Complejo simplicial

Un simplicial 3-complejo.

En matemáticas, un complejo simplicial es un conjunto compuesto de puntos, segmentos de línea, triángulos y sus contrapartes n-dimensionales (ver ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de un conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de la homotopía simplicial. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto. Para distinguir un complejo simplicial de un complejo simplicial abstracto, el primero se denomina a menudo complejo simplicial geométrico.

Definiciones

A complejo simplicial K{displaystyle {fnMithcal}} es un conjunto de simplices que satisface las siguientes condiciones:

1. Cada cara de un simplex de K{displaystyle {fnMithcal}} también está K{displaystyle {fnMithcal}}.

2. La intersección no vacía de los dos simplices σ σ 1,σ σ 2▪ ▪ K{displaystyle sigma _{1},sigma _{2}in {mathcal {K}} es una cara de ambos σ σ 1{displaystyle sigma ¿Qué? y σ σ 2{displaystyle sigma _{2}.

Véase también la definición de un complejo simplicial abstracto, que en términos generales es un complejo simplicial sin una geometría asociada.

A simplicial k- complejo K{displaystyle {fnMithcal}} es un complejo simplicial donde la dimensión más grande de cualquier simplex en K{displaystyle {fnMithcal}} iguales k. Por ejemplo, un simplicial 2-complex debe contener al menos un triángulo, y no debe contener ningún tetrahedra o simplices de mayor dimensión.

A puro o homogénea simplicial k- complejo K{displaystyle {fnMithcal}} es un complejo simplicial donde cada simplex de dimensión menos que k es una cara de un simplex σ σ ▪ ▪ K{displaystyle sigma in {fn} de dimensión exactamente k. Informalmente, un puro "looks" de 1 complejo como está hecho de un montón de líneas, un "looks" de 2 complejos como está hecho de un montón de triángulos, etc. Un ejemplo de un no- complejo homogéneo es un triángulo con un segmento de línea unido a uno de sus vértices. Los complejos simpliciales puros se pueden considerar como triangulaciones y proporcionar una definición de politopes.

Una faceta es un símplex máximo, es decir, cualquier símplex en un complejo que no es una cara de ningún símplex mayor. (Observe la diferencia con una "cara" de un simplex). Se puede pensar en un complejo simplicial puro como un complejo donde todas las facetas tienen la misma dimensión. Para (complejos de límite de) politopos simpliciales esto coincide con el significado de la combinatoria poliédrica.

A veces, el término cara se usa para referirse a un simplex de un complejo, que no debe confundirse con una cara de un simplex.

Para un complejo simplicial incrustado en un espacio k-dimensional, las caras k a veces se denominan sus celdas. El término célula a veces se usa en un sentido más amplio para denotar un conjunto homeomorfo a un símplex, lo que lleva a la definición de complejo celular.

El espacio subyacente, a veces llamado transportista de un complejo simplicial es la unión de sus simplices. Por lo general es denotado SilencioKSilencio{displaystyle Silencio {fnMithcal {fnK} o SilencioSilencioKSilencioSilencio{displaystyle Silencioso {fnMithcal}.

Soporte

Los interiores relativos de todos los simplices en K{displaystyle {fnMithcal}} forma una partición de su espacio subyacente SilencioKSilencio{displaystyle Silencio {fnMithcal {fnK}: para cada punto x▪ ▪ SilencioKSilencio{displaystyle xin Silencio{mathcal {K}, hay exactamente un simplex en K{displaystyle {fnMithcal}} que contiene x{displaystyle x} en su interior relativo. Este sencillo se llama el Apoyo de x y denotado Supp⁡ ⁡ ()x){displaystyle operatorname {supp} (x)}.

Cierre, estrella y enlace

• 

  Dos. simplices y sus cierre.

• 

  A vertex y su estrella.

• 

  A vertex y su enlace.

Sea K un complejo simplicial y sea S una colección de simples en K.

El cierre de S (denominado ClS{displaystyle mathrm {Cl} S}) es el subcomplejo simplicial más pequeño de K que contiene cada simplex en S. ClS{displaystyle mathrm {Cl} S} se obtiene agregando repetidamente a S cada cara de cada simplex en S.

El estrella de S (denominado stS{displaystyle mathrm {st} S}) es la unión de las estrellas de cada simplex en S. Para un simplex s, la estrella de s es el conjunto de simplices que tienen s como cara. La estrella de S generalmente no es un complejo simplicial en sí, por lo que algunos autores definen estrella cerrada of S (denoted StS{displaystyle mathrm {St} S}como ClstS{displaystyle mathrm {Cl} mathrm {st} S} el cierre de la estrella de S.

El enlace de S (denominado LkS{displaystyle mathrm {Lk} S}) iguales Cl()st()S))∖ ∖ st()Cl()S)){displaystyle mathrm {big {}mathrm {st} {big}setminus mathrm {st} {big (}mathrm {} (S){big)}}}}} {big}}}}} {big}}} {big}}}}}}}} {big}}}}} {m}}}}} {b}}}}} {m] {b}}}}}} {b}}}}}}}}} {m] {b}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}} {. Es la estrella cerrada de S menos las estrellas de todas las caras S.

Topología algebraica

En la topología algebraica, los complejos simpliciales suelen ser útiles para cálculos concretos. Para la definición de grupos de homología de un complejo simplicial, uno puede leer directamente el complejo de cadena correspondiente, siempre que se hagan orientaciones consistentes de todos los simples. Los requisitos de la teoría de la homotopía conducen al uso de espacios más generales, los complejos CW. Los complejos infinitos son una herramienta técnica básica en topología algebraica. Véase también la discusión en Polytope de los complejos simpliciales como subespacios del espacio euclidiano formado por subconjuntos, cada uno de los cuales es un símplex. Ese concepto algo más concreto se atribuye allí a Alexandrov. Cualquier complejo simplicial finito en el sentido del que se habla aquí se puede incrustar como un politopo en ese sentido, en un gran número de dimensiones. En topología algebraica, un espacio topológico compacto que es homeomorfo a la realización geométrica de un complejo simplicial finito se suele denominar poliedro (ver Spanier 1966, Maunder 1996, Hilton & Wylie 1967).

Combinatoria

Los combinatorialistas suelen estudiar f-vector de un simplicial d-complex Δ, que es la secuencia entero ()f0,f1,f2,...... ,fd+1){displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},ldotsf_{d+1}}, donde f_i es el número de (i1)-caras dimensionales de Δ (por convención, f₀= 1 a menos que Δ sea el complejo vacío). Por ejemplo, si Δ es el límite del octaedro, entonces su f-vector es (1, 6, 12, 8), y si Δ es el primer complejo simplicial representado arriba, su f-vector es (1, 18, 23, 8, 1). Una caracterización completa de lo posible f-vectores de complejos simpliciales es dado por el teorema Kruskal-Katona.

Usando el f-vector de un simplicial d- complejo Δ como coeficientes de un polinomio (escrito en orden decreciente de exponentes), obtenemos el f-polynomial de Δ. En nuestros dos ejemplos anteriores, los f- Los pobres serían x3+6x2+12x+8{displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8} y x4+18x3+23x2+8x+1{displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}, respectivamente.

Los combinatoristas suelen estar muy interesados en el h-vector de un complejo simplicial Δ, que es la secuencia de coeficientes del polinomio que resulta de reemplazar x − 1 en el polinomio f de Δ. Formalmente, si escribimos F_Δ(x) para indicar el polinomio f de Δ, entonces el h-polinomio de Δ es

FΔ Δ ()x− − 1)=h0xd+1+h1xd+h2xd− − 1+⋯ ⋯ +hdx+hd+1{displaystyle F_{Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+cdots - ¿Qué?

y el vector h de Δ es

()h0,h1,h2,⋯ ⋯ ,hd+1).{displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},cdotsh_{d+1}). }

Calculamos el vector h del límite del octaedro (nuestro primer ejemplo) de la siguiente manera:

F()x− − 1)=()x− − 1)3+6()x− − 1)2+12()x− − 1)+8=x3+3x2+3x+1.{displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.}

Entonces el vector h del límite del octaedro es (1, 3, 3, 1). No es un accidente que este vector h sea simétrico. De hecho, esto sucede siempre que Δ es el límite de un politopo simplicial (estas son las ecuaciones de Dehn-Sommerville). En general, sin embargo, el vector h de un complejo simplicial ni siquiera es necesariamente positivo. Por ejemplo, si tomamos Δ como el 2-complejo dado por dos triángulos que se cortan solo en un vértice común, el vector h resultante es (1, 3, −2).

El célebre teorema g de Stanley, Billera y Lee proporciona una caracterización completa de todos los vectores h de politopos simpliciales.

Se puede ver que los complejos simples tienen la misma estructura geométrica que el gráfico de contacto de un empaquetamiento de esferas (un gráfico donde los vértices son los centros de las esferas y los bordes existen si los elementos de empaquetamiento correspondientes se tocan entre sí) y como tales pueden usarse para determinar la combinatoria de los empaques de esferas, como el número de pares que se tocan (1-simple), trillizos que se tocan (2-simples) y cuádruples que se tocan (3-simples) en un empaque de esferas.

Problemas computacionales

El problema de reconocimiento del complejo simplicial es: dado un complejo simplicial finito, decidir si es homeomorfo a un objeto geométrico dado. Este problema es indecidible para cualquier variedad d-dimensional para d ≥ 5.