Coherencia (física)

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Relación de equidad en ondas con frecuencias iguales y ondas

En física, la coherencia expresa el potencial de interferencia de dos ondas. Dos haces monocromáticos de una sola fuente siempre interfieren. Las fuentes físicas no son estrictamente monocromáticas: pueden ser parcialmente coherentes. Los haces de diferentes fuentes son mutuamente incoherentes.

Cuando interfieren, dos ondas se suman para crear una onda de mayor amplitud que cualquiera de las dos (interferencia constructiva) o se restan para crear una onda de mínimos que pueden ser cero (interferencia destructiva), dependiendo de su fase relativa. La interferencia constructiva o destructiva son casos límite, y dos ondas siempre interfieren, incluso si el resultado de la suma es complicado o no destacable.

Dos ondas con fase relativa constante serán coherentes. La cantidad de coherencia se puede medir fácilmente por la visibilidad de la interferencia, que analiza el tamaño de las franjas de interferencia en relación con las ondas de entrada (a medida que varía el desplazamiento de fase); una definición matemática precisa del grado de coherencia se da por medio de funciones de correlación. Más generalmente, coherencia describe la similitud estadística de un campo (campo electromagnético, paquete de ondas cuánticas, etc.) en dos puntos en el espacio o el tiempo.

Concepto cualitativo

Dos aberturas iluminadas por una fuente muestran un patrón de interferencia. La fuente está lejos de la izquierda en el diagrama, detrás de los colimadores que crean un haz paralelo. Esta combinación asegura que una ola de la fuente golpea ambas aberturas a la misma parte del ciclo de onda: la ola tendrá coherencia.

La coherencia controla la visibilidad o el contraste de los patrones de interferencia. Por ejemplo, la visibilidad del patrón del experimento de doble rendija requiere que ambas rendijas estén iluminadas por una onda coherente como se ilustra en la figura. Las fuentes grandes sin colimación o las fuentes que mezclan muchas frecuencias diferentes tendrán una visibilidad menor.

La coherencia contiene varios conceptos distintos. La coherencia espacial describe la correlación (o relación predecible) entre ondas en diferentes puntos del espacio, ya sea lateral o longitudinal. La coherencia temporal describe la correlación entre ondas observadas en diferentes momentos en el tiempo. Ambos se observan en el experimento de Michelson-Morley y el experimento de interferencia de Young. Una vez obtenidas las franjas en el interferómetro de Michelson, cuando uno de los espejos se aleja gradualmente del divisor de haz, el tiempo de recorrido del haz aumenta y las franjas se oscurecen y finalmente desaparecen, mostrando coherencia temporal. De manera similar, en un experimento de doble rendija, si se aumenta el espacio entre las dos rendijas, la coherencia muere gradualmente y finalmente desaparecen las franjas, mostrando la coherencia espacial. En ambos casos, la amplitud de la franja desaparece lentamente, a medida que la diferencia de trayectoria aumenta más allá de la longitud de coherencia.

La coherencia se concibió originalmente en relación con el experimento óptico de doble rendija de Thomas Young, pero ahora se usa en cualquier campo que involucre ondas, como la acústica, la ingeniería eléctrica, la neurociencia y la mecánica cuántica. La propiedad de la coherencia es la base de aplicaciones comerciales como la holografía, el giroscopio de Sagnac, los conjuntos de antenas de radio, la tomografía de coherencia óptica y los interferómetros telescópicos (interferómetros ópticos astronómicos y radiotelescopios).

Definición matemática

El función de coherencia entre dos señales $x(t)$ y $y(t)$ se define como

{displaystyle gamma _{xy}^{2}(f)={frac {|S_{xy}(f)|^{2}}{S_{xx}(f)S_{yy}(f)}}}

Donde ${displaystyle S_{xy}(f)}$ es la densidad transversal de la señal y ${displaystyle S_{xx}(f)}$ y ${displaystyle S_{yy}(f)}$ son las funciones de densidad espectral de potencia $x(t)$ y $y(t)$ , respectivamente. La densidad transversal y la densidad espectral de potencia se definen como los transformados Fourier de la Cruz-correlación y las señales de autocorrelación, respectivamente. Por ejemplo, si las señales son funciones de tiempo, la correlación cruzada es una medida de la semejanza de las dos señales como función del lapso de tiempo en relación con el otro y la autocorrelación es una medida de la semejanza de cada señal con sí mismo en diferentes instantes de tiempo. En este caso la coherencia es una función de frecuencia. Analmente, si $x(t)$ y $y(t)$ son funciones de espacio, la cruza-correlación mide la similitud de dos señales en diferentes puntos del espacio y las autocorrelaciones la similitud de la señal relativa a sí misma para cierta distancia de separación. En ese caso, la coherencia es una función de número de onda (frecuencia espacial).

La coherencia varía en el intervalo ${displaystyle 0leq gamma _{xy}^{2}(f)leq 1}$ . Si ${displaystyle gamma _{xy}^{2}(f)=1}$ significa que las señales están perfectamente correlacionadas o relacionadas linealmente y si ${displaystyle gamma _{xy}^{2}(f)=0}$ son totalmente incorrelacionados. Si se está midiendo un sistema lineal, $x(t)$ ser la entrada y $y(t)$ la producción, la función de coherencia será unitaria en todo el espectro. Sin embargo, si las no linealidades están presentes en el sistema, la coherencia variará en el límite indicado anteriormente.

Coherencia y correlación

La coherencia de dos ondas expresa qué tan bien correlacionadas están las ondas según lo cuantificado por la función de correlación cruzada. La correlación cruzada cuantifica la capacidad de predecir la fase de la segunda onda conociendo la fase de la primera. Como ejemplo, considere dos ondas perfectamente correlacionadas para todos los tiempos (mediante el uso de una fuente de luz monocromática). En cualquier momento, la diferencia de fase entre las dos ondas será constante. Si, cuando se combinan, muestran una interferencia constructiva perfecta, una interferencia destructiva perfecta o algo intermedio pero con una diferencia de fase constante, se deduce que son perfectamente coherentes. Como se discutirá más adelante, la segunda ola no necesita ser una entidad separada. Podría ser la primera ola en un momento o posición diferente. En este caso, la medida de correlación es la función de autocorrelación (a veces llamada autocoherencia). El grado de correlación implica funciones de correlación.

Ejemplos de estados ondulatorios

Estos estados están unificados por el hecho de que su comportamiento se describe mediante una ecuación de onda o alguna generalización de la misma.

Olas en una cuerda (hasta abajo) o slinky (compresión y expansión)
Olas superficiales en un líquido
Señales electromagnéticos (campos) en líneas de transmisión
Sonido
Olas de radio y microondas
Olas de luz (optics)
Olas de materia asociadas con, por ejemplo, electrones y átomos.

En un sistema con ondas macroscópicas, se puede medir la onda directamente. En consecuencia, su correlación con otra onda puede calcularse simplemente. Sin embargo, en óptica no se puede medir el campo eléctrico directamente ya que oscila mucho más rápido que la resolución de tiempo de cualquier detector. En cambio, se mide la intensidad de la luz. La mayoría de los conceptos relacionados con la coherencia que se presentarán a continuación se desarrollaron en el campo de la óptica y luego se usaron en otros campos. Por lo tanto, muchas de las medidas estándar de coherencia son medidas indirectas, incluso en campos donde la onda se puede medir directamente.

Coherencia temporal

Gráfico 1: La amplitud de una onda de frecuencia única como función del tiempo t (rojo) y una copia de la misma onda retrasada por τ (azul). El tiempo de coherencia de la onda es infinito ya que está perfectamente correlacionado con sí mismo para todos los retrasos τ.

Gráfico 2: La amplitud de una ola cuya fase deriva significativamente en el tiempo τ_c como función del tiempo t (red) y una copia de la misma onda retrasada por 2τ_c(verde). En cualquier momento particular la onda puede interferir perfectamente con su copia retardada. Pero, ya que la mitad del tiempo las ondas rojas y verdes están en fase y la mitad del tiempo fuera de fase, cuando se promedio sobre t cualquier interferencia desaparece en este retraso.

La coherencia temporal es la medida de la correlación promedio entre el valor de una onda y ella misma retrasada por τ, en cualquier par de tiempos. La coherencia temporal nos dice cuán monocromática es una fuente. En otras palabras, caracteriza qué tan bien una onda puede interferir consigo misma en un momento diferente. El retardo en el que la fase o la amplitud se desvían en una cantidad significativa (y, por lo tanto, la correlación disminuye en una cantidad significativa) se define como el tiempo de coherencia τ_c. Con un retraso de τ=0 el grado de coherencia es perfecto, mientras que cae significativamente a medida que pasa el retraso τ=τ_c. La longitud de coherencia L_c se define como la distancia que recorre la onda en el tiempo τ_c.

El tiempo de coherencia no es el tiempo de duración de la señal; la longitud de coherencia difiere del área de coherencia (ver más abajo).

La relación entre el tiempo de coherencia y el ancho de banda

Cuanto mayor sea el ancho de banda (rango de frecuencias Δf que contiene una onda), más rápido se descorrelacionará la onda (y por lo tanto, menor será τ_c):

{displaystyle tau _{c}Delta fgtrsim 1}

Formalmente, esto se deriva del teorema de convolución en matemáticas, que relaciona la transformada de Fourier del espectro de potencia (la intensidad de cada frecuencia) con su autocorrelación.

Los láseres de ancho de banda estrecho tienen longitudes de coherencia largas (hasta cientos de metros). Por ejemplo, un láser de helio-neón estabilizado y monomodo puede producir fácilmente luz con longitudes de coherencia de 300 m. Sin embargo, no todos los láseres tienen una gran monocromaticidad (p. ej., para un láser de zafiro de Ti con bloqueo de modo, Δλ ≈ 2 nm - 70 nm).

Los LED se caracterizan por Δλ ≈ 50 nm, y las luces de filamento de tungsteno exhiben Δλ ≈ 600 nm, por lo que estas fuentes tienen tiempos de coherencia más cortos que la mayoría de los láseres monocromáticos.

Ejemplos de coherencia temporal

Ejemplos de coherencia temporal incluyen:

Una onda que contiene sólo una frecuencia única (monocromática) está perfectamente correlacionada con sí misma en todos los retrasos de tiempo, de acuerdo con la relación anterior. (Ver Figura 1)
Por el contrario, una ola cuya fase de deriva rápidamente tendrá un corto tiempo de coherencia. (Véase el gráfico 2)
Del mismo modo, los pulsos (paquetes de onda) de las ondas, que naturalmente tienen una amplia gama de frecuencias, también tienen un corto tiempo de coherencia ya que la amplitud de la onda cambia rápidamente. (Ver Figura 3)
Finalmente, la luz blanca, que tiene una gama muy amplia de frecuencias, es una onda que varía rápidamente tanto en amplitud como en fase. Como por lo tanto tiene un tiempo muy corto de coherencia (sólo 10 períodos), a menudo se llama incoherente.

La holografía requiere luz con un tiempo de coherencia largo. En cambio, la tomografía de coherencia óptica, en su versión clásica, utiliza luz con un tiempo de coherencia corto.

Medición de la coherencia temporal

Figura 3: La amplitud de un paquete de ondas cuya amplitud cambia significativamente en el tiempo τ_c (red) y una copia de la misma onda retrasada por 2τ_c(verde) trazado como función del tiempo t. En cualquier momento en particular las ondas rojas y verdes están incorrelacionadas; una oscila mientras que la otra es constante y por lo tanto no habrá interferencia en este retraso. Otra manera de ver esto es que los paquetes de ondas no se superponen en el tiempo y por lo tanto en cualquier momento en particular hay sólo un campo no cero para que no pueda ocurrir interferencia.

Figura 4: La intensidad mediada (azul) detectada en la salida de un interferómetro trazado como función de retraso τ para las ondas de ejemplo en las Figuras 2 y 3. A medida que el retraso se cambia por medio período, la interferencia cambia entre constructivo y destructivo. Las líneas negras indican el sobre de interferencia, que da el grado de coherencia. Aunque las ondas en las Figuras 2 y 3 tienen diferentes duración del tiempo, tienen el mismo tiempo de coherencia.

En óptica, la coherencia temporal se mide en un interferómetro como el interferómetro de Michelson o el interferómetro de Mach-Zehnder. En estos dispositivos, una onda se combina con una copia de sí misma que se retrasa en el tiempo τ. Un detector mide la intensidad promediada en el tiempo de la luz que sale del interferómetro. La visibilidad resultante del patrón de interferencia (por ejemplo, véase la Figura 4) da la coherencia temporal en el retardo τ. Dado que para la mayoría de las fuentes de luz natural, el tiempo de coherencia es mucho más corto que el tiempo de resolución de cualquier detector, el propio detector hace el promedio de tiempo. Considere el ejemplo que se muestra en la Figura 3. Con un retraso fijo, aquí 2τ_c, un detector infinitamente rápido mediría una intensidad que fluctúa significativamente durante un tiempo t igual a τ_c. En este caso, para encontrar la coherencia temporal en 2τ_c, se promediaría manualmente la intensidad en el tiempo.

Coherencia espacial

En algunos sistemas, como las ondas de agua o la óptica, los estados ondulatorios pueden extenderse en una o dos dimensiones. La coherencia espacial describe la capacidad de dos puntos espaciales x₁ y x₂ en la extensión de una onda para interferir cuando se promedia en el tiempo. Más precisamente, la coherencia espacial es la correlación cruzada entre dos puntos en una onda para todos los tiempos. Si una onda tiene solo 1 valor de amplitud en una longitud infinita, es perfectamente coherente espacialmente. El rango de separación entre los dos puntos sobre los que existe una interferencia significativa define el diámetro del área de coherencia, A_c (La longitud de coherencia, a menudo una característica de una fuente, es generalmente un término industrial relacionado con el tiempo de coherencia de la fuente, no con el área de coherencia en el medio). A_c es el tipo relevante de coherencia para el interferómetro de doble rendija de Young. También se utiliza en sistemas de imágenes ópticas y particularmente en varios tipos de telescopios astronómicos. A veces, las personas también usan la "coherencia espacial" para referirse a la visibilidad cuando un estado de onda se combina con una copia de sí mismo desplazada espacialmente.

Ejemplos

Coherencia espacial
Figura 5: Una onda plana con una longitud de coherencia infinita.
Figura 6: Una onda con un perfil variable (frontera de onda) y una longitud de coherencia infinita.
Figura 7: Una onda con un perfil variable (frontera de onda) y longitud finita de coherencia.
$Figure 8: A wave with finite coherence area is incident on a pinhole (small aperture). The wave will diffract out of the pinhole. Far from the pinhole the emerging spherical wavefronts are approximately flat. The coherence area is now infinite while the coherence length is unchanged.$
Figura 8: Una ola con área de coherencia finita es un incidente en un agujero (pequeña abertura). La onda se difunda de la clavija. Lejos del agujero las ondas esféricas emergentes son aproximadamente planas. El área de coherencia es ahora infinita, mientras que la longitud de coherencia no se cambia.
Figura 9: Una ola con área de coherencia infinita se combina con una copia espacialmente cambiada de sí misma. Algunas secciones de la ola interfieren constructivamente y algunas interferirán destructivamente. Mediante estas secciones, un detector con longitud D medirá la visibilidad de interferencia reducida. Por ejemplo, un interferómetro mal alineado Mach–Zehnder hará esto.

Considere un filamento de carga ligera de tungsteno. Diferentes puntos en el filamento emiten luz independientemente y no tienen una relación de fase fija. En detalle, en cualquier momento el perfil de la luz emitida va a ser distorsionado. El perfil cambiará aleatoriamente con el tiempo de coherencia $tau _{c}$ . Desde para una fuente de luz blanca como una bomba de luz $tau _{c}$ es pequeño, el filamento se considera una fuente espacialmente incoherente. En cambio, una matriz de antena de radio, tiene una gran coherencia espacial porque las antenas en extremos opuestos de la matriz emiten con una relación de fase fija. Las ondas de luz producidas por un láser a menudo tienen alta coherencia temporal y espacial (aunque el grado de coherencia depende fuertemente de las propiedades exactas del láser). La coherencia espacial de las vigas láser también se manifiesta como patrones de espectro y fringes de difusión vistos en los bordes de la sombra.

La holografía requiere una luz coherente temporal y espacialmente. Su inventor, Dennis Gabor, produjo hologramas exitosos más de diez años antes de que se inventaran los láseres. Para producir una luz coherente, pasó la luz monocromática de una línea de emisión de una lámpara de vapor de mercurio a través de un filtro espacial estenopeico.

En febrero de 2011, se informó que los átomos de helio, enfriados hasta casi el cero absoluto/estado de condensado de Bose-Einstein, pueden fluir y comportarse como un haz coherente como ocurre en un láser. Además, se descubrió que las propiedades de coherencia de la luz de salida de las estructuras ópticas no lineales multimodo obedecen a la teoría termodinámica óptica.

Coherencia espectral de pulsos cortos

Figura 10: Las olas de diferentes frecuencias interfieren para formar un pulso localizado si son coherentes.

Figura 11: La luz espectacularmente incoherente interfiere para formar luz continua con una fase y amplitud variar aleatoriamente

Las olas de diferentes frecuencias (en luz son diferentes colores) pueden interferir para formar un pulso si tienen una relación de fase fija (ver transforma de Fourier). Por el contrario, si las ondas de diferentes frecuencias no son coherentes, entonces, cuando se combinan, crean una onda que es continua en el tiempo (por ejemplo, luz blanca o ruido blanco). La duración temporal del pulso $Delta t$ está limitado por el ancho de banda espectral de la luz $Delta f$ según:

Delta fDelta tgeq 1

que se deriva de las propiedades de la transformada de Fourier y da como resultado el principio de incertidumbre de Küpfmüller (para partículas cuánticas también da como resultado el principio de incertidumbre de Heisenberg).

Si la fase depende linealmente de la frecuencia (es decir, $theta (f)propto f$ ) entonces el pulso tendrá la duración mínima de su ancho de banda (a transformado-limitado pulso), de lo contrario es pulsado (ver dispersión).

Medición de coherencia espectral

La medición de la coherencia espectral de la luz requiere un interferómetro óptico no lineal, como un correlador óptico de intensidad, una puerta óptica resuelta en frecuencia (FROG) o una interferometría de fase espectral para la reconstrucción directa del campo eléctrico (SPIDER).

Polarización y coherencia

La luz también tiene una polarización, que es la dirección en la que oscila el campo eléctrico o magnético. La luz no polarizada se compone de ondas de luz incoherentes con ángulos de polarización aleatorios. El campo eléctrico de la luz no polarizada vaga en todas direcciones y cambia de fase durante el tiempo de coherencia de las dos ondas de luz. Un polarizador absorbente rotado en cualquier ángulo siempre transmitirá la mitad de la intensidad incidente cuando se promedia en el tiempo.

Si el campo eléctrico se desvía una cantidad menor, la luz se polarizará parcialmente, de modo que en algún ángulo, el polarizador transmitirá más de la mitad de la intensidad. Si una onda se combina con una copia polarizada ortogonalmente de sí misma retrasada menos que el tiempo de coherencia, se crea luz parcialmente polarizada.

La polarización de un haz de luz está representada por un vector en la esfera de Poincaré. Para luz polarizada, el extremo del vector se encuentra en la superficie de la esfera, mientras que el vector tiene longitud cero para luz no polarizada. El vector de luz parcialmente polarizada se encuentra dentro de la esfera.

Coherencia cuántica

La propiedad característica de las ondas de materia cuántica, la interferencia de ondas, se basa en la coherencia. Si bien inicialmente se modeló según la coherencia óptica, la teoría y la comprensión experimental de la coherencia cuántica ampliaron enormemente el tema.

Coherencia de ondas de materia

La extensión más simple de la coherencia óptica aplica los conceptos ópticos a las ondas de materia. Por ejemplo, el experimento de la doble rendija con átomos en lugar de ondas de luz. Un haz atómico suficientemente colimado crea una función de onda atómica coherente que ilumina ambas rendijas. Cada rendija actúa como un haz separado pero en fase que contribuye al patrón de intensidad en una pantalla. Estas dos contribuciones dan lugar a un patrón de intensidad de bandas brillantes debido a la interferencia constructiva, entrelazadas con bandas oscuras debido a la interferencia destructiva, en una pantalla aguas abajo. Se han demostrado muchas variaciones de este experimento.

Al igual que con la luz, la coherencia transversal (en la dirección de propagación) de las ondas de materia se controla mediante la colimación. Debido a que la luz, en todas las frecuencias, viaja a la misma velocidad, la coherencia longitudinal y temporal están vinculadas; en las ondas de materia estos son independientes. En las ondas de materia, la selección de velocidad (energía) controla la coherencia longitudinal y la pulsación o corte controla la coherencia temporal.

Óptica cuántica

El descubrimiento del efecto Hanbury Brown y Twiss (correlación de la luz sobre la coincidencia) desencadenó la creación de Glauber de un análisis de coherencia cuántica único. La coherencia óptica clásica se convierte en un límite clásico para la coherencia cuántica de primer orden; un mayor grado de coherencia conduce a muchos fenómenos en la óptica cuántica.

Coherencia cuántica macroscópica

La coherencia cuántica a escala macroscópica conduce a nuevos fenómenos, los llamados fenómenos cuánticos macroscópicos. Por ejemplo, el láser, la superconductividad y la superfluidez son ejemplos de sistemas cuánticos altamente coherentes cuyos efectos son evidentes a escala macroscópica. La coherencia cuántica macroscópica (orden de largo alcance fuera de la diagonal, ODLRO) para la superfluidez y la luz láser está relacionada con la coherencia/ODLRO de primer orden (1 cuerpo), mientras que la superconductividad está relacionada con la coherencia/ODLRO de segundo orden. (Para los fermiones, como los electrones, solo son posibles órdenes pares de coherencia/ODLRO). Para los bosones, un condensado de Bose-Einstein es un ejemplo de un sistema que muestra una coherencia cuántica macroscópica a través de un estado de una sola partícula ocupada por múltiples.

El campo electromagnético clásico exhibe una coherencia cuántica macroscópica. El ejemplo más obvio es la señal portadora de radio y televisión. Satisfacen la descripción cuántica de coherencia de Glauber.

La coherencia cuántica como recurso

Recientemente, M. B. Plenio y sus colaboradores construyeron una formulación operativa de coherencia cuántica como teoría de recursos. Introdujeron monótonos de coherencia análogos a los monótonos entrelazados. Se ha demostrado que la coherencia cuántica es equivalente al entrelazamiento cuántico en el sentido de que la coherencia puede describirse fielmente como entrelazamiento y, a la inversa, que cada medida de entrelazamiento corresponde a una medida de coherencia.

Aplicaciones

Holografía

Las superposiciones coherentes de campos de ondas ópticas incluyen la holografía. Las fotografías holográficas se han utilizado como arte y como etiquetas de seguridad difíciles de falsificar.

Campos de ondas no ópticas

Otras aplicaciones se refieren a la superposición coherente de campos de onda no óptica. En la mecánica cuántica, por ejemplo, uno considera un campo de probabilidad, que está relacionado con la función de onda $psi (mathbf {r})$ (interpretación: densidad de la amplitud de probabilidad). Aquí las aplicaciones se refieren, entre otras, a las futuras tecnologías de la computación cuántica y la ya disponible tecnología de la criptografía cuántica. Además, se tratan los problemas del subcapítulo siguiente.

Análisis modal

La coherencia se utiliza para comprobar la calidad de las funciones de transferencia (FRF) que se miden. La baja coherencia puede deberse a una mala relación señal/ruido y/o una resolución de frecuencia inadecuada.

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