Compactación de Stone-Čech

En la disciplina matemática de la topología general, la compactación de Stone-Čech (o compactación de Čech-Stone) es una técnica para construir un mapa universal a partir de un espacio topológico X a un espacio compacto de Hausdorff βX. La compactación de Stone-Čech βX de un espacio topológico X es el espacio de Hausdorff compacto más grande y general "generado" por X, en el sentido de que cualquier mapa continuo de X a un espacio compacto de Hausdorff se factoriza a través de βX (de una manera única). Si X es un espacio de Tychonoff, entonces el mapa de X a su imagen en βX es un homeomorfismo, entonces X se puede considerar como un subespacio (denso) de βX; cualquier otro espacio compacto de Hausdorff que contenga densamente X es un cociente de βX. Para espacios topológicos generales X, el mapa de X a βX no necesita ser inyectivo.

Se requiere una forma del axioma de elección para demostrar que todo espacio topológico tiene una compactación de Stone-Čech. Incluso para espacios bastante simples X, una descripción concreta accesible de βX a menudo sigue siendo difícil de alcanzar. En particular, las pruebas de que βX X no están vacías no dan una descripción explícita de ningún punto particular en βX X.

La compactación de Stone-Čech aparece implícitamente en un artículo de Andrey Nikolayevich Tychonoff (1930) y fue dada explícitamente por Marshall Stone (1937) y Eduard Čech (1937).

Historia

Andrey Nikolayevich Tikhonov introdujo espacios completamente regulares en 1930 para evitar la situación patológica de los espacios de Hausdorff cuyas únicas funciones continuas con valores reales son mapas constantes.

En el mismo artículo de 1930 donde Tychonoff definió espacios completamente regulares, también demostró que todo espacio de Tychonoff (es decir, espacio completamente regular de Hausdorff) tiene una compactación de Hausdorff (en este mismo artículo, también demostró el teorema de Tychonoff). En 1937, Čech amplió la técnica de Tychonoff e introdujo la notación βX para esta compactación. Stone también construyó βX en un artículo de 1937, aunque usando un método muy diferente. A pesar de que el artículo de Tychonoff es el primer trabajo sobre el tema de la compactación de Stone-Čech y a pesar de que tanto Stone como Čech hacen referencia al artículo de Tychonoff, el nombre de Tychonoff rara vez se asocia con β X.

Propiedad universal y funcionalidad

La compactación de Stone-Čech del espacio topológico X es un espacio compacto de Hausdorff βX junto con un mapa continuo i_X : X → βX que tiene la siguiente propiedad universal: cualquier aplicación continua f: X → K, donde K es un espacio de Hausdorff compacto, se extiende únicamente a un mapa continuo βf: βX → K, es decir, (βf)i_X = f.

Como es habitual en las propiedades universales, esta propiedad universal caracteriza a βX hasta el homeomorfismo.

Como se describe en § Construcciones, a continuación, se puede probar (utilizando el axioma de elección) que tal compactación de Stone-Čech i_X: X → βX existe para cada espacio topológico X. Además, la imagen i_X(X) es densa en βX.

Algunos autores añaden la suposición de que el espacio inicial X sea Tychonoff (o incluso Hausdorff localmente compacto), por las siguientes razones:

• El mapa desde X a su imagen en βX es un homeomorfismo si y sólo si X Es Tychonoff.
• El mapa desde X a su imagen en βX es un homeomorfismo a un subespacio abierto si y sólo si X es localmente compacto Hausdorff.

La construcción Stone-Čech se puede realizar para espacios más generales X, pero en ese caso el mapa X → βX no necesita ser un homeomorfismo a la imagen de X (ya veces ni siquiera es inyectivo).

Como es habitual en construcciones universales como esta, la propiedad de extensión convierte a β en un funtor de Top (la categoría de los espacios topológicos) a CHaus (la categoría de espacios compactos de Hausdorff). Además, si dejamos que U sea el funtor de inclusión de CHaus en Top, los mapas de βX a K (por K en CHaus) corresponden biyectivamente a mapas de X a UK (considerando su restricción a X y usando la propiedad universal de βX). es decir.

Hom(βX, K♪♪X, UK),

lo que significa que β se deja junto a U. Esto implica que CHaus es una subcategoría reflectante de Top con reflector β.

Ejemplos

Si X es un espacio compacto de Hausdorff, entonces coincide con su compactación de Stone-Čech. La mayoría de las otras compactaciones de Stone-Čech carecen de descripciones concretas y son extremadamente difíciles de manejar. Las excepciones incluyen:

La compactación Stone-Čech del primer ordinal incontable ⋅ ⋅ 1{displaystyle omega ¿Qué?, con la topología del pedido, es el ordinal ⋅ ⋅ 1+1{displaystyle omega _{1}+1}. La compactación Stone-Čech de la tabla de Tychonoff eliminada es la tabla Tychonoff.

Construcciones

Construcción con productos

Un intento de construir la compactación de Stone-Čech de X es tomar el cierre de la imagen de X en

∏ ∏ f:X→ → KK{displaystyle prod nolimits _{f: Xto K}K}

donde se encuentra el producto sobre todos los mapas desde X hasta espacios compactos de Hausdorff K. Por el teorema de Tychonoff, este producto de espacios compactos es compacto y, por lo tanto, el cierre de X en este espacio también es compacto. Esto funciona intuitivamente, pero falla por la razón técnica de que la colección de todos estos mapas es una clase adecuada en lugar de un conjunto. Hay varias formas de modificar esta idea para que funcione; por ejemplo, uno puede restringir los espacios compactos de Hausdorff K para tener un conjunto subyacente P(P(X)) (el conjunto potencia del conjunto potencia de X), que es lo suficientemente grande como para tener una cardinalidad al menos igual a la de cada espacio compacto de Hausdorff al que se puede asignar X con imagen densa.

Construcción usando el intervalo unitario

Una manera de construir βX es dejar C ser el conjunto de todas las funciones continuas de X y considerar el mapa e:X→ → [0,1]C{displaystyle e:Xto [0,1]} {C} Donde

e()x):f↦ ↦ f()x){displaystyle e(x):fmapsto f(x)}

Esto puede verse como un mapa continuo en su imagen, si [0, 1]^C recibe la topología del producto. Por el teorema de Tychonoff tenemos que [0, 1]^C es compacto ya que [0, 1] lo es. En consecuencia, el cierre de X en [0, 1]^C es una compactación de X.

De hecho, este cierre es la compactación de Stone-Čech. Para verificar esto, solo necesitamos verificar que el cierre satisface la propiedad universal apropiada. Hacemos esto primero para K = [0, 1], donde la extensión deseada de f: X → [0, 1] es simplemente la proyección sobre la coordenada f en [0, 1]^C. Para obtener esto para Hausdorff compacto general K, usamos lo anterior para notar que K se puede incrustar en algún cubo, extender cada una de las funciones de coordenadas y luego tomar el producto de estas extensiones.

La propiedad especial del intervalo unitario necesario para que esta construcción funcione es que es un cogenerador de la categoría de espacios compactos de Hausdorff: esto significa que si A y B son espacios compactos de Hausdorff, y f y g son mapas distintos de A a B, entonces existe un mapa h: B → [0, 1] tal que hf y hg son distintos. En esta construcción se puede utilizar cualquier otro cogenerador (o conjunto de cogeneración).

Construcción mediante ultrafiltros

Alternativamente, si X{displaystyle X} es discreto, entonces es posible construir β β X{displaystyle beta X} como el conjunto de todos los ultrafiltros en X,{displaystyle X. con los elementos de X{displaystyle X} correspondiente a los ultrafiltros principales. La topología en el conjunto de ultrafiltros, conocido como Topología de piedra, se genera por conjuntos de la forma {}F:U▪ ▪ F}{displaystyle ¿Qué? para U{displaystyle U} a subset of X.{displaystyle X.}

De nuevo verificamos la propiedad universal: Para f:X→ → K{displaystyle f:Xto K} con K{displaystyle K} Hausdorff compacto y F{displaystyle F} un ultrafiltro en X{displaystyle X} tenemos una base de ultrafiltro f()F){displaystyle f(F)} on K,{displaystyle K,} el empujón F.{displaystyle F.} Esto tiene un límite único porque K{displaystyle K} es compacto Hausdorff, digamos x,{displaystyle x,} y definimos β β f()F)=x.{displaystyle beta f(F)=x.} Esto puede verificarse como una extensión continua f.{displaystyle f.}

Equivalentemente, se puede tomar el espacio de Piedra del álgebra boo completa de todos los subconjuntos de X{displaystyle X} como la compactación Stone-Čech. Esta es realmente la misma construcción, ya que el espacio de Piedra de este álgebra boo es el conjunto de ultrafilters (o equivalentemente ideales primos, o homomorfismos al elemento 2 álgebra booleana) del álgebra booleana, que es el mismo que el conjunto de ultrafiltros en X.{displaystyle X.}

La construcción se puede generalizar a espacios de Tychonoff arbitrarios mediante el uso de filtros máximos de conjuntos cero en lugar de ultrafiltros. (Los filtros de conjuntos cerrados son suficientes si el espacio es normal.)

Construcción usando C*-álgebras

La compactación de Stone-Čech es naturalmente homeomorfa al espectro de C_b(X). Aquí C_b(X) denota el álgebra C* de todas las funciones continuas de valor complejo acotadas en X con sup-norma. Observe que C_b(X) es canónicamente isomorfo al álgebra multiplicadora de C₀(X).

La compactación de Stone-Čech de los números naturales

En el caso de que X sea localmente compacto, p. N o R, la imagen de X forma un subconjunto abierto de βX, o incluso de cualquier compactación, (esta también es una condición necesaria, ya que un subconjunto abierto de un espacio compacto de Hausdorff es localmente compacto). En este caso, a menudo se estudia el resto del espacio, βX X. Este es un subconjunto cerrado de βX, por lo que es compacto. Consideramos N con su topología discreta y escribimos βN N = N * (pero esto no parece ser una notación estándar para X general).

Como se explicó anteriormente, se puede ver βN como el conjunto de ultrafiltros en N, con la topología generada por conjuntos de la forma {}F:U▪ ▪ F}{displaystyle ¿Qué? para U a subset of N. El set N corresponde al conjunto de ultrafiltros principales, y el conjunto N* al conjunto de ultrafiltros libres.

El estudio de βN, y en particular de N*, es un área importante de la topología moderna de teoría de conjuntos. Los principales resultados que motivan esto son los teoremas de Parovicenko, que caracterizan esencialmente su comportamiento bajo el supuesto de la hipótesis del continuo.

Estos estados:

• Cada espacio compacto Hausdorff de peso en la mayoría א א 1{displaystyle aleph _{1} (ver número de Aleph) es la imagen continua N* (esto no necesita la hipótesis continua, pero es menos interesante en su ausencia).
• Si la hipótesis continua sostiene entonces N* es el espacio único Parovicenko, hasta el isomorfismo.

Estos se probaron originalmente considerando álgebras booleanas y aplicando la dualidad de Stone.

Jan van Mill ha descrito a βN como un "monstruo de tres cabezas"—las tres cabezas son una cabeza sonriente y amistosa (el comportamiento bajo el supuesto de la hipótesis del continuo), la fea cabeza de la independencia que constantemente trata de confundirte (determinando qué comportamiento es posible en diferentes modelos de la teoría de conjuntos), y la tercera cabeza es la más pequeña de todas (lo que puedes probar al respecto en ZFC). Se ha observado recientemente que esta caracterización no es del todo correcta; de hecho, hay una cuarta cabeza de βN, en la que los axiomas forzados y los axiomas de tipo Ramsey dan propiedades de βN casi diametralmente opuestas a aquellas bajo la hipótesis del continuo, dando muy pocos mapas de N* de hecho. Ejemplos de estos axiomas incluyen la combinación del axioma de Martin y el axioma de coloración abierta que, por ejemplo, prueban que (N*)² ≠ N *, mientras que la hipótesis del continuo implica lo contrario.

Una aplicación: el espacio dual del espacio de sucesiones acotadas de reales

La compactación Stone-Čech βN se puede utilizar para caracterizar l l JUEGO JUEGO ()N){displaystyle ell ^{infty}(mathbf {N})} (el espacio de Banach de todas las secuencias atadas en el campo de escalar R o C, con norma supremum) y su espacio dual.

Dada una secuencia atada a▪ ▪ l l JUEGO JUEGO ()N){displaystyle ain ell ^{infty}(mathbf {N})} existe una bola cerrada B en el campo de escalar que contiene la imagen a. a es entonces una función de N a B. Desde N es discreta y B es compacto y Hausdorff, a es continuo. Según la propiedad universal, existe una extensión única βa: βN → B. Esta extensión no depende de la bola B consideramos.

Hemos definido un mapa de extensión desde el espacio de secuencias escalares acotadas al espacio de funciones continuas sobre βN.

l l JUEGO JUEGO ()N)→ → C()β β N){displaystyle ell ^{infty}(mathbf {N})to C(beta mathbf {N})}

Este mapa es biyectivo ya que cada función en C(βN) debe estar acotada y luego puede restringirse a una secuencia escalar acotada.

Si además consideramos ambos espacios con la norma sup, el mapa de extensión se convierte en una isometría. De hecho, si en la construcción anterior tomamos la bola más pequeña posible B, vemos que la sup norma de la secuencia extendida no crece (aunque la imagen de la función extendida puede ser más grande).

Así, l l JUEGO JUEGO ()N){displaystyle ell ^{infty}(mathbf {N})} se puede identificar con C()βN). Esto nos permite utilizar el teorema de representación Riesz y encontrar que el espacio dual l l JUEGO JUEGO ()N){displaystyle ell ^{infty}(mathbf {N})} se puede identificar con el espacio de medidas finitas de Borel βN.

Finalmente, debe notarse que esta técnica se generaliza al espacio L^∞ de un espacio de medida arbitrario X. Sin embargo, en lugar de considerar simplemente el espacio βX de ultrafiltros en X, la forma correcta de generalizar esta construcción es considerar el espacio de Stone Y de el álgebra de medidas de X: los espacios C(Y) y L^∞ (X) son isomorfos como C*-álgebras siempre que X satisfaga una condición de finitud razonable (que cualquier conjunto de medidas positivas contenga un subconjunto de medidas positivas finitas).

Una operación monoide sobre la compactación de Stone-Čech de los naturales

Los números naturales forman un monoide bajo la suma. Resulta que esta operación se puede extender (generalmente en más de una forma, pero únicamente bajo una condición adicional) a βN, convirtiendo este espacio también en un monoide, aunque sorprendentemente uno no conmutativo.

Para cualquier subconjunto, A, de N y un entero positivo n en N, definimos

A− − n={}k▪ ▪ N▪ ▪ k+n▪ ▪ A}.{displaystyle A-n={kin mathbf {N} mid k+nin A}.}

Dados dos ultrafiltros F y G en N, definimos su suma por

F+G={}A⊆ ⊆ N▪ ▪ {}n▪ ▪ N▪ ▪ A− − n▪ ▪ F}▪ ▪ G};{displaystyle F+G={Big {}Asubseteq mathbf {N} mid {nin mathbf {N} mid A-nin F}in G{Big}}}}

Se puede comprobar que se trata de nuevo de un ultrafiltro, y que la operación + es asociativa (pero no conmutativa) sobre βN y extiende la suma sobre N; 0 sirve como elemento neutral para la operación + en βN. La operación también es continua a la derecha, en el sentido de que para cada ultrafiltro F, el mapa

{}β β N→ → β β NG↦ ↦ F+G{displaystyle {begin{cases}beta mathbf {N} to beta mathbf {N}Gmapsto F+Gend{cases}

es continuo.

Más generalmente, si S es un semigrupo con la topología discreta, la operación de S se puede extender a βS, obteniendo un derecho -operación asociativa continua.