Cohomología

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Secuencias de grupos abelianos unidos con espacios topológicos

En matemáticas, específicamente en la teoría de la homología y la topología algebraica, cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos, generalmente uno asociado con un espacio topológico, a menudo definido a partir de un complejo cocadena. La cohomología puede verse como un método para asignar invariantes algebraicas más ricas a un espacio que la homología. Algunas versiones de la cohomología surgen al dualizar la construcción de la homología. En otras palabras, las cocadenas son funciones en el grupo de cadenas en la teoría de la homología.

Desde sus inicios en la topología, esta idea se convirtió en un método dominante en las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. Desde la idea inicial de la homología como método para construir invariantes algebraicas de espacios topológicos, la gama de aplicaciones de las teorías de la homología y la cohomología se ha extendido a lo largo de la geometría y el álgebra. La terminología tiende a ocultar el hecho de que la cohomología, una teoría contravariante, es más natural que la homología en muchas aplicaciones. En un nivel básico, esto tiene que ver con funciones y retrocesos en situaciones geométricas: espacios dados X e Y, y algún tipo de función F en Y, para cualquier asignación f: X → Y, la composición con f da lugar a una función F ∘ f en X. Las teorías de cohomología más importantes tienen un producto, el producto de taza, que les da una estructura de anillo. Debido a esta característica, la cohomología suele ser una invariante más fuerte que la homología.

Cohomología singular

La cohomología singular es una poderosa invariante en topología, que asocia un anillo conmutativo graduado con cualquier espacio topológico. Cada aplicación continua f: X → Y determina un homomorfismo del anillo de cohomología de Y al de X; esto pone fuertes restricciones en los posibles mapas de X a Y. A diferencia de invariantes más sutiles como los grupos de homotopía, el anillo de cohomología tiende a ser computable en la práctica para espacios de interés.

Para un espacio topológico X, la definición de cohomología singular comienza con el complejo de cadena singular:

{displaystyle cdots to C_{i+1}{stackrel {partial _{i+1}}{to }}C_{i}{stackrel {partial _{i}}{to }} C_{i-1}to cdots }

XC_iiXiX_iiC_ii

Ahora arregla un grupo abeliano A, y reemplazar cada grupo C_i por su grupo dual ${displaystyle C_{i}^{*}:=mathrm {Hom} (C_{i},A),}$ y $partial _{i}$ por su doble homomorfismo

{displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}to C_{i}^{*}.}

Esto tiene el efecto de "invertir todas las flechas" del complejo original, dejando un complejo cochain

{displaystyle cdots leftarrow C_{i+1}^{*}{stackrel {d_{i}}{leftarrow }} C_{i}^{*}{stackrel {d_{i-1}}{leftarrow }}C_{i-1}^{*}leftarrow cdots }

Para un entero i, el i^T cohomology group de X con coeficientes en A se define como ker(d_i)/im(d_i−1) y denotado por Hⁱ()X, A). El grupo Hⁱ()X, A) es cero para i negativo. Los elementos de ${displaystyle C_{i}^{*}}$ se llaman singular i-cochains con coeficientes en A. (Equivalentemente, un i- ¡Adelante! X se puede identificar con una función del conjunto de singulares i- los propositores en X a A.) Elementos de ker(d) e im(d) se llaman cociclos y cobotarios, respectivamente, mientras que elementos de ker(d)/im(d) Hⁱ()X, A) se llaman clases de cohomología (porque son clases de equivalencia de cociclos).

En lo que sigue, el grupo de coeficientes A a veces no se escribe. Es común tomar A como un anillo conmutativo R; entonces los grupos de cohomología son módulos R. Una opción estándar es el anillo Z de números enteros.

Algunas de las propiedades formales de la cohomología son solo variantes menores de las propiedades de la homología:

Un mapa continuo $f:Xto Y$ determina un adelante homomorfismo ${displaystyle f_{*}:H_{i}(X)to H_{i}(Y)}$ on homology and a Retirada homomorfismo ${displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)to H^{i}(X)}$ sobre la cohomología. Esto convierte la cohomología en un functor contravariante de los espacios topológicos a grupos abelianos (o R-módulos).
Dos mapas homotopic de X a Y inducir el mismo homomorfismo en la cohomología (como en la homología).
La secuencia Mayer-Vietoris es una importante herramienta computacional en la cohomología, como en la homología. Tenga en cuenta que el homomorfismo límite aumenta (en lugar de disminuir) grado en cohomología. Es decir, si un espacio X es la unión de subconjuntos abiertos U y V, entonces hay una secuencia exacta larga: ${displaystyle cdots to H^{i}(X)to H^{i}(U)oplus H^{i}(V)to H^{i}(Ucap V)to H^{i+1}(X)to cdots }$
Hay grupos de cohomología relativos ${displaystyle H^{i}(X,Y;A)}$ para cualquier subespacial Y de un espacio X. Están relacionados con los grupos habituales de cohomología por una larga secuencia exacta: ${displaystyle cdots to H^{i}(X,Y)to H^{i}(X)to H^{i}(Y)to H^{i+1}(X,Y)to cdots }$
El teorema de coeficiente universal describe la cohomología en términos de homología, utilizando grupos Ext. Es decir, hay una secuencia exacta corta ${displaystyle 0to operatorname {Ext} _{mathbb {Z} }^{1}(operatorname {H} _{i-1}(X,mathbb {Z}),A)to H^{i}(X,A)to operatorname {Hom} _{mathbb {Z} }(H_{i}(X,mathbb {Z}),A)to 0.}$ A related statement is that for a field F, ${displaystyle H^{i}(X,F)}$ es precisamente el espacio dual del espacio vectorial ${displaystyle H_{i}(X,F)}$ .
Si X es un conjunto topológico o un complejo CW, luego los grupos de cohomología ${displaystyle H^{i}(X,A)}$ son cero para i más grande que la dimensión X. Si X es un conjunto compacto (posiblemente con límite), o un complejo CW con muchas células finitamente en cada dimensión, y R es un anillo noetheriano conmutativo, entonces el R- Mobiliario Hⁱ()X,R) se genera finitamente para cada uno i.

Por otro lado, la cohomología tiene una estructura crucial que la homología no tiene: para cualquier espacio topológico X y anillo conmutativo R, hay un mapa bilineal, llamado producto en taza:

{displaystyle H^{i}(X,R)times H^{j}(X,R)to H^{i+j}(X,R),}

uvuvuv

{displaystyle H^{*}(X,R)=bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}

anillo de cohomologíaX

{displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,qquad uin H^{i}(X,R),vin H^{j}(X,R).}

Para cualquier mapa continuo ${displaystyle fcolon Xto Y,}$ la retirada ${displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)to H^{*}(X,R)}$ es un homomorfismo de grado R- Álgebras. Se sigue que si dos espacios son equivalentes de homotopy, entonces sus anillos de cohomología son isomorfos.

Estas son algunas de las interpretaciones geométricas del producto taza. En lo que sigue, se entiende que las variedades no tienen límite, a menos que se indique lo contrario. Una variedad cerrada significa una variedad compacta (sin límite), mientras que una subvariedad cerrada N de una variedad M significa una subvariedad que es un subconjunto cerrado de M, no necesariamente compacto (aunque N es automáticamente compacto si M lo es).

Vamos X ser un conjunto cerrado de dimensión n. Entonces la dualidad Poincaré da un isomorfismo HⁱX. H_n−iX. As a result, a closed oriented submanifold S de la codimensión i dentro X determina una clase de cohomología en HⁱX, llamado [S]. En estos términos, el producto de la taza describe la intersección de los submanifolds. Es decir, si S y T son submanifolds of codimension i y j que intersectan transversalmente, entonces ${displaystyle [S][T]=[Scap T]in H^{i+j}(X),}$ donde la intersección S ∩ T es un submanifold de codimension i + j, con una orientación determinada por las orientaciones de S, T, y X. En el caso de los manifolds suaves, si S y T no intersecte transversalmente, esta fórmula todavía se puede utilizar para calcular el producto de la taza [S[ ]T], por perturbing S o T para hacer la intersección transversal.
Más generalmente, sin asumir que X tiene una orientación, un submanifold cerrado de X con una orientación en su paquete normal determina una clase de cohomología en X. Si X es un manifold no realizado, entonces un submanifold cerrado (no necesariamente compacto) determina una clase de cohomología en X. En ambos casos, el producto de la taza se puede describir de nuevo en términos de intersecciones de submanifolds.
Tenga en cuenta que Thom construyó una clase integral de cohomología del grado 7 en un suave 14-manipple que no es la clase de cualquier submanifold suave. Por otro lado, mostró que cada clase de cohomología integral de grado positivo en un manifold suave tiene un múltiple positivo que es la clase de un submanifold suave. Además, cada clase integral de cohomología en un manifold puede ser representada por un "pseudomanifold", es decir, un complejo simplicial que es un múltiple fuera de un subconjunto cerrado de codimensión al menos 2.
Para un manifold suave XEl teorema de De Rham dice que la cohomología singular X con coeficientes reales es isomorfo a la cohomología de Rham X, definido utilizando formas diferenciales. El producto de la taza corresponde al producto de formas diferenciales. Esta interpretación tiene la ventaja de que el producto en formas diferenciales es graduado-commutante, mientras que el producto en cochaínas singulares es sólo grado-commutante hasta la cadena de homotopy. De hecho, es imposible modificar la definición de cocaínas singulares con coeficientes en los enteros $mathbb {Z}$ o dentro ${displaystyle mathbb {Z} /p}$ para un número primo p para hacer el producto clasificado-commutante en la nariz. El fracaso de la competitividad de grado en el nivel de cochaína conduce a las operaciones de Steenrod en mod p Cohomología.

Muy informal, para cualquier espacio topológico X, elementos de ${displaystyle H^{i}(X)}$ puede ser pensado como representado por la codimensión-i subespacios de X que puede avanzar libremente X. Por ejemplo, una manera de definir un elemento ${displaystyle H^{i}(X)}$ es dar un mapa continuo f desde X a un múltiple M y una codimensión cerradai submanifold N de M con una orientación en el paquete normal. Informalmente, uno piensa en la clase resultante ${displaystyle f^{*}([N])in H^{i}(X)}$ como tumbado en el subespacio ${displaystyle f^{-1}(N)}$ de X; esto está justificado en que la clase ${displaystyle f^{*}([N])}$ restringe a cero en la cohomología del subconjunto abierto ${displaystyle X-f^{-1}(N).}$ La clase de cohomología ${displaystyle f^{*}([N])}$ puede moverse libremente X en el sentido de que N podría sustituirse por cualquier deformación continua N dentro M.

Ejemplos

En lo que sigue, la cohomología se toma con coeficientes en los números enteros Z, a menos que se indique lo contrario.

El anillo de cohomología de un punto es el anillo Z en grado 0. Por invarianza de homotopy, este es también el anillo de cohomología de cualquier espacio contractual, como el espacio Euclideano Rⁿ.
El primer grupo de cohomología del toro 2-dimensional tiene una base dada por las clases de los dos círculos mostrados.
Para un entero positivo n, el anillo de cohomología de la esfera $S^{n}$ es Z[x]/x²) (el anillo cociente de un anillo polinomio por el ideal dado), con x en grado n. En términos de dualidad Poincaré como arriba, x es la clase de un punto en la esfera.
El anillo de cohomología del toro $(S^{1})^{n}$ es el álgebra exterior sobre Z on n generadores en grado 1. Por ejemplo, P denota un punto en el círculo $S^{1}$ , y Q el punto (P,P) en el torus 2-dimensional ${displaystyle (S^{1})^{2}}$ . Entonces la cohomología de (S¹)² tiene una base como un Z-modulo libre de la forma: el elemento 1 en grado 0, x#P × S¹] y Sí.#S¹ × P] en grado 1, y xy =Q] en grado 2. (Implicamente, las orientaciones del toro y de los dos círculos se han fijado aquí). Note que Yx =xy −Q], por graduada-commutatividad.
Más generalmente, dejar R ser un anillo conmutativo, y dejar X y Y ser cualquier espacio topológico tal que H^*()X,R) es un libre generado finitamente R-modulo en cada grado. (No se necesita ninguna hipótesis sobre Y.) Luego la fórmula Künneth da que el anillo de cohomología del espacio del producto X × Y es un producto tensor de R- álgebras: ${displaystyle H^{*}(Xtimes Y,R)cong H^{*}(X,R)otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$
El anillo de cohomología del espacio proyector real RPⁿ con Z/2 coeficientes es Z/2[x]/x^{n+ 1}Con x en grado 1. Aquí x es la clase de un hiperplano RPⁿ⁻¹ dentro RPⁿ; esto tiene sentido a pesar de RP^j no es orientable para j incluso y positivo, porque la dualidad Poincaré con Z/2 coeficientes funciona para múltiples maniobras arbitrarias.
Con coeficientes enteros, la respuesta es un poco más complicada. El Z-cohomología de RP^2a tiene un elemento Sí. del grado 2 tal que toda la cohomología es la suma directa de una copia Z abarcado por el elemento 1 en grado 0 junto con copias de Z/2 abarcado por los elementos Sí.ⁱ para i=1,...a. El Z-cohomología de RP^{2a+ 1} es el mismo junto con una copia extra de Z en grado 2a+1.
El anillo de cohomología del espacio complejo proyector CPⁿ es Z[x]/x^{n+ 1}Con x en grado 2. Aquí x es la clase de un hiperplano CPⁿ⁻¹ dentro CPⁿ. Más generalmente, x^j es la clase de un subespacial lineal CP^n−j dentro CPⁿ.
El anillo de cohomología de la superficie cerrada orientada X de género g ≥ 0 tiene una base libre Z-modulo de la forma: el elemento 1 en grado 0, A₁,...A_g y B₁,...B_g en grado 1, y la clase P de un grado 2. El producto es dado por: A_iA_j = B_iB_j = 0 para todos i y j, A_iB_j = 0 si i ل j, y A_iB_i = P para todos i. Por graduada-commutatividad, sigue que $B i A i = P$ .
En cualquier espacio topológico, la computatividad calificada del anillo de cohomología implica que 2x² = 0 para todas las clases de cohomología de grado extraño x. Lo sigue por un anillo R que contiene 1/2, todos los elementos de acuerdo H^*()X,R) tienen cero cuadrado. Por otro lado, los elementos de grado impar no necesitan tener cero cuadrado R es Z/2 o Z, como se ve en el ejemplo de RP² (con Z/2 coeficientes) o RP⁴ × RP² (con Z coeficientes).

La diagonal

El producto de taza en cohomología se puede ver como proveniente del mapa diagonal Δ: X → X × X, x ↦ (x,x). Es decir, para cualquier espacio X e Y con clases de cohomología u ∈ Hⁱ(X,R) y v ∈ H^j(Y,R), hay un producto externo (o producto cruzado) clase de cohomología u × v ∈ H^i+j(X × Y,R). El producto de copa de las clases u ∈ Hⁱ(X, R) y v ∈ H^j(X,R) se puede definir como el retroceso del producto externo por la diagonal:

{displaystyle uv=Delta ^{*}(utimes v)in H^{i+j}(X,R).}

Alternativamente, el producto externo se puede definir en términos del producto de taza. Para los espacios X y Y, escribe f: X × Y → X y g: X × Y → Y para las dos proyecciones. Entonces el producto externo de las clases u ∈ Hⁱ(X,R) y v ∈ H^j(Y, R) es:

{displaystyle utimes v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))in H^{i+j}(Xtimes Y,R).}

Dualidad de Poincaré

Otra interpretación de la dualidad de Poincaré es que el anillo de cohomología de una variedad orientada cerrada es autodual en un sentido fuerte. Es decir, sea X una variedad cerrada, conexa y orientada de dimensión n, y sea F un campo. Entonces Hⁿ(X,F) es isomorfo a F , y el producto

{displaystyle H^{i}(X,F)times H^{n-i}(X,F)to H^{n}(X,F)cong F}

es un emparejamiento perfecto para cada entero i. En particular, los espacios vectoriales Hⁱ(X,F) y Hⁿ⁻ⁱ(X,F) tienen la misma dimensión (finita). Asimismo, el producto sobre cohomología integral módulo torsión con valores en Hⁿ(X,Z) ≅ Z es una pareja perfecta sobre Z.

Clases de características

Un conjunto de vectores reales orientados E de rango r sobre un espacio topológico X determina una clase de cohomología en X, la clase de Euler χ(E) ∈ H^r(X,Z). Informalmente, la clase de Euler es la clase del conjunto cero de una sección general de E. Esa interpretación se puede hacer más explícita cuando E es un paquete vectorial suave sobre una variedad suave X, ya que entonces una sección suave general de X se desvanece en una subvariedad de codimensión-r de X.

Hay varios otros tipos de clases de características para paquetes de vectores que toman valores en cohomología, incluidas las clases de Chern, las clases de Stiefel-Whitney y las clases de Pontryagin.

Espacios de Eilenberg-MacLane

Para cada grupo abeliano A y número natural j, hay un espacio ${displaystyle K(A,j)}$ cuyo j- el grupo homotopy es isomorfo a A y cuyos otros grupos de homotopy son cero. Tal espacio se llama un Espacio Eilenberg-MacLane. Este espacio tiene la propiedad notable que es espacio de clasificación para la cohomología: hay un elemento natural u de ${displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$ , y todas las clases de cohomología j en cada espacio X es la retirada de u por algunos mapa continuo ${displaystyle Xto K(A,j)}$ . Más precisamente, retrocediendo la clase u da una bijeción

{displaystyle [X,K(A,j)]{stackrel {cong }{to }}H^{j}(X,A)}

para cada espacio X con el tipo de homotopy de un complejo CW. Aquí. $[X,Y]$ denota el conjunto de clases de homotopy de mapas continuos de X a Y.

Por ejemplo, el espacio ${displaystyle K(mathbb {Z}1)}$ (definido hasta la equivalencia de homotopy) se puede tomar para ser el círculo $S^{1}$ . Así que la descripción anterior dice que cada elemento de ${displaystyle H^{1}(X,mathbb {Z})}$ es retirado de la clase u de un punto sobre $S^{1}$ por algunos mapa ${displaystyle Xto S^{1}}$ .

Hay una descripción relacionada de la primera cohomología con coeficientes en cualquier grupo abeliano A, digamos para un complejo CW X. Es decir, ${displaystyle H^{1}(X,A)}$ está en una sola correspondencia con el conjunto de clases de isomorfismo de Galois cubriendo espacios de X con grupo A, también llamado principal A-bundles sobre X. Para X conectado, sigue que ${displaystyle H^{1}(X,A)}$ es isomorfo a ${displaystyle operatorname {Hom} (pi _{1}(X),A)}$ , donde $pi _{1}(X)$ es el grupo fundamental X. Por ejemplo, ${displaystyle H^{1}(X,mathbb {Z} /2)}$ clasifica los espacios de doble cobertura X, con el elemento ${displaystyle 0in H^{1}(X,mathbb {Z} /2)}$ correspondiente al doble cubrimiento trivial, la unión disyuntiva de dos copias de X.

Producto de tapa

Para cualquier espacio topológico X, el producto límite es un mapa bilineal

{displaystyle cap:H^{i}(X,R)times H_{j}(X,R)to H_{j-i}(X,R)}

para cualquier número entero i y j y cualquier anillo conmutativo R. El mapa resultante

{displaystyle H^{*}(X,R)times H_{*}(X,R)to H_{*}(X,R)}

convierte la homología singular de X en un módulo sobre el anillo de cohomología singular de X.

Para i = j, el producto cap da el homomorfismo natural

{displaystyle H^{i}(X,R)to operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}

que es un isomorfismo para R un campo.

Por ejemplo, sea X una variedad orientada, no necesariamente compacta. Entonces una subvariedad Y de X de codimensión-i orientada cerrada (no necesariamente compacta) determina un elemento de Hⁱ(X,R), y una subvariedad j-dimensional compacta orientada Z de X determina un elemento de H_j(X,R). El producto superior [Y] ∩ [Z] ∈ H_j−i(X,R) se puede calcular perturbando Y y Z para hacer se intersecan transversalmente y luego tomando la clase de su intersección, que es una subvariedad compacta orientada de dimensión j − i.

Una variedad orientada cerrada X de dimensión n tiene una clase fundamental [X] en H_n(X,R). El isomorfismo de la dualidad de Poincaré

{displaystyle H^{i}(X,R){overset {cong }{to }}H_{n-i}(X,R)}

Breve historia de la cohomología singular

Aunque la cohomología es fundamental para la topología algebraica moderna, su importancia no se vio hasta 40 años después del desarrollo de la homología. El concepto de estructura celular dual, que Henri Poincaré usó en su demostración de su teorema de dualidad de Poincaré, contenía el principio de la idea de cohomología, pero esto no se vio hasta más tarde.

Hubo varios precursores de la cohomología. A mediados de la década de 1920, J. W. Alexander y Solomon Lefschetz fundaron la teoría de intersección de ciclos en variedades. En una variedad n-dimensional cerrada orientada M un ciclo i y un ciclo j con intersección no vacía, si están en la posición general, tienen como intersección un ciclo (i + j − n). Esto conduce a una multiplicación de clases de homología.

{displaystyle H_{i}(M)times H_{j}(M)to H_{i+j-n}(M),}

que (en retrospectiva) se puede identificar con el producto de taza en la cohomología de M.

Alexander había definido en 1930 una primera noción de una cocadena, al pensar en una i-cocadena en un espacio X como una función en pequeños vecindarios de la diagonal en Xⁱ⁺¹.

En 1931, Georges de Rham relacionó la homología y las formas diferenciales, demostrando el teorema de de Rham. Este resultado puede expresarse más simplemente en términos de cohomología.

En 1934, Lev Pontryagin demostró el teorema de la dualidad de Pontryagin; un resultado en grupos topológicos. Esto (en casos bastante especiales) proporcionó una interpretación de la dualidad de Poincaré y la dualidad de Alexander en términos de personajes grupales.

En una conferencia de 1935 en Moscú, Andrey Kolmogorov y Alexander introdujeron la cohomología y trataron de construir una estructura de producto de cohomología.

En 1936, Norman Steenrod construyó la cohomología de Čech mediante la dualización de la homología de Čech.

De 1936 a 1938, Hassler Whitney y Eduard Čech desarrollaron el producto taza (convirtiendo la cohomología en un anillo graduado) y el producto tapa, y se dieron cuenta de que la dualidad de Poincaré se puede establecer en términos del producto tapa. Su teoría todavía estaba limitada a complejos de células finitas.

En 1944, Samuel Eilenberg superó las limitaciones técnicas y dio la definición moderna de homología y cohomología singular.

En 1945, Eilenberg y Steenrod establecieron los axiomas que definen una teoría de homología o cohomología, discutidos a continuación. En su libro de 1952, Fundamentos de la topología algebraica, demostraron que las teorías de homología y cohomología existentes sí satisfacían sus axiomas.

En 1946, Jean Leray definió la cohomología de haces.

En 1948, Edwin Spanier, basándose en el trabajo de Alexander y Kolmogorov, desarrolló la cohomología Alexander-Spanier.

Cohomología de la gavilla

Cohomología de gavilla es una rica generalización de cohomología singular, que permite "coeficientes" que simplemente un grupo abeliano. Por cada haz de grupos abelianos E en un espacio topológico X, uno tiene grupos de cohomología Hⁱ(X,E) para números enteros i. En particular, en el caso de la gavilla constante en X asociada a un grupo abeliano A, los grupos resultantes Hⁱ(X,A) coinciden con la cohomología singular para X un complejo múltiple o CW (aunque no para espacios arbitrarios X). A partir de la década de 1950, la cohomología de haces se ha convertido en una parte central de la geometría algebraica y el análisis complejo, en parte debido a la importancia del haz de funciones regulares o el haz de funciones holomorfas.

Grothendieck definió y caracterizó elegantemente la cohomología de haces en el lenguaje del álgebra homológica. El punto esencial es fijar el espacio X y pensar en la cohomología de gavillas como un funtor de la categoría abeliana de gavillas en X a grupos abelianos. Comience con el functor tomando una gavilla E en X a su grupo abeliano de secciones globales sobre X, E(X). Este funtor es exacto a la izquierda, pero no necesariamente exacto a la derecha. Grothendieck definió los grupos de cohomología de gavilla como los funtores derivados de la derecha del funtor exacto izquierdo E ↦ E(X).

Esa definición sugiere varias generalizaciones. Por ejemplo, uno puede definir la cohomología de un espacio topológico X con coeficientes en cualquier complejo de haces, antes llamado hipercohomología (pero ahora generalmente solo "cohomología"). Desde ese punto de vista, la cohomología de gavillas se convierte en una secuencia de funtores de la categoría derivada de gavillas en X a grupos abelianos.

En un sentido amplio de la palabra, "cohomología" se usa a menudo para los funtores derivados por la derecha de un funtor exacto por la izquierda en una categoría abeliana, mientras que "homología" se utiliza para los funtores derivados por la izquierda de un funtor exacto por la derecha. Por ejemplo, para un anillo R, Tor agrupa a Tor_i^R(M,N) forman una "teoría de homología" en cada variable, los funtores derivados por la izquierda del producto tensorial M⊗_RN de R-módulos. Asimismo, los grupos Ext Extⁱ_R(M,N ) puede verse como una "teoría de la cohomología" en cada variable, los funtores derivados por la derecha del funtor Hom Hom_R(M,N).

La cohomología de Sheaf se puede identificar con un tipo de grupo Ext. Es decir, para una gavilla E en un espacio topológico X, Hⁱ(X,E) es isomorfo a Extⁱ(Z_X, E), donde Z_X denota la gavilla constante asociado con los números enteros Z, y Ext se toma en la categoría abeliana de poleas en X.

Cohomología de variedades

Hay numerosas máquinas construidas para calcular la cohomología de las variedades algebraicas. El caso más simple es la determinación de la cohomología para variedades proyectivas suaves sobre un campo de características ${displaystyle 0}$ . Herramientas de la teoría Hodge, llamadas estructuras Hodge ayudan a dar computaciones de cohomología de estos tipos de variedades (con la adición de información más refinada). En el caso más simple la cohomología de una hipersuperficie lisa en $mathbb {P} ^{n}$ puede determinarse únicamente desde el grado de polinomio.

Al considerar variedades sobre un campo finito, o un campo de características $p$ , se requieren herramientas más poderosas porque las definiciones clásicas de homología/cohomología se descomponen. Esto se debe a que las variedades sobre campos finitos sólo serán un conjunto finito de puntos. Grothendieck surgió con la idea de una topología de Grothendieck y usó cohomología de hoja sobre la topología étale para definir la teoría de la cohomología para las variedades sobre un campo finito. Usando la topología étale para una variedad sobre un campo de características $p$ uno puede construir $ell$ - adic cohomology for $ell neq p$ . Esto se define como

{displaystyle H^{k}(X;mathbb {Q} _{ell }):=varprojlim H_{et}^{k}(X;mathbb {Z} /(ell ^{n}))otimes _{mathbb {Z} _{ell }}mathbb {Q} _{ell }}

Si tenemos un esquema de tipo finito

{displaystyle X={text{Proj}}left({frac {mathbb {Z} left[x_{0},ldotsx_{n}right]}{left(f_{1},ldotsf_{k}right)}}right)}

entonces hay una igualdad de dimensiones para la cohomología Betti ${displaystyle X(mathbb {C})}$ y el $ell$ - adic cohomology of ${displaystyle X(mathbb {F} _{q})}$ cada vez que la variedad es suave sobre ambos campos. Además de estas teorías de la cohomología hay otras teorías de la cohomología llamadas teorías de la cohomología Weil que se comportan de forma similar a la cohomología singular. Hay una teoría conjeturada de los motivos que subyacen a todas las teorías de la cohomología Weil.

Otra herramienta útil computacional es la secuencia de soplado. Dada una codimensión $geq 2$ subscheme $Zsubset X$ hay una plaza cartesiana

{displaystyle {begin{matrix}E&longrightarrow &Bl_{Z}(X)\downarrow &&downarrow \Z&longrightarrow &Xend{matrix}}}

De esto hay una secuencia exacta larga asociada

{displaystyle cdots to H^{n}(X)to H^{n}(Z)oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))to H^{n}(E)to H^{n+1}(X)to cdots }

Si la subvaricia $Z$ es suave, entonces los morfismos de conexión son todos triviales, por lo tanto

{displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))oplus H^{n}(Z)cong H^{n}(X)oplus H^{n}(E)}

Axiomas y teorías generalizadas de cohomología

Hay varias formas de definir la cohomología para espacios topológicos (como cohomología singular, cohomología Čech, cohomología Alexander-Spanier o cohomología de gavilla). (Aquí, la cohomología de los haces se considera solo con coeficientes en un haz constante). Estas teorías dan respuestas diferentes para algunos espacios, pero hay una gran clase de espacios en los que todos están de acuerdo. Esto se entiende más fácilmente axiomáticamente: hay una lista de propiedades conocidas como los axiomas de Eilenberg-Steenrod, y dos construcciones que comparten esas propiedades coincidirán al menos en todos los complejos CW. Hay versiones de los axiomas para una teoría de homología así como para una teoría de cohomología. Algunas teorías pueden verse como herramientas para calcular la cohomología singular para espacios topológicos especiales, como la cohomología simplicial para complejos simpliciales, la cohomología celular para complejos CW y la cohomología de Rham para variedades suaves.

Uno de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para una teoría de cohomología es el axioma de dimensión: si P es un solo punto, entonces Hⁱ(P) = 0 para todo i ≠ 0. Alrededor de 1960, George W. Whitehead observó que es fructífero omitir completamente el axioma de la dimensión.: esto da la noción de una teoría de homología generalizada o una teoría de cohomología generalizada, definida a continuación. Existen teorías de cohomología generalizada como la teoría K o el cobordismo complejo que brindan información valiosa sobre un espacio topológico, no accesible directamente desde la cohomología singular. (En este contexto, la cohomología singular a menudo se denomina "cohomología ordinaria").

Por definición, una teoría de homología generalizada es una secuencia de funtores h_i (para enteros i) de la categoría de pares CW (X, A) (por lo que X es un complejo CW y A es un subcomplejo) a la categoría de grupos abelianos, junto con una transformación natural $\partial i : h i (X, A) \to h i -1 (A)$ llamado homomorfismo de frontera (aquí h _i−1(A) es una abreviatura de h_{i −1}(A,∅)). Los axiomas son:

HomotopySi ${displaystyle f:(X,A)to (Y,B)}$ es homotopic to ${displaystyle g:(X,A)to (Y,B)}$ , entonces los homomorfismos inducidos en la homología son los mismos.
Exactitud: Cada par (X,A) induce una larga secuencia exacta en la homología, a través de las inclusiones $f : A \to X$ y $g # X, Opiniones) \to (X, A)$ : ${displaystyle cdots to h_{i}(A){overset {f_{*}}{to }}h_{i}(X){overset {g_{*}}{to }}h_{i}(X,A){overset {partial }{to }}h_{i-1}(A)to cdots.}$
EscisiónSi X es la unión de subcomplexes A y B, entonces la inclusión f#A,A∩B) →X,B) induce un isomorfismo ${displaystyle h_{i}(A,Acap B){overset {f_{*}}{to }}h_{i}(X,B)}$ para todos i.
AdditivitySiX,A) es la unión de un conjunto de pares (X_α,A_α), entonces las inclusiones (X_α,A_α) →X,A) inducir un isomorfismo de la suma directa: ${displaystyle bigoplus _{alpha }h_{i}(X_{alpha },A_{alpha })to h_{i}(X,A)}$ para todos i.

Los axiomas para una teoría de cohomología generalizada se obtienen invirtiendo las flechas, en términos generales. Más detalladamente, una teoría de cohomología generalizada es una secuencia de funtores contravariantes hⁱ (para enteros i) de la categoría de pares CW a la categoría de grupos abelianos, junto con una transformación natural $d : h i (A) \to h i +1 (X, A)$ llamado homomorfismo de frontera (escribiendo hⁱ(A) para hⁱ(A,∅)). Los axiomas son:

Homotopy: Homotopic maps induce el mismo homomorfismo en la cohomología.
Exactitud: Cada par (X,A) induce una larga secuencia exacta en la cohomología, a través de las inclusiones f: A → X y g#X, Opiniones) → (X,A): ${displaystyle cdots to h^{i}(X,A){overset {g_{*}}{to }}h^{i}(X){overset {f_{*}}{to }}h^{i}(A){overset {d}{to }}h^{i+1}(X,A)to cdots.}$
EscisiónSi X es la unión de subcomplexes A y B, entonces la inclusión f#A,A∩B) →X,B) induce un isomorfismo ${displaystyle h^{i}(X,B){overset {f_{*}}{to }}h^{i}(A,Acap B)}$ para todos i.
AdditivitySiX,A) es la unión de un conjunto de pares (X_α,A_α), entonces las inclusiones (X_α,A_α) →X,A) inducir un isomorfismo al grupo de productos: ${displaystyle h^{i}(X,A)to prod _{alpha }h^{i}(X_{alpha },A_{alpha })}$ para todos i.

Un espectro determina tanto una teoría de homología generalizada como una teoría de cohomología generalizada. Un resultado fundamental de Brown, Whitehead y Adams dice que toda teoría de homología generalizada proviene de un espectro y, de la misma manera, toda teoría de cohomología generalizada proviene de un espectro. Esto generaliza la representabilidad de la cohomología ordinaria por espacios de Eilenberg-MacLane.

Un punto sutil es que el funtor de la categoría de homotopía estable (la categoría de espectros de homotopía) a las teorías de homología generalizadas en pares CW no es una equivalencia, aunque da una biyección en las clases de isomorfismo; hay mapas distintos de cero en la categoría de homotopía estable (llamados mapas fantasma) que inducen el mapa cero entre teorías de homología en pares CW. Del mismo modo, el funtor de la categoría de homotopía estable a las teorías de cohomología generalizada en pares CW no es una equivalencia. Es la categoría de homotopía estable, no estas otras categorías, la que tiene buenas propiedades, como ser triangulada.

Si uno prefiere que las teorías de homología o cohomología se definan en todos los espacios topológicos en lugar de en los complejos CW, un enfoque estándar es incluir el axioma de que cada equivalencia de homotopía débil induce un isomorfismo en la homología o la cohomología. (Eso es cierto para la homología singular o la cohomología singular, pero no para la cohomología de la gavilla, por ejemplo). Dado que cada espacio admite una equivalencia de homotopía débil de un complejo CW, este axioma reduce las teorías de homología o cohomología en todos los espacios a la teoría correspondiente en CW complejos.

Algunos ejemplos de teorías de cohomología generalizada son:

Grupos de cohomotopia estables ${displaystyle pi _{S}^{*}(X).}$ La teoría homológica correspondiente se utiliza más a menudo: grupos estables de homotopia ${displaystyle pi _{*}^{S}(X).}$
Diversos sabores diferentes de grupos de cobordismo, basados en el estudio de un espacio considerando todos los mapas de él a múltiples: cobordismo no orientado ${displaystyle MO^{*}(X)}$ cobordismo orientado ${displaystyle MSO^{*}(X),}$ complejo cobordismo ${displaystyle MU^{*}(X),}$ y así sucesivamente. El cobordismo complejo ha resultado ser especialmente poderoso en la teoría del homotopy. Está estrechamente relacionada con grupos formales, a través de un teorema de Daniel Quillen.
Diversos sabores diferentes de la Teoría K topológica, basado en estudiar un espacio considerando todos los paquetes vectoriales sobre él: ${displaystyle KO^{*}(X)}$ (teoría K periódica real), ${displaystyle ko^{*}(X)}$ (Teoría de K en conexión real), ${displaystyle K^{*}(X)}$ (Teoría K periódica compleja), ${displaystyle ku^{*}(X)}$ (teoría K conjuntiva compleja), etc.
Cohomología Brown-Peterson, Morava Teoría K, Morava Teoría E y otras teorías construidas a partir del cobordismo complejo.
Diversos sabores de la cohomología elíptica.

Muchas de estas teorías contienen información más rica que la cohomología ordinaria, pero son más difíciles de calcular.

Una teoría de la cohomología E se dice que multiplicador si $E^{*}(X)$ tiene la estructura de un anillo de grado para cada espacio X. En el lenguaje del espectro, hay varias nociones más precisas de un espectro de anillo, como un espectro de anillos E∞, donde el producto es comunicativo y asociativo en un sentido fuerte.

Otras teorías de cohomología

Las teorías de cohomología en un sentido más amplio (invariantes de otras estructuras algebraicas o geométricas, en lugar de espacios topológicos) incluyen:

Teoría Algebraica K
André-Quillen cohomology
Bounded cohomology
BRST cohomology
Čech cohomology
Cohomology Coherent sheaf
Cohomología cristalina
Cohomología cíclica
Deligne cohomology
Cohomología equivalente
Étale cohomology
Grupos de exclusión
Cohomología plana
Floer homology
Galois cohomology
Group cohomology
Hochschild cohomology
Cohomología intersección
Khovanov homology
Lie algebra cohomology
Cohomology local
Cohomology motivic
Cohomology non-abelian
Cohomología cuántica

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