Colisión elástica

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Colisión en la que se conserva la energía cinética

Mientras la radiación del cuerpo negro (no se muestra) no escape un sistema, los átomos en la agitación térmica sufren colisiones esencialmente elásticas. En promedio, dos átomos se rebotan entre sí con la misma energía cinética que antes de una colisión. Cinco átomos son rojo coloreado por lo que sus caminos de movimiento son más fáciles de ver.

En física, una colisión elástica es un encuentro (colisión) entre dos cuerpos en el que la energía cinética total de los dos cuerpos permanece igual. En una colisión ideal perfectamente elástica, no hay conversión neta de energía cinética en otras formas como calor, ruido o energía potencial.

Durante la colisión de objetos pequeños, la energía cinética primero se convierte en energía potencial asociada con una fuerza de atracción o repulsión entre las partículas (cuando las partículas se mueven contra esta fuerza, es decir, el ángulo entre la fuerza y la velocidad relativa es obtuso), entonces esta energía potencial se vuelve a convertir en energía cinética (cuando las partículas se mueven con esta fuerza, es decir, el ángulo entre la fuerza y la velocidad relativa es agudo).

Las colisiones de átomos son elásticas, por ejemplo, la retrodispersión de Rutherford.

Un caso especial útil de colisión elástica es cuando los dos cuerpos tienen la misma masa, en cuyo caso simplemente intercambiarán sus momentos.

Las moléculas, a diferencia de los átomos, de un gas o líquido rara vez experimentan colisiones perfectamente elásticas porque la energía cinética se intercambia entre el movimiento de traslación de las moléculas y sus grados internos de libertad con cada colisión. En cualquier instante, la mitad de las colisiones son, en mayor o menor medida, colisiones inelásticas (el par posee menos energía cinética en sus movimientos de traslación después de la colisión que antes), y la otra mitad podría describirse como "super- elástico” (que posee más energía cinética después de la colisión que antes). Promediadas en toda la muestra, las colisiones moleculares pueden considerarse esencialmente elásticas siempre que la ley de Planck prohíba que los fotones del cuerpo negro se lleven energía.

En el caso de los cuerpos macroscópicos, las colisiones perfectamente elásticas son un ideal que nunca se realiza por completo, pero se aproxima mediante las interacciones de objetos como las bolas de billar.

Al considerar las energías, la posible energía de rotación antes y/o después de una colisión también puede desempeñar un papel.

Ecuaciones

Newtoniana unidimensional

(feminine)

El profesor Walter Lewin explica las colisiones elásticas unidimensionales

En una colisión elástica, tanto el momento como la energía cinética se conservan. Considere las partículas 1 y 2 con masas m₁, m₂ y velocidades u₁, u₂ antes de la colisión, v₁, v ₂ después de la colisión. La conservación de la cantidad de movimiento total antes y después de la colisión se expresa mediante:

{displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2} = m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}

Así mismo, la conservación de la energía cinética total viene expresada por:

{displaystyle {tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2} = {tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}.}

Estas ecuaciones se pueden resolver directamente para encontrar $v_{1},v_{2}$ cuando ${displaystyle u_{1},u_{2}}$ son conocidos:

{displaystyle {begin{array}{ccc}v_{1}&=&{dfrac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{dfrac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}\[.5em]v_{2}&=&{dfrac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{dfrac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}end{array}}}

Si ambas masas son iguales, tenemos una solución trivial:

{displaystyle v_{1}=u_{2}}

{displaystyle v_{2}=u_{1}.}

Esto simplemente corresponde a los cuerpos intercambiando sus velocidades iniciales entre sí.

Como se puede esperar, la solución es invariable al agregar una constante a todas las velocidades (relatividad galileana), que es como usar un marco de referencia con velocidad de traslación constante. De hecho, para derivar las ecuaciones, primero se puede cambiar el marco de referencia para que una de las velocidades conocidas sea cero, determinar las velocidades desconocidas en el nuevo marco de referencia y volver a convertir al marco de referencia original.

Ejemplos

Bola 1: masa = 3 kg, velocidad = 4 m/s

Ball 2: masa = 5 kg, velocidad = 6 m/s

Después de la colisión:

Bola 1: velocidad = 8,5 m/s

Bola 2: velocidad = 1,5 m/s

Otra situación:

Colisión elástica de masas desiguales.

Los siguientes ilustran el caso de la misma masa, ${displaystyle m_{1}=m_{2}}$ .

Colisión elástica de masas iguales

Colisión elástica de las masas en un sistema con un marco de referencia en movimiento

En el caso limitante $m_{1}$ es mucho más grande que $m_{2}$ , como una paleta de ping-pong golpeando una bola de ping-pong o un SUV golpeando una lata de basura, la masa más pesada apenas cambia la velocidad, mientras que la masa más ligera rebota, revirtiendo su velocidad más aproximadamente el doble de la pesada.

En el caso de un gran $u_{1}$ , el valor de $v_{{1}}$ es pequeño si las masas son aproximadamente iguales: golpear una partícula mucho más ligera no cambia la velocidad mucho, golpear una partícula mucho más pesada hace que la partícula rápida rebote con alta velocidad. Es por eso que un moderador de neutrones (un medio que disminuye los neutrones rápidos, convirtiéndolos en neutrones térmicos capaces de sostener una reacción en cadena) es un material lleno de átomos con núcleos ligeros que no absorben fácilmente neutrones: los núcleos más ligeros tienen alrededor de la misma masa que un neutrón.

Derivación de la solución

Para obtener las ecuaciones anteriores para $v_{1},v_{2}$ , reorganizar las ecuaciones de energía cinética e impulso:

{displaystyle m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})}

{displaystyle m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})}

Dividiendo cada lado de la ecuación superior por cada lado de la ecuación inferior, y utilizando ${displaystyle {tfrac {a^{2}-b^{2}}{(a-b)}}=a+b}$ , da:

{displaystyle v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}quad Rightarrow quad v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}

Es decir, la velocidad relativa de una partícula con respecto a la otra se invierte por la colisión.

Ahora las fórmulas anteriores siguen de resolver un sistema de ecuaciones lineales para $v_{1},v_{2}$ , con respecto a ${displaystyle m_{1},m_{2},u_{1},u_{2}}$ como constantes:

{displaystyle left{{begin{array}{rcrcc}v_{1}&-&v_{2}&=&u_{2}-u_{1}\m_{1}v_{1}&+&m_{2}v_{2}&=&m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}.end{array}}right.}

Una vez $v_{1}$ está determinado, $v_{2}$ puede ser encontrado por simetría.

Centro de marco de masa

Con respecto al centro de masa, ambas velocidades se invierten por la colisión: una partícula pesada se mueve lentamente hacia el centro de masa y rebota con la misma velocidad baja, y una partícula ligera se mueve rápidamente hacia el centro de masa, y rebota con la misma alta velocidad.

La velocidad del centro de masa no cambia por la colisión. Para ver esto, considere el centro de masa a tiempo $t$ antes de colisión y tiempo ${displaystyle t'}$ después de la colisión:

{bar {x}}(t)={frac {m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}

{displaystyle {bar {x}}(t')={frac {m_{1}x_{1}(t')+m_{2}x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}.}

Por lo tanto, las velocidades del centro de masa antes y después de la colisión son:

{displaystyle v_{bar {x}}={frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}

{displaystyle v_{bar {x}}'={frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}

Los numeradores de ${displaystyle v_{bar {x}}}$ y ${displaystyle v_{bar {x}}'}$ son el momento total antes y después de la colisión. Puesto que el impulso se conserva, tenemos ${displaystyle v_{bar {x}}=v_{bar {x}}'}$ .

Relativista unidimensional

Según la relatividad especial,

p={frac {mv}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

donde p indica el momento de cualquier partícula con masa, v indica la velocidad y c es la velocidad de la luz.

En el marco del centro del impulso donde el impulso total es igual a cero,

p_{1}=-p_{2}

p_{1}^{2}=p_{2}^{2}

{sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E

{displaystyle p_{1}=pm {frac {sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}}

{displaystyle u_{1}=-v_{1}.}

Aquí. ${displaystyle m_{1},m_{2}}$ representan a las demás masas de los dos cuerpos colisionantes, ${displaystyle u_{1},u_{2}}$ representan sus velocidades antes de la colisión, ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ sus velocidades después de colisión, $p_1, p_2$ su momenta, $c$ es la velocidad de la luz en el vacío, y $E$ denota la energía total, la suma de masas de descanso y energías cinéticas de los dos cuerpos.

Dado que la energía total y la cantidad de movimiento del sistema se conservan y sus masas en reposo no cambian, se muestra que la cantidad de movimiento del cuerpo que choca se decide por las masas en reposo de los cuerpos en colisión, la energía total y la cantidad de movimiento total. En relación con el marco del centro del momento, el momento de cada cuerpo que choca no cambia de magnitud después de la colisión, sino que invierte su dirección de movimiento.

En comparación con la mecánica clásica, que brinda resultados precisos al tratar con objetos macroscópicos que se mueven mucho más lento que la velocidad de la luz, el momento total de los dos cuerpos que chocan depende del marco. En el marco del centro del momento, según la mecánica clásica,

m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}={0},!

m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2},!

{displaystyle {frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}={frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}},!}

(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2},!

u_{2}=-v_{2},!

{frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}={frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}},!

(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2},!

u_{1}=-v_{1},!

Esto coincide con el cálculo relativista $u_{1}=-v_{1}$ , a pesar de otras diferencias.

Uno de los postulados de la Relatividad Especial establece que las leyes de la física, como la conservación del momento, deben ser invariantes en todos los marcos de referencia inerciales. En un marco de inercia general donde el momento total podría ser arbitrario,

{frac {m_{1};u_{1}}{sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{frac {m_{2};u_{2}}{sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={frac {m_{1};v_{1}}{sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{frac {m_{2};v_{2}}{sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}

{frac {m_{1}c^{2}}{sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{frac {m_{2}c^{2}}{sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={frac {m_{1}c^{2}}{sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{frac {m_{2}c^{2}}{sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E

Podemos ver los dos cuerpos en movimiento como un sistema del cual el impulso total es $p_{T}$ , la energía total es $E$ y su velocidad $v_{c}$ es la velocidad de su centro de masa. Relativo al centro del marco de impulso el impulso total equivale a cero. Se puede demostrar que $v_{c}$ es dado por:

v_{c}={frac {p_{T}c^{2}}{E}}

Ahora las velocidades antes de la colisión en el centro del marco de impulso $u_{1}'$ y $u_{2}'$ son:

u_{1}'={frac {u_{1}-v_{c}}{1-{frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}

u_{2}'={frac {u_{2}-v_{c}}{1-{frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}

v_{1}'=-u_{1}'

v_{2}'=-u_{2}'

v_{1}={frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}

v_{2}={frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}

Cuando $u_{1}ll c$ y $u_{2}ll c$ ,

p_{T}

m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}

v_{c}

{frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

u_{1}'

u_{1}-v_{c}

{frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}

u_{2}'

{frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}

v_{1}'

{frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}

v_{2}'

{frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}

v_{1}

v_{1}'+v_{c}

{frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

v_{2}

{frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}

Por lo tanto, el cálculo clásico se cumple cuando la velocidad de ambos cuerpos en colisión es mucho menor que la velocidad de la luz (~300 millones de m/s).

Derivación relativista usando funciones hiperbólicas

Usamos la llamada parámetro de velocidad $s$ (generalmente llamada la rapidez) para conseguir:

{displaystyle v/c=tanh(s)}

por lo tanto obtenemos

{displaystyle {sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=operatorname {sech} (s)}

La energía relativista y el momento se expresan de la siguiente manera:

{displaystyle E={frac {mc^{2}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}cosh(s)}

{displaystyle p={frac {mv}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mcsinh(s)}

Equations sum of energy and momentum colliding mass $m_{1}$ y $m_{2}$ , (velocidades $v_{1}$ , $v_{2}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ corresponde a los parámetros de velocidad $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , ${displaystyle s_{4}}$ ), después de dividir por el poder adecuado $c$ son los siguientes:

{displaystyle m_{1}cosh(s_{1})+m_{2}cosh(s_{2})=m_{1}cosh(s_{3})+m_{2}cosh(s_{4})}

{displaystyle m_{1}sinh(s_{1})+m_{2}sinh(s_{2})=m_{1}sinh(s_{3})+m_{2}sinh(s_{4})}

y ecuación dependiente, la suma de las ecuaciones anteriores:

m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}

substraer cuadrados ambos lados ecuaciones "momentum" de "energía" y utilizar la identidad ${displaystyle cosh ^{2}(s)-sinh ^{2}(s)=1}$ , después de la sencillez obtenemos:

{displaystyle 2m_{1}m_{2}(cosh(s_{1})cosh(s_{2})-sinh(s_{2})sinh(s_{1}))=2m_{1}m_{2}(cosh(s_{3})cosh(s_{4})-sinh(s_{4})sinh(s_{3}))}

para masa distinta de cero, usando la identidad trigonométrica hiperbólica cosh(a − b) = cosh(a) cosh(b) − sinh(b) sinh(a), obtenemos:

{displaystyle cosh(s_{1}-s_{2})=cosh(s_{3}-s_{4})}

como funciones ${displaystyle cosh(s)}$ incluso tenemos dos soluciones:

s_{1}-s_{2}=s_{3}-s_{4}

s_{1}-s_{2}=-s_{3}+s_{4}

de la última ecuación, que conduce a una solución no-trivial, resolvemos $s_{2}$ y sustituir a la ecuación dependiente, obtenemos $e^{s_{1}}$ y luego $e^{s_{2}}$ , tenemos:

e^{s_{1}}=e^{s_{4}}{frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}

e^{s_{2}}=e^{s_{3}}{frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}

Es una solución al problema, pero expresada por los parámetros de velocidad. La sustitución de retorno para obtener la solución para las velocidades es:

{displaystyle v_{1}/c=tanh(s_{1})={frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}}

{displaystyle v_{2}/c=tanh(s_{2})={frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}}

Sustituir las soluciones anteriores y sustituir: $e^{s_{3}}={sqrt {frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}$ y $e^{s_{4}}={sqrt {frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}}$ , después de una larga transformación, con sustitución: ${textstyle Z={sqrt {left(1-u_{1}^{2}/c^{2}right)left(1-u_{2}^{2}/c^{2}right)}}}$ Tenemos:

v_{1}={frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}

v_{2}={frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}

Bidimensional

Para el caso de dos cuerpos que chocan sin girar en dos dimensiones, el movimiento de los cuerpos está determinado por las tres leyes de conservación del momento, la energía cinética y el momento angular. La velocidad total de cada cuerpo debe dividirse en dos velocidades perpendiculares: una tangente a las superficies normales comunes de los cuerpos que chocan en el punto de contacto, la otra a lo largo de la línea de colisión. Dado que la colisión solo imparte fuerza a lo largo de la línea de colisión, las velocidades que son tangentes al punto de colisión no cambian. Las velocidades a lo largo de la línea de colisión se pueden usar en las mismas ecuaciones que una colisión unidimensional. Las velocidades finales se pueden calcular a partir de las dos nuevas velocidades de los componentes y dependerán del punto de colisión. Los estudios de colisiones bidimensionales se llevan a cabo para muchos cuerpos en el marco de un gas bidimensional.

Colisión elástica bidimensional

En un marco de centro de momento, en cualquier momento, las velocidades de los dos cuerpos están en direcciones opuestas, con magnitudes inversamente proporcionales a las masas. En una colisión elástica estas magnitudes no cambian. Las direcciones pueden cambiar dependiendo de las formas de los cuerpos y el punto de impacto. Por ejemplo, en el caso de las esferas el ángulo depende de la distancia entre los caminos (paralelos) de los centros de los dos cuerpos. Es posible cualquier cambio de dirección distinto de cero: si esta distancia es cero, las velocidades se invierten en la colisión; si está cerca de la suma de los radios de las esferas, los dos cuerpos solo se desvían ligeramente.

Suponiendo que la segunda partícula esté en reposo antes de la colisión, los ángulos de deflexión de las dos partículas, $theta _{1}$ y $theta _{2}$ , están relacionados con el ángulo de la deflexión $theta$ en el sistema del centro de masa por

{displaystyle tan theta _{1}={frac {m_{2}sin theta }{m_{1}+m_{2}cos theta }},qquad theta _{2}={frac {{pi }-{theta }}{2}}.}

Las magnitudes de las velocidades de las partículas después de la colisión son:

v'_{1}=v_{1}{frac {sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}cos theta }}{m_{1}+m_{2}}},qquad v'_{2}=v_{1}{frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}sin {frac {theta }{2}}.

Colisión bidimensional con dos objetos en movimiento

Las componentes finales de las velocidades x e y de la primera pelota se pueden calcular como:

{displaystyle {begin{aligned}v'_{1x}&={frac {v_{1}cos(theta _{1}-varphi)(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}cos(theta _{2}-varphi)}{m_{1}+m_{2}}}cos(varphi)+v_{1}sin(theta _{1}-varphi)cos(varphi +{tfrac {pi }{2}})\[0.8em]v'_{1y}&={frac {v_{1}cos(theta _{1}-varphi)(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}cos(theta _{2}-varphi)}{m_{1}+m_{2}}}sin(varphi)+v_{1}sin(theta _{1}-varphi)sin(varphi +{tfrac {pi }{2}})end{aligned}}}

Donde v₁ y v₂ son los tamaños de escalar de las dos velocidades originales de los objetos, m₁ y m₂ son sus masas, Silencio₁ y Silencio₂ son sus ángulos de movimiento, es decir, ${displaystyle v_{1x}=v_{1}cos theta _{1},;v_{1y}=v_{1}sin theta _{1}}$ (lo que significa moverse directamente hacia la derecha es un ángulo de −45°, o un 315°ángulo), y minúscula phi (φ) es el ángulo de contacto. (Para conseguir las velocidades x y y de la segunda bola, se necesita cambiar todos los subscriptos '1' con subscriptos '2').

Esta ecuación se deriva del hecho de que la interacción entre los dos cuerpos se calcula fácilmente a lo largo del ángulo de contacto, lo que significa que las velocidades de los objetos se pueden calcular en una dimensión girando los ejes x e y para que sean paralelos al contacto. ángulo de los objetos, y luego gira de nuevo a la orientación original para obtener los verdaderos componentes x e y de las velocidades.

En una representación sin ángulos, las velocidades modificadas se calculan utilizando los centros x₁ y x₂ en el momento del contacto como

{begin{aligned}mathbf {v} '_{1}&=mathbf {v} _{1}-{frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}} {frac {langle mathbf {v} _{1}-mathbf {v} _{2},,mathbf {x} _{1}-mathbf {x} _{2}rangle }{|mathbf {x} _{1}-mathbf {x} _{2}|^{2}}} (mathbf {x} _{1}-mathbf {x} _{2}),\mathbf {v} '_{2}&=mathbf {v} _{2}-{frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}} {frac {langle mathbf {v} _{2}-mathbf {v} _{1},,mathbf {x} _{2}-mathbf {x} _{1}rangle }{|mathbf {x} _{2}-mathbf {x} _{1}|^{2}}} (mathbf {x} _{2}-mathbf {x} _{1})end{aligned}}

donde los paréntesis angulares indican el producto interno (o producto escalar) de dos vectores.

Otras cantidades conservadas

En el caso particular de partículas que tienen masas iguales, se puede verificar por computación directa del resultado anterior que el producto escalar de las velocidades antes y después de la colisión son los mismos, es decir, ${displaystyle langle mathbf {v} '_{1},mathbf {v} '_{2}rangle =langle mathbf {v} _{1},mathbf {v} _{2}rangle }$ . Aunque este producto no es un invariante aditivo de la misma manera que el impulso y la energía cinética son para colisiones elásticas, parece que la preservación de esta cantidad no obstante puede utilizarse para obtener leyes de conservación de mayor orden.

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