Colector Kähler

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Manifold with Riemannian, complex and symplectic structure

En matemáticas y especialmente en geometría diferencial, una variedad de Kähler es una variedad con tres estructuras mutuamente compatibles: una estructura compleja, una estructura de Riemann y una estructura simpléctica. El concepto fue estudiado por primera vez por Jan Arnoldus Schouten y David van Dantzig en 1930, y luego introducido por Erich Kähler en 1933. La terminología ha sido fijada por André Weil. La geometría de Kähler se refiere al estudio de las variedades de Kähler, su geometría y topología, así como al estudio de las estructuras y construcciones que se pueden realizar en las variedades de Kähler, como la existencia de conexiones especiales como el Yang hermitiano– Conexiones Mills o métricas especiales como las métricas de Kähler-Einstein.

Cada variedad proyectiva compleja suave es una variedad de Kähler. La teoría de Hodge es una parte central de la geometría algebraica, demostrada mediante la métrica de Kähler.

Definiciones

Dado que los colectores Kähler están equipados con varias estructuras compatibles, se pueden describir desde diferentes puntos de vista:

Punto de vista simpléctico

Una variedad de Kähler es una variedad simpléctica (X, ω) equipada con una estructura casi compleja integrable J que es compatible con la forma simpléctica ω, lo que significa que la forma bilineal

{displaystyle g(u,v)=omega (u,Jv)}

en el espacio tangente de X en cada punto es simétrico y definido positivo (y por lo tanto una métrica de Riemann en X).

Mirador complejo

Una variedad de Kähler es una variedad compleja X con una métrica hermitiana h cuya forma bidireccional asociada ω es cerrada. Con más detalle, h da una forma hermitiana definida positiva en el espacio tangente TX en cada punto de X, y la forma bidimensional ω se define por

{displaystyle omega (u,v)=operatorname {Re} h(iu,v)=operatorname {Im} h(u,v)}

para vectores tangentes u y v (donde) i es el número complejo ${sqrt {-1}}$ ). Para un manifold Kähler X, el Forma Kähler ⋅ es un verdadero cerrado (1,1)-form. Un manifold Kähler también se puede ver como un manifold Riemanniano, con la métrica Riemanniana g definidas por

{displaystyle g(u,v)=operatorname {Re} h(u,v).}

Equivalentemente, una variedad de Kähler X es una variedad hermitiana de dimensión compleja n tal que para cada punto p de X, hay un gráfico de coordenadas holomorfas alrededor de p en el que la métrica concuerda con la métrica estándar en Cⁿ para pedir 2 cerca de p. Es decir, si el gráfico lleva p a 0 en Cⁿ y la métrica está escrita en estas coordenadas como h_ab = (∂/∂z_a, ∂/∂z_b) , entonces

{displaystyle h_{ab}=delta _{ab}+O(|z|^{2})}

para todos los a, b en {1,..., n}.

Dado que la forma bidimensional ω es cerrada, determina un elemento en la cohomología de Rham H²(X, R), conocido como el Kähler clase.

Mirador de Riemann

Una variedad de Kähler es una variedad de Riemann X de dimensión par 2n cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo unitario U(n). De manera equivalente, existe una estructura compleja J en el espacio tangente de X en cada punto (es decir, un mapa lineal real de TX a sí mismo con J² = −1) de modo que J conserve la métrica g (lo que significa que g(Ju, Jv) = g(u, v)) y J se conserva mediante transporte paralelo.

Potencial de Kähler

Una función suave de valor real ρ en una variedad compleja se llama estrictamente plurisubarmónica si la forma real cerrada (1,1)

omega = frac i2 partial barpartial rho

es positivo, es decir, una forma Kähler. Aquí. $partial, barpartial$ son los operadores de Dolbeault. La función *** se llama Kähler potencial para ⋅.

Por el contrario, por la versión compleja del Poincaré lemma, conocido como local ${displaystyle partial {bar {partial }}}$ -lemma, cada métrica Kähler se puede describir localmente de esta manera. Eso es, si ()X, ⋅) es un doble Kähler, entonces por cada punto p dentro X hay un barrio U de p y una función de valor real suave *** on U tales que ${displaystyle omega vert _{U}=(i/2)partial {bar {partial }}rho }$ . Aquí. *** se llama local Kähler potencial para ⋅. No hay manera comparable de describir una métrica general Riemanniana en términos de una sola función.

Espacio de potenciales de Kähler

Mientras que no siempre es posible describir una forma Kähler a nivel mundial usando un único potencial Kähler, es posible describir el diferencia de dos formas Kähler de esta manera, siempre que estén en la misma clase de cohomología de Rham. Esta es una consecuencia de la ${displaystyle partial {bar {partial }}}$ -lemma de la teoría Hodge.

Es decir, si ${displaystyle (X,omega)}$ es un doble Kähler compacto, luego la clase de cohomología ${displaystyle [omega ]in H_{text{dR}}^{2}(X)}$ se llama Clase Kähler. Cualquier otro representante de esta clase, $omega '$ decir, difiere de $omega$ por ${displaystyle omega '=omega +dbeta }$ para alguna forma $beta$ . El ${displaystyle partial {bar {partial }}}$ -lemma afirma que esta forma exacta $dbeta$ puede ser escrito como ${displaystyle dbeta =ipartial {bar {partial }}varphi }$ para una función suave ${displaystyle varphi:Xto mathbb {C} }$ . En la discusión local arriba, uno toma la clase local Kähler ${displaystyle [omega ]=0}$ en un subconjunto abierto $Usubset X$ , y por el Poincaré lemma cualquier forma Kähler localmente será cohomologous a cero. Así el potencial de Kähler local $rho$ es lo mismo $varphi$ para ${displaystyle [omega ]=0}$ localmente.

En general si ${displaystyle [omega ]}$ es una clase Kähler, entonces cualquier otra métrica Kähler se puede escribir como ${displaystyle omega _{varphi }=omega +ipartial {bar {partial }}varphi }$ para una función tan suave. Esta forma no es automáticamente una forma positiva, por lo que el espacio de Kähler potentials para la clase ${displaystyle [omega ]}$ se define como esos casos positivos, y es comúnmente denotado por ${mathcal {K}}$ :

0}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">K[⋅ ⋅ ]:={}φ φ :X→ → Rlisa▪ ▪ ⋅ ⋅ +i∂ ∂ ∂ ∂ ̄ ̄ φ φ ■0}.{displaystyle {fnMithcal}_{[omega] ]}:={varphi:Xto mathbb {R} {text{ smooth}mid omega +ipartial {bar {partial }varphi √0}}}0}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e21c9efd66d2e5d559d98203465a064d1abcd9f" style="vertical-align: -1.171ex; width:44.955ex; height:3.509ex;"/>

Si dos potenciales Kähler difieren por una constante, entonces definen la misma métrica Kähler, por lo que el espacio de métricas Kähler en la clase ${displaystyle [omega ]}$ se puede identificar con el cociente ${displaystyle {mathcal {K}}/mathbb {R} }$ . El espacio de los potenciales Kähler es un espacio contractual. De esta manera el espacio de los potenciales Kähler permite estudiar Todos La métrica Kähler en una clase determinada simultáneamente, y esta perspectiva en el estudio de los resultados de existencia para la métrica Kähler.

Múltiples y minimizadores de volumen Kähler

Para una variedad Kähler compacta X, el volumen de un subespacio complejo cerrado de X está determinado por su clase de homología. En cierto sentido, esto significa que la geometría de un subespacio complejo está limitada en términos de su topología. (Esto falla completamente para subvariedades reales). Explícitamente, la fórmula de Wirtinger dice que

{displaystyle mathrm {vol} (Y)={frac {1}{r!}}int _{Y}omega ^{r},}

donde Y es un subespacio complejo cerrado de dimensión r y ω es la forma de Kähler. Como ω es cerrada, esta integral depende sólo de la clase de Y en H_2r(X, R). Estos volúmenes son siempre positivos, lo que expresa una fuerte positividad de la clase de Kähler ω en H²(X, R) con respecto a subespacios complejos. En particular, ωⁿ no es cero en H²ⁿ(X, R), para una variedad Kähler compacta X de dimensión compleja n.

Un hecho relacionado es que cada subespacio complejo cerrado Y de una variedad compacta de Kähler X es una subvariedad mínima (fuera de su conjunto singular). Aún más: según la teoría de la geometría calibrada, Y minimiza el volumen entre todos los ciclos (reales) en la misma clase de homología.

Identidades Kähler

Como consecuencia de la fuerte interacción entre las estructuras lisas, complejas y Riemannianas en un manifold Kähler, existen identidades naturales entre los diversos operadores en las complejas formas diferenciales de los manifolds Kähler que no tienen para los manifolds complejos arbitrarios. Estas identidades relacionan el derivado exterior $d$ , los operadores de Dolbeault ${displaystyle partial{bar {partial }}}$ y sus adjoints, los laplacianos ${displaystyle Delta _{d},Delta _{partial },Delta _{bar {partial }}}$ , y el Lefschetz operator ${displaystyle L:=omega wedge -}$ y su unión, Contralor ${displaystyle Lambda =L^{*}}$ . Las identidades forman la base del conjunto de herramientas analíticas sobre los múltiples Kähler, y combinado con la teoría Hodge son fundamentales para probar muchas propiedades importantes de los múltiples Kähler y su cohomología. En particular, las identidades de Kähler son fundamentales para probar los teoremas de Kodaira y Nakano desaparecidos, el teorema de hiperplano Lefschetz, el teorema de Lefschetz duro, las relaciones bilineales Hodge-Riemann y el teorema del índice Hodge.

El laplaciano en una variedad de Kähler

En un conjunto Riemanniano de dimensión N, el laplaciano suave r-formas se definen por $Delta_d=dd^*+d^*d$ Donde $d$ es el derivado exterior y ${displaystyle d^{*}=-(-1)^{Nr}star dstar }$ , donde $star$ es el operador estrella Hodge. (Equivalentemente, $d^{*}$ es la unión de $d$ con respecto al producto interior L2 en r-formas con soporte compacto.) Para un hombre ermitiano X, $d$ y $d^{*}$ están descompuestos

{displaystyle d=partial +{bar {partial }}, d^{*}=partial ^{*}+{bar {partial }}^{*},}

y otros dos laplacianos se definen:

{displaystyle Delta _{bar {partial }}={bar {partial }}{bar {partial }}^{*}+{bar {partial }}^{*}{bar {partial }}, Delta _{partial }=partial partial ^{*}+partial ^{*}partial.}

Si X es Kähler, las identidades de Kähler implican que estos laplacianos son todos iguales hasta una constante:

{displaystyle Delta _{d}=2Delta _{bar {partial }}=2Delta _{partial }.}

Estas identidades implican que en una variedad de Kähler X,

{displaystyle {mathcal {H}}^{r}(X)=bigoplus _{p+q=r}{mathcal {H}}^{p,q}(X),}

Donde ${displaystyle {mathcal {H}}^{r}}$ es el espacio de armónico r-formas sobre X (formas α con Δα = 0) y ${displaystyle {mathcal {H}}^{p,q}}$ es el espacio de las formas armónicas (p,q). Es decir, una forma diferencial $alpha$ es armónico si y sólo si cada uno de sus (p,qLos culpables son armónicos.

Además, para una variedad compacta de Kähler X, la teoría de Hodge da una interpretación de la división anterior que no depende de la elección de la métrica de Kähler. Es decir, la cohomología H^r(X, C) de X con coeficientes complejos se divide como una suma directa de ciertos grupos de cohomología de gavilla coherente:

{displaystyle H^{r}(X,mathbf {C})cong bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,Omega ^{p}).}

El grupo de la izquierda depende sólo de X como espacio topológico, mientras que los grupos de la derecha dependen de X como una variedad compleja. Entonces, este teorema de descomposición de Hodge conecta la topología y la geometría compleja para variedades compactas de Kähler.

Vamos H^p,q()X) ser el espacio vectorial complejo H^q()XΩ^p), que se puede identificar con el espacio ${displaystyle {mathcal {H}}^{p,q}(X)}$ de formas armónicas con respecto a una determinada métrica Kähler. El Números de Hodge de X se definen por h^p,q()X) = dim_CH^p,q()X). La descomposición Hodge implica una descomposición de los números Betti de un manifold Kähler compacto X en términos de su Números de Hodge:

{displaystyle b_{r}=sum _{p+q=r}h^{p,q}.}

Los números Hodge de un conjunto compacto Kähler satisfacen varias identidades. El Simetría de Hodge h^p,q = h^q,p sostiene porque el Laplacian $Delta_d$ es un verdadero operador, y así $H^{p,q}=overline{H^{q,p}}$ . La identidad h^p,q = h^n−p,n−q se puede probar utilizando que el operador estrella Hodge da un isomorfismo ${displaystyle H^{p,q}cong {overline {H^{n-p,n-q}}}}$ . También sigue de la dualidad Serre.

Topología de colectores compactos de Kähler

Una consecuencia simple de la teoría de Hodge es que todo número impar de Betti b_2a+1 de una variedad compacta de Kähler es par, por Simetría de Hodge. Esto no es cierto para variedades complejas compactas en general, como lo muestra el ejemplo de la superficie de Hopf, que es difeomorfa a S¹ × S³ y por lo tanto tiene b₁ = 1.

El "paquete Kähler" es una colección de restricciones adicionales sobre la cohomología de variedades compactas de Kähler, basándose en la teoría de Hodge. Los resultados incluyen el teorema del hiperplano de Lefschetz, el teorema duro de Lefschetz y las relaciones bilineales de Hodge-Riemann. Un resultado relacionado es que toda variedad compacta de Kähler es formal en el sentido de la teoría de la homotopía racional.

La cuestión de qué grupos pueden ser grupos fundamentales de variedades compactas de Kähler, llamados grupos de Kähler, está muy abierta. La teoría de Hodge impone muchas restricciones a los posibles grupos de Kähler. La restricción más simple es que la abelianización de un grupo de Kähler debe tener rango par, ya que el número de Betti b₁ de una variedad de Kähler compacta es par. (Por ejemplo, los números enteros Z no pueden ser el grupo fundamental de una variedad de Kähler compacta). Las extensiones de la teoría, como la teoría de Hodge no abeliana, imponen restricciones adicionales sobre qué grupos pueden ser grupos de Kähler.

Sin la condición de Kähler, la situación es simple: Clifford Taubes demostró que cada grupo presentado finitamente surge como el grupo fundamental de alguna variedad compleja compacta de dimensión 3. (Por el contrario, el grupo fundamental de cualquier variedad cerrada está presentado finitamente).

Caracterizaciones de variedades proyectivas complejas y variedades compactas de Kähler

El teorema de incrustación de Kodaira caracteriza variedades proyectivas complejas y suaves entre todas las variedades compactas de Kähler. Es decir, una variedad compleja compacta X es proyectiva si y sólo si hay una forma de Kähler ω en X cuya clase en H²(X, R) está en la imagen del grupo de cohomología integral H²(X, Z). (Debido a que un múltiplo positivo de una forma Kähler es una forma Kähler, equivale a decir que X tiene una forma Kähler cuya clase en H²(X, R) está en H²(X, Q).) De manera equivalente, X es proyectivo si y sólo si hay un paquete de líneas holomorfas L en X con una métrica hermitiana cuya forma de curvatura ω es positiva (ya que ω es entonces una forma de Kähler que representa la primera clase Chern de L en H²(X, Z)). La forma de Kähler ω que satisface estas condiciones (es decir, la forma de Kähler ω es una forma diferencial integral) también se llama forma de Hodge, y la métrica de Kähler en este momento es llamada métrica de Hodge. Los colectores compactos de Kähler con métrica Hodge también se denominan colectores Hodge.

Muchas propiedades de los manifolds Kähler se mantienen en la generalidad ligeramente mayor ${displaystyle partial {bar {partial }}}$ - Manifolds, que es complejos complejos compactos ${displaystyle partial {bar {partial }}}$ -lemma sostiene. En particular, la cohomología de Bott-Chern es una alternativa a la cohomología de Dolbeault de un conjunto compacto complejo, y son isomorfos si y sólo si el múltiple satisface los ${displaystyle partial {bar {partial }}}$ -lemma, y en particular está de acuerdo cuando el múltiple es Kähler. En general el núcleo del mapa natural de la cohomología Bott-Chern a la cohomología Dolbeault contiene información sobre el fracaso del múltiple para ser Kähler.

Cada curva compleja compacta es proyectiva, pero en dimensión compleja al menos 2, hay muchas variedades Kähler compactas que no son proyectivas; por ejemplo, la mayoría de los toros complejos compactos no son proyectivos. Cabe preguntarse si toda variedad compacta de Kähler puede al menos deformarse (variando continuamente la estructura compleja) hasta obtener una variedad proyectiva suave. El trabajo de Kunihiko Kodaira sobre la clasificación de superficies implica que cada variedad compacta de Kähler de dimensión compleja 2 puede deformarse a una variedad proyectiva suave. Claire Voisin descubrió, sin embargo, que esto falla en dimensiones al menos 4. Construyó una variedad Kähler compacta de dimensión compleja 4 que ni siquiera es equivalente en homotopía a ninguna variedad proyectiva compleja suave.

También se puede solicitar una caracterización de las variedades compactas de Kähler entre todas las variedades compactas y complejas. En la dimensión compleja 2, Kodaira y Yum-Tong Siu demostraron que una superficie compleja compacta tiene una métrica de Kähler si y sólo si su primer número de Betti es par. Buchdahl y Lamari proporcionaron de forma independiente una prueba alternativa de este resultado que no requiere un estudio duro caso por caso utilizando la clasificación de superficies compactas complejas. Así, "Kähler" es una propiedad puramente topológica para superficies complejas compactas. El ejemplo de Hironaka muestra, sin embargo, que esto falla en dimensiones de al menos 3. Más detalladamente, el ejemplo es una familia de 1 parámetro de 3 pliegues complejos lisos y compactos, de modo que la mayoría de las fibras son Kähler (e incluso proyectivas), pero una fibra no es Kähler. Por tanto, una variedad de Kähler compacta puede ser difeomorfa de una variedad compleja que no es de Kähler.

Múltiples de Kähler-Einstein

Una variedad de Kähler se llama Kähler-Einstein si tiene curvatura de Ricci constante. De manera equivalente, el tensor de curvatura de Ricci es igual a una constante λ multiplicada por el tensor métrico, Ric = λg. La referencia a Einstein proviene de la relatividad general, que afirma, en ausencia de masa, que el espacio-tiempo es una variedad lorentziana de 4 dimensiones con curvatura de Ricci cero. Consulte el artículo sobre variedades de Einstein para obtener más detalles.

Aunque la curvatura de Ricci está definida para cualquier variedad de Riemann, juega un papel especial en la geometría de Kähler: la curvatura de Ricci de una variedad de Kähler X puede verse como un (1,1)- cerrado real. forma que representa c₁(X) (la primera clase Chern del paquete tangente) en H²(X, R). De ello se deduce que una variedad compacta de Kähler-Einstein X debe tener un paquete canónico K_X ya sea anti-amplio, homólogamente trivial o amplia, dependiendo de si la constante de Einstein λ es positiva, cero o negativa. Las variedades de Kähler de esos tres tipos se denominan Fano, Calabi-Yau o con paquete canónico amplio (lo que implica tipo general), respectivamente. Según el teorema de incrustación de Kodaira, las variedades de Fano y las variedades con paquete canónico amplio son automáticamente variedades proyectivas.

Shing-Tung Yau demostró la conjetura de Calabi: cada variedad proyectiva suave con haz canónico amplio tiene una métrica de Kähler-Einstein (con curvatura de Ricci negativa constante), y cada variedad de Calabi-Yau tiene una métrica de Kähler-Einstein (con curvatura de Ricci cero). curvatura). Estos resultados son importantes para la clasificación de variedades algebraicas, con aplicaciones como la desigualdad de Miyaoka-Yau para variedades con paquete canónico amplio y la descomposición de Beauville-Bogomolov para variedades de Calabi-Yau.

Por el contrario, no todas las variedades suaves de Fano tienen una métrica de Kähler-Einstein (que tendría una curvatura de Ricci positiva constante). Sin embargo, Xiuxiong Chen, Simon Donaldson y Song Sun demostraron la conjetura de Yau-Tian-Donaldson: una variedad Fano suave tiene una métrica de Kähler-Einstein si y sólo si es K-estable, una condición puramente álgebro-geométrica.

En situaciones en las que no puede existir una métrica de Kähler-Einstein, es posible estudiar generalizaciones leves que incluyen métricas de Kähler de curvatura escalar constante y métricas extremas de Kähler. Cuando puede existir una métrica de Kähler-Einstein, estas generalizaciones más amplias son automáticamente Kähler-Einstein.

Curvatura seccional holomorfa

La desviación de una variedad de Riemann X de la métrica estándar en el espacio euclidiano se mide mediante la curvatura seccional, que es un número real asociado a cualquier plano 2 real en el espacio tangente de X en un punto. Por ejemplo, la curvatura seccional de la métrica estándar en CPⁿ (para n ≥ 2) varía entre 1/4 y 1. Para una variedad hermitiana (por ejemplo, una variedad Kähler), la curvatura seccional holomorfa significa la curvatura seccional restringida a líneas complejas en el espacio tangente. Esto se comporta de manera más simple, ya que CPⁿ tiene una curvatura seccional holomorfa igual a 1. En el otro extremo, la bola unitaria abierta en Cⁿ tiene una métrica de Kähler completa con curvatura seccional holomorfa igual a −1. (Con esta métrica, la pelota también se llama espacio hiperbólico complejo.)

La curvatura seccional holomorfa está íntimamente relacionada con la compleja geometría del manifold complejo subyacente. Es una consecuencia elemental de la lema Ahlfors Schwarz que si ${displaystyle (X,omega)}$ es un manifold hermitiano con una métrica hermitiana de curvatura seccional negativa holomorfica (que se encuentra por encima de una constante negativa), entonces es hiperbólico Brody (es decir, cada mapa holomorfico ${displaystyle mathbb {C} to X}$ es constante). Si X resulta ser compacto, entonces esto es equivalente al múltiple siendo hiperbólico Kobayashi.

Por otro lado, si ${displaystyle (X,omega)}$ es un manifold Kähler compacto con una métrica Kähler de la curvatura de sección positiva holomorfa, Yang Xiaokui mostró que X está conectado racionalmente.

Una característica notable de la geometría compleja es que la curvatura seccional holomorfa disminuye en subvariedades complejas. (Lo mismo ocurre con un concepto más general, curvatura biseccional holomorfa). Por ejemplo, cada subvariedad compleja de Cⁿ (con la métrica inducida de Cⁿ) tiene curvatura seccional holomorfa ≤ 0.

Para mapas holomórficos entre variedades hermitianas, la curvatura seccional holomorfa no es lo suficientemente fuerte como para controlar el término de curvatura objetivo que aparece en la estimación de segundo orden del lema de Schwarz. Esto motivó la consideración de la curvatura biseccional real, introducida por Xiaokui Yang y Fangyang Zheng. Esto también aparece en el trabajo de Man-Chun Lee y Jeffrey Streets bajo el nombre de operador de curvatura compleja.

Ejemplos

Espacio complejo Cⁿ con la métrica hermitiana estándar es un manifold Kähler.
Un torus complejo compacto Cⁿ/ Término (aproximadamente una retícula completa) hereda una métrica plana de la métrica euclidiana Cⁿ, y por lo tanto es un manifold compacto Kähler.
Cada métrica Riemanniana en un doble eje orientado es Kähler. (De hecho, su grupo de holonomía está contenido en el grupo de rotación SO(2), que es igual al grupo unitario U(1).) En particular, un doble Riemanniano orientado es una superficie Riemann de una manera canónica; esto se conoce como la existencia de coordenadas isotérmicas. Por el contrario, cada superficie Riemann es Kähler ya que la forma Kähler de cualquier métrica hermitiana está cerrada por razones dimensionales.
Hay una opción estándar de la métrica Kähler en el espacio complejo proyector CPⁿ, la métrica Fubini-Study. Una descripción involucra al grupo unitario U(n + 1), el grupo de automorfismos lineales de C^{n+ 1} que preserva la forma hermitiana estándar. La métrica Fubini-Study es la métrica Riemanniana única CPⁿ (hasta un múltiplo positivo) que es invariable bajo la acción de U(n + 1) on CPⁿ. Una generalización natural CPⁿ es proporcionado por los espacios simétricos Hermitianos de tipo compacto, como Grassmannians. La métrica natural de Kähler en un espacio simétrico hermitiano de tipo compacto tiene curvatura seccional ≥ 0.
La métrica inducida en un complejo submanifold de un manifold Kähler es Kähler. En particular, cualquier manifold Stein (embedded in Cⁿ) o la variedad algebraica proyector suave (embedded in CPⁿEs Kähler. Esta es una gran clase de ejemplos.
La bola abierta B dentro Cⁿ tiene una métrica Kähler completa llamada la métrica Bergman, con curvatura de sección holomorfa igual a −1. Una generalización natural de la bola es proporcionada por los espacios simétricos hermitianos de tipo no compacto, como el espacio superior Siegel. Cada espacio simétrico hermitiano X de tipo no-compacto es isomorfo a un dominio consolidado en algunos Cⁿ, y la métrica de Bergman X es una métrica Kähler completa con curvatura seccional ≤ 0.
Cada superficie K3 es Kähler (por Siu).

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