Complejo conjugado

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Operación fundamental en números complejos

Representación geométrica (Esquema de Argánd) de

z

y su conjugado

{overline {z}}

en el plano complejo. El complejo conjugado se encuentra reflejando

z

a través del eje real.

En matemáticas, la complejo conjugado de un número complejo es el número con una parte real igual y una parte imaginaria igual en magnitud pero opuesto en señal. Eso es, (si $a$ y $b$ son reales, entonces) el complejo conjugado de ${displaystyle a+bi}$ es igual a ${displaystyle a-bi.}$ El complejo conjugado de $z$ a menudo se denota como ${overline {z}}$ o $z^{*}$ .

En forma polar, el conjugado de ${displaystyle re^{ivarphi }}$ es ${displaystyle re^{-ivarphi }.}$ Esto se puede mostrar usando la fórmula de Euler.

El producto de un número complejo y su conjugado es un número real: $a^2 + b^2$ (o $r^{2}$ en coordenadas polares).

Si una raíz de un polinomio univariado con coeficientes reales es compleja, entonces su complejo conjugado también es una raíz.

Notación

El complejo conjugado de un número complejo $z$ está escrito como ${overline {z}}$ o ${displaystyle z^{*}.}$ La primera notación, un vinculo, evita confusión con la notación para la transposición conjugada de una matriz, que se puede considerar como una generalización del complejo conjugado. El segundo es preferido en la física, donde dagger (†) se utiliza para la transposición conyugal, así como la ingeniería eléctrica e ingeniería informática, donde la notación de la barra puede confundirse para la negación lógica ("NOT") Álgebra booleana símbolo, mientras que la notación de la barra es más común en matemáticas puras.

Si un número complejo es representado como $2times 2$ matriz, las notaciones son idénticas, y el complejo conjugado corresponde a una vuelta a lo largo de la diagonal.

Propiedades

Las siguientes propiedades se aplican para todos los números complejos $z$ y ${displaystyle w,}$ a menos que se indique lo contrario, y puede probarse por escrito $z$ y $w$ en la forma ${displaystyle a+bi.}$

Para dos números complejos cualesquiera, la conjugación es distributiva sobre la suma, resta, multiplicación y división:

{displaystyle {begin{aligned}{overline {z+w}}&={overline {z}}+{overline {w}},\{overline {z-w}}&={overline {z}}-{overline {w}},\{overline {zw}}&={overline {z}};{overline {w}},quad {text{and}}\{overline {left({frac {z}{w}}right)}}&={frac {overline {z}}{overline {w}}},quad {text{if }}wneq 0.end{aligned}}}

Un número complejo es igual a su complejo conjugado si su parte imaginaria es cero, es decir, si el número es real. En otras palabras, los números reales son los únicos puntos fijos de conjugación.

La conjugación no cambia el módulo de un número complejo: ${displaystyle left|{overline {z}}right|=|z|.}$

La conjugación es una involución, es decir, el conjugado del conjugado de un número complejo $z$ es $z.$ En símbolos, ${displaystyle {overline {overline {z}}}=z.}$

El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado del módulo del número:

{displaystyle z{overline {z}}={left|zright|}^{2}.}

{displaystyle z^{-1}={frac {overline {z}}{{left|zright|}^{2}}},quad {text{ for all }}zneq 0.}

La conjugación es conmutativa bajo composición con exponenciación a potencias enteras, con la función exponencial y con el logaritmo natural para argumentos distintos de cero:

{displaystyle {overline {z^{n}}}=left({overline {z}}right)^{n},quad {text{ for all }}nin mathbb {Z} }

{displaystyle exp left({overline {z}}right)={overline {exp(z)}}}

{displaystyle ln left({overline {z}}right)={overline {ln(z)}}{text{ if }}z{text{ is non-zero }}}

Si $p$ es un polinomio con coeficientes reales y ${displaystyle p(z)=0,}$ entonces ${displaystyle pleft({overline {z}}right)=0}$ también. Así, las raíces no reales de los polinomios reales ocurren en pares complejos conjugados (ver Teorema de raíz complejo conjugado).

En general, si $varphi$ es una función holomorfa cuya restricción a los números reales es valorada real, y $varphi (z)$ y ${displaystyle varphi ({overline {z}})}$ son definidos, entonces

{displaystyle varphi left({overline {z}}right)={overline {varphi (z)}}.,!}

El mapa ${displaystyle sigma (z)={overline {z}}}$ desde $mathbb{C}$ a $mathbb{C}$ es un homeomorfismo (donde la topología en $mathbb{C}$ se toma para ser la topología estándar) y antilinear, si uno considera $mathbb{C}$ como un espacio vectorial complejo sobre sí mismo. Aunque parece ser una función bien desarrollada, no es holomorfa; revierte la orientación mientras que las funciones holomorfas localmente preservan la orientación. Es bijetivo y compatible con las operaciones aritméticas, y por lo tanto es un automorfismo de campo. Como mantiene fijos los números reales, es un elemento del grupo Galois de la extensión de campo ${displaystyle mathbb {C} /mathbb {R}.}$ Este grupo Galois tiene sólo dos elementos: $sigma$ y la identidad ${displaystyle mathbb {C}.}$ Así los únicos dos automorfismos de campo $mathbb{C}$ que dejan los números reales fijos son el mapa de identidad y la conjugación compleja.

Usar como variable

Una vez un número complejo ${displaystyle z=x+yi}$ o ${displaystyle z=re^{itheta }}$ se da, su conjugado es suficiente para reproducir las partes de $z$ -variable:

Parte real: ${displaystyle x=operatorname {Re} (z)={dfrac {z+{overline {z}}}{2}}}$
Parte imaginaria: ${displaystyle y=operatorname {Im} (z)={dfrac {z-{overline {z}}}{2i}}}$
Modulo (o valor absoluto): ${displaystyle r=left|zright|={sqrt {z{overline {z}}}}}$
Argumento: ${displaystyle e^{itheta }=e^{iarg z}={sqrt {dfrac {z}{overline {z}}}},}$ Así que... ${displaystyle theta =arg z={dfrac {1}{i}}ln {sqrt {frac {z}{overline {z}}}}={dfrac {ln z-ln {overline {z}}}{2i}}}$

Además, ${overline {z}}$ se puede utilizar para especificar líneas en el plano: el conjunto

{displaystyle left{z:z{overline {r}}+{overline {z}}r=0right}}

{displaystyle {r},}

zcdot {overline {r}}

z

{displaystyle {r}}

{displaystyle u=e^{ib},}

{displaystyle {frac {z-z_{0}}{{overline {z}}-{overline {z_{0}}}}}=u^{2}}

z_{0}

u.

Estos usos del conjugado $z$ como variable se ilustran en el libro de Frank Morley Geometría inversiva (1933), escrito con su hijo Frank Vigor Morley.

Generalizaciones

Las otras álgebras unitales reales planas, los números duales y los números complejos divididos también se analizan mediante la conjugación compleja.

Para matrices de números complejos, ${textstyle {overline {mathbf {AB} }}=left({overline {mathbf {A} }}right)left({overline {mathbf {B} }}right),}$ Donde ${textstyle {overline {mathbf {A} }}}$ representa la conjugación elemento por elemento ${displaystyle mathbf {A}.}$ Contraste esto a la propiedad ${textstyle left(mathbf {AB} right)^{*}=mathbf {B} ^{*}mathbf {A} ^{*},}$ Donde ${textstyle mathbf {A} ^{*}}$ representa la transposición conyugal ${textstyle mathbf {A}.}$

Tomar la transpuesta conjugada (o adjunta) de matrices complejas generaliza la conjugación compleja. Aún más general es el concepto de operador adjunto para operadores en espacios de Hilbert complejos (posiblemente de dimensión infinita). Todo esto está incluido en las operaciones * de C*-álgebras.

También se puede definir una conjugación para las cuaterniones y las cuaterniones divididas: el conjugado ${textstyle a+bi+cj+dk}$ es ${textstyle a-bi-cj-dk.}$

Todas estas generalizaciones son multiplicativas solo si los factores se invierten:

{displaystyle {left(zwright)}^{*}=w^{*}z^{*}.}

Dado que la multiplicación de álgebras reales planas es conmutativa, esta inversión no es necesaria allí.

También hay una noción abstracta de conjugación para espacios vectoriales ${textstyle V}$ sobre los números complejos. En este contexto, cualquier mapa antilineal ${textstyle varphi:Vto V}$ que satisfice

${displaystyle varphi ^{2}=operatorname {id} _{V},,}$ Donde ${displaystyle varphi ^{2}=varphi circ varphi }$ y ${displaystyle operatorname {id} _{V}}$ es el mapa de identidad en $V,$
${displaystyle varphi (zv)={overline {z}}varphi (v)}$ para todos ${displaystyle vin V,zin mathbb {C}}$ y
${displaystyle varphi left(v_{1}+v_{2}right)=varphi left(v_{1}right)+varphi left(v_{2}right),}$ para todos ${displaystyle v_{1}v_{2},in V,}$

se llama compleja conjugación, o una estructura real. Como la involución $varphi$ es antilinear, no puede ser el mapa de identidad en $V.$

Por supuesto. ${textstyle varphi }$ es un ${textstyle mathbb {R} }$ - Transformación lineal de ${textstyle V,}$ si uno observa que cada espacio complejo $V$ tiene una forma real obtenida tomando los mismos vectores que en el espacio original y restringiendo los escalares a ser real. Las propiedades anteriores definen realmente una estructura real en el complejo espacio vectorial $V.$

Un ejemplo de esta noción es la operación de transposición conjugada de matrices complejas definida anteriormente. Sin embargo, en espacios vectoriales complejos genéricos, no existe una noción canónica de conjugación compleja.

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