Complejo Vietoris-Rips

En topología, el complejo de Vietoris-Rips, también llamado complejo de Vietoris o complejo de Rips, es una forma de formar un espacio topológico a partir de distancias en un conjunto de puntos. Es un complejo simplicial abstracto que se puede definir a partir de cualquier espacio métrico M y distancia δ mediante la formación de un símplex para cada conjunto finito de puntos con un diámetro máximo de δ. Es decir, es una familia de subconjuntos finitos de M, en la que consideramos que un subconjunto de k puntos forma un símplex de (k − 1) dimensión (una arista para dos puntos, un triángulo para tres puntos, un tetraedro para cuatro puntos, etc.). Si un conjunto finito S tiene la propiedad de que la distancia entre cada par de puntos en S es como máximo δ, entonces incluimos S como un símplex en el complejo.El complejo de Vietoris-Rips se denominó originalmente complejo de Vietoris en honor a Leopold Vietoris, quien lo introdujo para extender la teoría de homología de los complejos simpliciales a los espacios métricos. Después de que Eliyahu Rips aplicara el mismo complejo al estudio de los grupos hiperbólicos, su uso fue popularizado por Mikhail Gromov (1987), quien lo denominó complejo de Rips. El nombre «complejo de Vietoris-Rips» se debe a Jean-Claude Hausmann (1995).El complejo de Vietoris-Rips está estrechamente relacionado con el complejo de Čech (o nervio) de un conjunto de bolas, que tiene un símplex para cada subconjunto finito de bolas con intersección no vacía. En un espacio geodésicamente convexo Y, el complejo de Vietoris-Rips de cualquier subespacio X ⊂ Y para la distancia δ tiene los mismos puntos y aristas que el complejo de Čech del conjunto de bolas de radio δ/2 en Y centradas en los puntos de X. Sin embargo, a diferencia del complejo de Čech, el complejo de Vietoris-Rips de X depende únicamente de la geometría intrínseca de X, y no de ninguna incrustación de X en un espacio mayor.Como ejemplo, considérese el espacio métrico uniforme M₃, que consta de tres puntos, cada uno a una distancia unitaria entre sí. El complejo de Vietoris-Rips de M₃, para δ = 1, incluye un símplex para cada subconjunto de puntos en M₃, incluyendo un triángulo para el propio M₃. Si incrustamos M₃ como un triángulo equilátero en el plano euclidiano, entonces el complejo de Čech de las esferas de radio 1/2 centradas en los puntos de M₃ contendría todos los demás símplex del complejo de Vietoris-Rips, pero no contendría este triángulo, ya que ningún punto del plano está contenido en las tres esferas. Sin embargo, si M₃ se integra en un espacio métrico que contiene un cuarto punto a una distancia de 1/2 de cada uno de los tres puntos de M₃, el complejo de Čech de las bolas de radio 1/2 en este espacio contendría el triángulo. Por lo tanto, el complejo de Čech de bolas de radio fijo centradas en M₃ difiere según el espacio mayor en el que se integre M₃, mientras que el complejo de Vietoris-Rips permanece inalterado.Si cualquier espacio métrico X está inmerso en un espacio métrico inyectivo Y, el complejo de Vietoris-Rips para las distancias δ y X coincide con el complejo de Čech de las esferas de radio δ/2 centradas en los puntos de X en Y. Por lo tanto, el complejo de Vietoris-Rips de cualquier espacio métrico M es igual al complejo de Čech de un sistema de esferas en el espacio estrecho de M.El complejo de Vietoris-Rips para δ = 1 contiene una arista para cada par de puntos que se encuentran a una distancia unitaria o menor en el espacio métrico dado. Por lo tanto, su 1-esqueleto es el grafo de disco unidad de sus puntos. Contiene un símplex para cada clique en el grafo de disco unidad, por lo que es el complejo de clique o complejo bandera del grafo de disco unidad. De forma más general, el complejo de clique de cualquier grafo G es un complejo de Vietoris-Rips para el espacio métrico que tiene como puntos los vértices de G y como distancias las longitudes de los caminos más cortos en G.

Si M es una variedad riemanniana cerrada, entonces, para valores suficientemente pequeños de δ, el complejo de Vietoris-Rips de M, o de espacios suficientemente cercanos a M, es homotópicamente equivalente a M mismo.

Chambers, Erickson y Worah (2008) describen algoritmos eficientes para determinar si un ciclo dado es contráctil en el complejo de Rips de cualquier punto finito en el plano euclidiano.Al igual que con los grafos de disco unitario, el complejo Vietoris-Rips se ha aplicado en informática para modelar la topología de redes de comunicación inalámbrica ad hoc. Una ventaja del complejo Vietoris-Rips en esta aplicación es que puede determinarse únicamente a partir de las distancias entre los nodos de comunicación, sin necesidad de inferir sus ubicaciones físicas exactas. Una desventaja es que, a diferencia del complejo Čech, el complejo Vietoris-Rips no proporciona información directa sobre las brechas en la cobertura de la comunicación. Sin embargo, esta deficiencia puede subsanarse intercalando el complejo Čech entre dos complejos Vietoris-Rips para diferentes valores de δ. Se puede encontrar una implementación de los complejos Vietoris-Rips en el paquete TDAstats de R.

Los complejos Vietoris-Rips también se han aplicado para la extracción de características en datos de imágenes digitales; en esta aplicación, el complejo se construye a partir de un espacio métrico de alta dimensión en el que los puntos representan características de imagen de bajo nivel.La recopilación de todos los complejos de Vietoris-Rips es una construcción comúnmente aplicada en homología persistente y análisis de datos topológicos, y se conoce como filtración de Rips.