Compactificación (matemáticas)

En matemáticas, en topología general, la compactación es el proceso o resultado de convertir un espacio topológico en un espacio compacto. Un espacio compacto es un espacio en el que cada cubierta abierta del espacio contiene una subcubierta finita. Los métodos de compactación son varios, pero cada uno es una forma de controlar puntos desde "ir al infinito" agregando de alguna manera "puntos en el infinito" o prevenir tal "escape".

Un ejemplo

Considere la línea real con su topología ordinaria. Este espacio no es compacto; en cierto sentido, los puntos pueden ir hasta el infinito a la izquierda oa la derecha. Es posible convertir la línea real en un espacio compacto agregando un solo "punto en el infinito" que denotaremos por ∞. La compactación resultante se puede considerar como un círculo (que es compacto como un subconjunto cerrado y acotado del plano euclidiano). Cada secuencia que se fue al infinito en la línea real convergerá a ∞ en esta compactación.

Intuitivamente, el proceso se puede representar de la siguiente manera: primero reduzca la línea real al intervalo abierto (-π,π) en el eje x; luego doble los extremos de este intervalo hacia arriba (en dirección y positiva) y muévalos uno hacia el otro, hasta que obtenga un círculo al que le falte un punto (el de arriba). Este punto es nuestro nuevo punto ∞ "en el infinito"; agregarlo completa el círculo compacto.

De manera un poco más formal: representamos un punto en el círculo unitario por su ángulo, en radianes, yendo de -π a π por simplicidad. Identifique cada punto θ en el círculo con el punto correspondiente en la línea real tan(θ/2). Esta función no está definida en el punto π, ya que tan(π/2) no está definida; identificaremos este punto con nuestro punto ∞.

Dado que las tangentes y las tangentes inversas son continuas, nuestra función de identificación es un homeomorfismo entre la línea real y el círculo unitario sin ∞. Lo que hemos construido se llama la compactación de un punto de Alexandroff de la línea real, discutida con más generalidad a continuación. También es posible compactar la recta real añadiendo dos puntos, +∞ y -∞; esto da como resultado la línea real extendida.

Definición

Una incrustación de un espacio topológico X como un subconjunto denso de un espacio compacto se denomina compactificación de X. A menudo es útil incrustar espacios topológicos en espacios compactos, debido a las propiedades especiales que tienen los espacios compactos.

Las incrustaciones en espacios compactos de Hausdorff pueden ser de particular interés. Como todo espacio compacto de Hausdorff es un espacio de Tychonoff, y todo subespacio de un espacio de Tychonoff es Tychonoff, concluimos que cualquier espacio que posea una compactación de Hausdorff debe ser un espacio de Tychonoff. De hecho, lo contrario también es cierto; ser un espacio de Tychonoff es necesario y suficiente para poseer una compactación de Hausdorff.

El hecho de que clases grandes e interesantes de espacios no compactos tengan compactaciones de tipos particulares hace que la compactación sea una técnica común en topología.

Compactificación de un punto de Alexandroff

Para cualquier espacio topológico no compacto X la (Alexandroff) compactación en un punto αX de X se obtiene añadiendo un punto extra ∞ (a menudo llamado un punto en el infinito) y definiendo los conjuntos abiertos del nuevo espacio como los conjuntos abiertos de X junto con los conjuntos de la forma G ∪ {∞}, donde G es un subconjunto abierto de X tal que X G es cerrado y compacto. La compactación de un punto de X es Hausdorff si y solo si X es Hausdorff, no compacta y localmente compacta.

Compactación Stone-Čech

De particular interés son las compactaciones de Hausdorff, es decir, las compactaciones en las que el espacio compacto es Hausdorff. Un espacio topológico tiene una compactación de Hausdorff si y solo si es Tychonoff. En este caso, hay un único (hasta el homeomorfismo) "más general" compactación de Hausdorff, la compactación de Stone-Čech de X, denotada por βX; formalmente, esto exhibe la categoría de espacios Compact Hausdorff y mapas continuos como una subcategoría reflexiva de la categoría de espacios Tychonoff y mapas continuos.

"Más general" o formalmente "reflexivo" significa que el espacio βX se caracteriza por la propiedad universal de que cualquier función continua desde X hasta un espacio compacto de Hausdorff K puede extenderse a un función continua de βX a K de forma única. Más explícitamente, βX es un espacio de Hausdorff compacto que contiene X tal que la topología inducida en X por βX es la misma que la topología dada en X, y para cualquier aplicación continua f:X → K, donde K es un espacio de Hausdorff compacto, hay una aplicación continua única g:βX → K para la cual < i>g restringido a X es idénticamente f.

La compactación de Stone-Čech se puede construir explícitamente de la siguiente manera: sea C el conjunto de funciones continuas desde X hasta el intervalo cerrado [0,1]. Luego, cada punto en X se puede identificar con una función de evaluación en C. Así, X se puede identificar con un subconjunto de [0,1]^C, el espacio de todas las funciones de C a [0,1]. Dado que este último es compacto por el teorema de Tychonoff, el cierre de X como un subconjunto de ese espacio también será compacto. Esta es la compactación de Stone-Čech.

Compactificación del espacio-tiempo

Walter Benz e Isaak Yaglom han demostrado cómo se puede utilizar la proyección estereográfica en un hiperboloide de una sola hoja para proporcionar una compactación para dividir números complejos. De hecho, el hiperboloide es parte de una cuádrica en un espacio cuádruple proyectivo real. El método es similar al que se utiliza para proporcionar una variedad base para la acción grupal del grupo conforme de espacio-tiempo.

Espacio proyectivo

El espacio proyectivo real RPⁿ es una compactación del espacio euclidiano Rⁿ . Para cada posible "dirección" en el que los puntos en Rⁿ pueden "escapar", se agrega un nuevo punto en el infinito (pero cada dirección se identifica con su opuesto). La compactación de un punto de Alexandroff de R que construimos en el ejemplo anterior es, de hecho, homeomorfa a RP¹. Tenga en cuenta, sin embargo, que el plano proyectivo RP² no es la compactación en un punto del plano R ² ya que se suma más de un punto.

El espacio proyectivo complejo CPⁿ es también una compactación de C^{n< /i>}; la compactación en un punto de Alexandroff del plano C es (homeomorfa a) la línea proyectiva compleja CP¹, que a su vez se puede identificar con una esfera, la esfera de Riemann.

Pasar al espacio proyectivo es una herramienta común en geometría algebraica porque los puntos agregados en el infinito conducen a formulaciones más simples de muchos teoremas. Por ejemplo, dos líneas diferentes en RP² se cruzan precisamente en un punto, una afirmación que no es cierta en R^{2< /sup>. Más generalmente, el teorema de Bézout, que es fundamental en la teoría de la intersección, se cumple en el espacio proyectivo pero no en el espacio afín. Este comportamiento distinto de las intersecciones en el espacio afín y el espacio proyectivo se refleja en la topología algebraica en los anillos de cohomología: la cohomología del espacio afín es trivial, mientras que la cohomología del espacio proyectivo no es trivial y refleja las características clave de la teoría de la intersección (dimensión y grado de una subvariedad, siendo la intersección Poincaré dual al producto en taza).}

La compactación de espacios de módulos generalmente requiere permitir ciertas degeneraciones, por ejemplo, permitir ciertas singularidades o variedades reducibles. Esto se usa notablemente en la compactación de Deligne-Mumford del espacio de módulos de curvas algebraicas.

Compactificación y subgrupos discretos de grupos de Lie

En el estudio de subgrupos discretos de grupos de Lie, el espacio cociente de clases laterales es a menudo candidato para una compactación más sutil para preservar la estructura en un nivel más rico que solo topológico.

Por ejemplo, las curvas modulares se compactan mediante la adición de puntos únicos para cada vértice, lo que las convierte en superficies de Riemann (y así, dado que son curvas algebraicas compactas). Aquí las cúspides están ahí por una buena razón: las curvas parametrizan un espacio de celosías, y esas celosías pueden degenerar ('ir al infinito'), a menudo de varias maneras (teniendo en cuenta alguna estructura auxiliar de nivel). Las cúspides representan esas diferentes 'direcciones al infinito'.

Eso es todo por las celosías en el plano. En el espacio euclidiano n-dimensional se pueden plantear las mismas preguntas, por ejemplo sobre SO(n)SL_n(R< /b>)/SL_n(Z). Esto es más difícil de compactar. Hay una variedad de compactaciones, como la compactación de Borel-Serre, la compactación reductora de Borel-Serre y las compactaciones de Satake, que se pueden formar.

Otras teorías de compactación

• Las teorías de los extremos de un espacio y los extremos principales.
• Algunas teorías 'fronteras' como el collar de un manifold abierto, el límite de Martin, el límite de Shilov y el límite de Furstenberg.
• La compactación Bohr de un grupo topológico surge del examen de funciones casi periódicas.
• La línea proyectiva sobre un anillo para un anillo topológico puede compactarlo.
• La compactación Baily-Borel de un cociente de un espacio simétrico hermitiano.
• La compactación maravillosa de un cociente de grupos algebraicos.
• Las compactaciones que son simultáneamente subconjuntos convexos en un espacio convexo local se denominan compactificaciones convexas, su estructura lineal adicional que permite, por ejemplo, desarrollar un cálculo diferencial y consideraciones más avanzadas, por ejemplo, en la relajación en cálculo de variación o teoría de optimización.