del componente de secuencia cero en los sistemas eléctricos

La secuencia cero representa el componente de los fasores desequilibrados que es igual en magnitud y fase. Debido a que están en fase, las corrientes de secuencia cero que fluyen a través de una red de n fases sumarán n veces la magnitud de los componentes individuales de las corrientes de secuencia cero. En condiciones normales de funcionamiento, esta suma es lo suficientemente pequeña como para ser insignificante. Sin embargo, durante grandes eventos de secuencia cero, como la caída de un rayo, esta suma distinta de cero de corrientes puede hacer que fluya una corriente mayor a través del conductor neutro que los conductores de fase individuales. Debido a que los conductores neutros normalmente no son más grandes que los conductores de fase individuales y, a menudo, son más pequeños que estos conductores, un componente de secuencia cero grande puede provocar un sobrecalentamiento de los conductores neutros y provocar incendios.

Una forma de evitar grandes corrientes de secuencia cero es utilizar una conexión en triángulo, que aparece como un circuito abierto a las corrientes de secuencia cero. Por esta razón, la mayor parte de la transmisión y gran parte de la subtransmisión se implementan utilizando delta. Gran parte de la distribución también se implementa mediante delta, aunque el "trabajo antiguo" En ocasiones, los sistemas de distribución se han visto "desviados" (convertido de delta a estrella) para aumentar la capacidad de la línea a un costo de conversión bajo, pero a expensas de un costo más alto del relé de protección de la estación central.