Coma sintónica
En teoría musical, la coma sintónica, también conocida como diesis cromática, la coma didímica, la coma ptolemaica, o la coma diatónica es un pequeño intervalo tipo coma entre dos notas musicales, igual a la relación de frecuencia 81:80 (= 1.0125) (alrededor de 21.51 centavos). Dos notas que difieren en este intervalo sonarían diferentes entre sí incluso para los oídos inexpertos, pero estarían lo suficientemente cerca como para que se interpretaran más como versiones desafinadas de la misma nota que como notas diferentes. La coma también se conoce como coma Didymean porque es la cantidad por la cual Didymus corrigió el tercio mayor pitagórico (81:64, alrededor de 407,82 centavos) a un tercio mayor justo (5: 4, alrededor de 386,31 centavos).
La palabra "coma" vino a través del latín del griego κόμμα, del anterior * κοπ-μα = "una cosa cortada".
Relaciones
Los factores primos del intervalo justo 81/80 conocido como coma sintónica se pueden separar y reconstituir en varias secuencias de dos o más intervalos que llegan a la coma, como 81/1 * 1/80 o (totalmente expandido y ordenado por números primos) 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 3/1 * 3/1 * 3/1 * 3/1 * 1/5. Todas las secuencias son matemáticamente válidas, pero algunas de las secuencias más musicales que la gente usa para recordar y explicar la composición, aparición y uso de la coma se enumeran a continuación:
- La diferencia de tamaño entre una ditona pitagórica (frecuencia ratio 81:64, o alrededor de 407,82 centavos) y un tercio importante (5:4, o alrededor de 386.31 centavos). Es decir, 81:64 ÷ 5:4 = 81:80.
- La diferencia entre cuatro quintos perfectos apenas sintonizados, y dos octavas más un tercio mayor justamente sintonizado. Un quinto perfecto tiene un tamaño de 3:2 (unos 701.96 centavos), y cuatro de ellos son iguales a 81:16 (unos 2807.82 centavos). Un tercio mayor tiene un tamaño de 5:4 (unos 386,31 centavos), y uno de ellos más dos octavas (4:1 o exactamente 2400 centavos) es igual a 5:1 (unos 2786,31 centavos). La diferencia entre estos es la coma sintónica. Es decir, 81:16 ÷ 5:1 = 81:80.
- La diferencia entre una octava más un tercio menor con una sola sintonía (12:5, alrededor de 1515,64 centavos), y tres cuartos perfectos con ajuste justo (64:27, aproximadamente 1494,13 centavos). Es decir, 12:5 ÷ 64:27 = 81:80.
- La diferencia entre los dos tipos de segundo mayor que ocurren en la afinación de 5 límites: tono principal (9:8, aproximadamente 203,91 centavos) y tono menor (10:9, aproximadamente 182,40 centavos). Es decir, 9:8 ÷ 10:9 = 81:80.
- La diferencia entre un sexto mayor pitagórico (27:16, alrededor de 905.87 céntimos) y una sexta mayor justa sintonizada o "pura" (5:3, alrededor de 884.36 céntimos). Es decir, 27:16 ÷ 5:3 = 81:80.
En el teclado de un piano (normalmente afinado con temperamento igual de 12 tonos), una pila de cuatro quintas (700 * 4 = 2800 centésimas) es exactamente igual a dos octavas (1200 * 2 = 2400 centésimas) más una tercera mayor (400 centavos). En otras palabras, a partir de una C, ambas combinaciones de intervalos terminarán en E. Sin embargo, el uso de octavas (2:1), quintas (3:2) y terceras (5:4) correctamente afinadas produce dos intervalos ligeramente diferentes. notas La relación entre sus frecuencias, como se explicó anteriormente, es una coma sintónica (81:80). La afinación pitagórica también usa quintas justamente afinadas (3:2), pero usa la relación relativamente compleja de 81:64 para las terceras mayores. El medio tono de un cuarto de coma usa tercios mayores justamente afinados (5: 4), pero aplana cada uno de los quintos en un cuarto de coma sintónica, en relación con su tamaño justo (3: 2). Otros sistemas utilizan compromisos diferentes. Esta es una de las razones por las que el temperamento igual de 12 tonos es actualmente el sistema preferido para afinar la mayoría de los instrumentos musicales.
Matemáticamente, según el teorema de Størmer, 81:80 es la relación superparticular más cercana posible con números regulares como numerador y denominador. Una razón superparticular es aquella cuyo numerador es 1 mayor que su denominador, como 5:4, y un número regular es aquel cuyos factores primos están limitados a 2, 3 y 5. Por lo tanto, aunque se pueden describir intervalos más pequeños dentro de 5- afinaciones límite, no pueden describirse como proporciones superparticulares.
Coma sintónica en la historia de la música
La coma sintónica tiene un papel crucial en la historia de la música. Es la cantidad por la cual algunas de las notas producidas en la afinación pitagórica fueron aplanadas o afiladas para producir solo tercios menores y mayores. En la afinación pitagórica, los únicos intervalos muy consonantes eran la quinta perfecta y su inversión, la cuarta perfecta. La tercera mayor pitagórica (81:64) y la tercera menor (32:27) eran disonantes, y esto impedía que los músicos usaran tríadas y acordes, obligándolos durante siglos a escribir música con una textura relativamente simple.
El templado sintónico data de Dídimo el Músico, cuya afinación del género diatónico del tetracordio reemplazó un intervalo de 9:8 por un intervalo de 10:9 (tono menor), obteniendo una tercera mayor justa (5:4) y un semitono (16:15). Esto fue revisado más tarde por Ptolomeo (intercambiando los dos tonos) en su "syntonic diatonic" escala (συντονόν διατονικός, syntonón diatonikós, de συντονός + διάτονος). El término syntonón se basó en Aristoxenus, y puede traducirse como "tiempo" (convencionalmente "intenso"), refiriéndose a cuerdas tensas (por lo tanto, más agudas), en contraste con μαλακόν (malakón, de μαλακός), traducido como "relajado" ("suave" convencional), refiriéndose a las cuerdas más flojas (por lo tanto, más planas o "más suaves").
Esto se redescubrió a finales de la Edad Media, cuando los músicos se dieron cuenta de que al moderar ligeramente el tono de algunas notas, las terceras pitagóricas podían convertirse en consonantes. Por ejemplo, si la frecuencia de E se reduce con una coma sintónica (81:80), C-E (una tercera mayor) y E-G (una tercera menor) se vuelven justas. Es decir, C-E se reduce a una proporción justamente entonada de
- 8164⋅ ⋅ 8081=1⋅ ⋅ 54⋅ ⋅ 1=54{displaystyle {81 over 64}cdot {80 over 81}={1cdot 5} {4cdot 1}={5 over 4}}
y al mismo tiempo E-G se ensancha a la justa proporción de
- 3227⋅ ⋅ 8180=2⋅ ⋅ 31⋅ ⋅ 5=65{displaystyle {32 over 27}cdot {81 over 80}={2cdot 3} {1cdot 5}={6 over 5}}
El inconveniente es que las quintas A-E y E-B, al aplanar E, se vuelven casi tan disonantes como la quinta del lobo pitagórico. Pero la quinta C-G permanece consonante, ya que solo E ha sido aplanada (C-E * E-G = 5/4 * 6/5 = 3/2), y puede usarse junto con C-E para producir una tríada en C mayor (C-E-G). Estos experimentos finalmente llevaron a la creación de un nuevo sistema de afinación, conocido como medio tono de cuarto de coma, en el que se maximizó el número de tercios mayores, y la mayoría de los tercios menores se afinaron en una proporción muy cercana al 6:5. Este resultado se obtuvo acortando cada quinta en un cuarto de coma sintónica, cantidad que se consideraba despreciable, y que permitía el pleno desarrollo de músicas de textura compleja, como la música polifónica, o la melodía con acompañamiento instrumental. Desde entonces, se desarrollaron otros sistemas de afinación, y la coma sintónica se utilizó como valor de referencia para atemperar las quintas justas en toda una familia de ellas. Es decir, en la familia perteneciente al continuo de temperamento sintónico, incluidos los temperamentos de tono medio.
Bomba de coma
Jugar(help·info) Los tonos comunes entre acordes son el mismo lanzamiento, con las otras notas sintonizadas en intervalos puros a los tonos comunes. Juega primero y último acordes(help·info)La coma sintónica surge en secuencias comma pump (comma drift) como C G D A E C, cuando cada intervalo de una nota a la siguiente se toca con ciertos intervalos específicos en solo afinación de la entonación. Si usamos la relación de frecuencia 3/2 para las quintas perfectas (C-G y D-A), 3/4 para las cuartas perfectas descendentes (G-D y A-E) y 4/5 para la tercera mayor descendente (E-C), entonces la secuencia de intervalos de una nota a la siguiente en esa secuencia va 3/2, 3/4, 3/2, 3/4, 4/5. Estos se multiplican para dar
- 32⋅ ⋅ 34⋅ ⋅ 32⋅ ⋅ 34⋅ ⋅ 45=8180{displaystyle {3 over 2}cdot {3 over 4}cdot {3 over 2}cdot {3 over 4}cdot {4 over 5}={81 over 80}
que es la coma sintónica (los intervalos musicales apilados de esta manera se multiplican entre sí). La "deriva" se crea mediante la combinación de intervalos pitagóricos y de 5 límites en entonación justa, y no ocurriría en la afinación pitagórica debido al uso solo de la tercera mayor pitagórica (64/81) que devolvería el último paso de la secuencia al tono original.
Así que en esa secuencia, la segunda C es más aguda que la primera C por una coma sintónica Jugar(help·info). Esa secuencia, o cualquier transposición de ella, se conoce como la bomba de coma. Si una línea de música sigue esa secuencia, y si cada uno de los intervalos entre las notas adyacentes está simplemente sintonizado, entonces cada vez que se sigue la secuencia, el lanzamiento de la pieza se eleva por una coma sintónica (alrededor de una quinta parte del semitone).
El estudio de la bomba de coma se remonta al menos al siglo XVI, cuando el científico italiano Giovanni Battista Benedetti compuso una pieza musical para ilustrar la deriva sintónica de coma.
Tenga en cuenta que una cuarta perfecta descendente (3/4) es lo mismo que una octava descendente (1/2) seguida de una quinta perfecta ascendente (3/2). Es decir, (3/4)=(1/2)*(3/2). Del mismo modo, una tercera mayor descendente (4/5) es lo mismo que una octava descendente (1/2) seguida de una sexta menor ascendente (8/5). Es decir, (4/5)=(1/2)*(8/5). Por lo tanto, la secuencia antes mencionada es equivalente a:
- 32⋅ ⋅ 12⋅ ⋅ 32⋅ ⋅ 32⋅ ⋅ 12⋅ ⋅ 32⋅ ⋅ 12⋅ ⋅ 85=8180{displaystyle {3 over 2}cdot {1 over 2}cdot {3 over 2}cdot {3 over 2}cdot {1 over 2}cdot {3 over 2}cdot {1 over 2}cdot {8 over 5}={81 over 80}
o, agrupando intervalos similares,
- 32⋅ ⋅ 32⋅ ⋅ 32⋅ ⋅ 32⋅ ⋅ 85⋅ ⋅ 12⋅ ⋅ 12⋅ ⋅ 12=8180{displaystyle {3 over 2}cdot {3 over 2}cdot {3 over 2}cdot {3 over 2}cdot {8 over 5}cdot {1 over 2}cdot {1 over 2}cdot {1 over 2}={81 over 80}
Esto significa que, si todos los intervalos están bien afinados, se puede obtener una coma sintónica con una pila de cuatro quintas justas más una sexta menor, seguidas de tres octavas descendentes (es decir, cuatro P5 más uno m6 menos tres P8).
Notación
Jugar(help·info) Pythagorean mayor acorde en C en la notación Helmholtz-Ellis. Jugar(help·info)
Moritz Hauptmann desarrolló un método de notación utilizado por Hermann von Helmholtz. Basado en la afinación pitagórica, los números de subíndices se agregan para indicar el número de comas sintónicas para bajar una nota. Así, una escala pitagórica es C D E F G A B, mientras que una escala justa es C D E1 F G A1 B1. Carl Eitz desarrolló un sistema similar utilizado por J. Murray Barbour. Se agregan números positivos y negativos en superíndice, que indican el número de comas sintónicas para subir o bajar de la afinación pitagórica. Por lo tanto, una escala pitagórica es C D E F G A B, mientras que la escala ptolemaica de 5 límites es C D E−1 F G A−1 B−1.
En la notación Helmholtz-Ellis, se indica una coma sintónica con flechas arriba y abajo agregadas a los accidentes tradicionales. Por lo tanto, una escala pitagórica es C D E F G A B, mientras que la escala Ptolemaica de 5 límites es C D E
F G A B.
El compositor Ben Johnston usa un "−" como una alteración para indicar que una nota se baja con una coma sintónica o un "+" para indicar que una nota se eleva mediante una coma sintónica. Así, una escala pitagórica es C D E+ F G A+ B+, mientras que la escala ptolemaica de 5 límites es C D E F G A B.
| 5-limit | Pythagorean | |
|---|---|---|
| Él | C D E F G A B | C D E F G A B |
| Johnston | C D E F G A B | C D E+ F G A+ B+ |