Cofinalidad

En matemáticas, especialmente en teoría del orden, la cofinalidad cf(A) de un conjunto parcialmente ordenado A es la menor de las cardinalidades de los subconjuntos cofinales de A.

Esta definición de cofinalidad se basa en el axioma de elección, ya que utiliza el hecho de que todo conjunto no vacío de números cardinales tiene un miembro mínimo. La cofinalidad de un conjunto parcialmente ordenado A puede definirse alternativamente como el mínimo ordinal x tal que existe una función de x a A con imagen cofinal. Esta segunda definición tiene sentido sin el axioma de elección. Si se asume el axioma de elección, como será el caso en el resto de este artículo, entonces las dos definiciones son equivalentes.

La cofinalidad se puede definir de manera similar para un conjunto dirigido y se usa para generalizar la noción de una subsecuencia en una red.

Ejemplos

• La cofinalidad de un conjunto parcialmente ordenado con mayor elemento es 1 ya que el conjunto que consiste sólo del elemento más grande es cofinal (y debe estar contenido en cada otro subconjunto de cofinal).
  • En particular, la cofinalidad de cualquier ordinal no finito, o de hecho cualquier conjunto finito dirigido, es 1, ya que estos conjuntos tienen un elemento más grande.
• Cada subconjunto de cofinal de un conjunto parcialmente ordenado debe contener todos los elementos maximales de ese conjunto. Así, la cofinalidad de un conjunto parcialmente ordenado finito es igual al número de sus elementos maximales.
  • En particular, ${displaystyle A}$ ser un conjunto de tamaño ${displaystyle n,}$ y considerar el conjunto de subconjuntos ${displaystyle A}$ no contiene más que ${displaystyle m}$ elementos. Esto se ordena parcialmente bajo inclusión y los subconjuntos con ${displaystyle m}$ los elementos son maximales. Así es la cofinalidad de esta postura ${displaystyle n}$ elegir ${displaystyle m.}$
• Un subconjunto de los números naturales ${displaystyle mathbb {N}$ es cofinal en ${displaystyle mathbb {N}$ si y sólo si es infinita, y por lo tanto la cofinalidad de ${displaystyle aleph _{0}$ es ${displaystyle aleph _{0}$ Así ${displaystyle aleph _{0}$ es un cardenal regular.
• La cofinalidad de los números reales con su orden habitual es ${displaystyle aleph _{0},}$ desde entonces ${displaystyle mathbb {N}$ es cofinal en ${displaystyle mathbb {R}$ El pedido habitual de ${displaystyle mathbb {R}$ no es el orden isomorfo a ${displaystyle c,}$ el cardenalismo de los números reales, que tiene cofinalidad estrictamente mayor que ${displaystyle aleph _{0}$ Esto demuestra que la cofinalidad depende del orden; diferentes órdenes del mismo conjunto pueden tener una cofinalidad diferente.

Propiedades

Si ${displaystyle A}$ admite un subconjunto de cofinales totalmente ordenado, entonces podemos encontrar un subconjunto ${displaystyle B}$ que está bien ordenado y cofinales en ${displaystyle A.}$ Cualquier subconjunto ${displaystyle B}$ también está bien ordenado. Dos subconjuntos cofinales de ${displaystyle B}$ con el cardenalismo mínimo (es decir, su cardenalidad es la cofinalidad ${displaystyle B}$) no necesita ser el orden isomorfo (por ejemplo si ${displaystyle B=omega +omega}$ entonces ambos ${displaystyle omega +omega }$ y ${displaystyle {omega - No.$ considerado como subconjuntos de ${displaystyle B}$ tienen el cardenalismo contable de la cofinalidad ${displaystyle B}$ pero no son el orden isomorfo.) Pero subconjuntos cofinales de ${displaystyle B}$ con el tipo de pedido mínimo será el orden isomorfo.

Cofinalidad de ordinales y otros conjuntos bien ordenados

El cofinalidad de un ordinal ${displaystyle alpha }$ es el ordinal más pequeño ${displaystyle delta }$ que es el tipo de orden de un subconjunto de cofinal ${displaystyle alpha.}$ La cofinalidad de un conjunto de ordinals o cualquier otro conjunto bien ordenado es la cofinalidad del tipo de orden de ese conjunto.

Así por un ordinal límite ${displaystyle alpha}$ existe ${displaystyle delta }$-Secuencia de aumento estricto con límite ${displaystyle alpha.}$ Por ejemplo, la cofinalidad de ${displaystyle omega ^{2}$ es ${displaystyle omega}$ porque la secuencia ${displaystyle omega cdot m}$ (donde) ${displaystyle m}$ rangos sobre los números naturales) tiende a ${displaystyle omega ^{2}$ pero, más generalmente, cualquier ordinal límite contable tiene cofinalidad ${displaystyle omega.}$ Un ordinal límite incontable puede tener cofinalidad ${displaystyle omega }$ como tal ${displaystyle omega _{omega }$ o una cofinalidad incontable.

La cofinalidad de 0 es 0. La cofinalidad de cualquier ordinal sucesor es 1. La cofinalidad de cualquier ordinal límite distinto de cero es un cardinal regular infinito.

Ordinales regulares y singulares

Un ordinal regular es un ordinal que es igual a su cofinalidad. Un ordinal singular es cualquier ordinal que no es regular.

Cada ordinal regular es el ordinal inicial de un cardenal. Cualquier límite de ordinal regular es un límite de ordinal inicial y por lo tanto es inicial, pero no es necesario ser regular. Suponiendo el axioma de elección, ${displaystyle omega _{alpha #$ es regular para cada ${displaystyle alpha.}$ En este caso, los ordinals ${displaystyle 0,1,omegaomega _{1},}$ y ${displaystyle omega _{2}$ son regulares, mientras que ${displaystyle 2,3,omega _{omega }$ y ${displaystyle omega _{omega cdot 2}$ son ordinals iniciales que no son regulares.

La cofinalidad de cualquier ordinal ${displaystyle alpha }$ es un ordinal regular, es decir, la cofinalidad de la cofinalidad ${displaystyle alpha }$ es lo mismo que la cofinalidad ${displaystyle alpha.}$ Así que la operación de cofinalidad es idempotente.

Cofinalidad de cardenales

Si ${displaystyle kappa }$ es un número infinito cardenal, entonces ${displaystyle operatorname {cf} (kappa)}$ es el cardenal más pequeño tal que hay una función sin límites de ${displaystyle operatorname {cf} (kappa)}$ a ${displaystyle kappa;}$ ${displaystyle operatorname {cf} (kappa)}$ es también la cardinalidad del conjunto más pequeño de cardenales estrictamente menores cuya suma es ${displaystyle kappa;}$ más precisamente

$${displaystyle mathrm {cf} (kappa)=minleft{ impertinentesI durable: kappa =sum _{iin I}lambda _{i}\\fnMicrosoft Sans Serif}i,lambda ¿Qué?$$

Que el conjunto anterior no esté vacío proviene del hecho de que

$${displaystyle kappa =bigcup _{iin kappa }{i}$$

${displaystyle kappa }$

${displaystyle operatorname {cf} (kappa)leq kappa.}$

${displaystyle operatorname {cf} (kappa)=operatorname {cf} (operatorname {cf} (kappa)). }$

Usando el teorema de König, uno puede probar ${displaystyle kappa > }}$ y ${displaystyle kappa }Nombre del operador {cf} left(2^{kappa }right)}$ para cualquier cardenal infinito ${displaystyle kappa.}$

La última desigualdad implica que la cofinalidad de la cardinalidad del continuo debe ser incontable. Por otro lado,

$${displaystyle aleph _{omega }=bigcup _{n madeomega }aleph _{n}$$

El número ordinal ω es el primer ordinal infinito, de modo que la cofinalidad de ${displaystyle aleph _{omega }$ es tarjeta(ω) = ${displaystyle aleph _{0}$ (En particular, ${displaystyle aleph _{omega }$ es singular.) Por lo tanto,

$${displaystyle 2^{aleph _{0}neq aleph _{omega }$$

(Compararar con la hipótesis continuum, que declara ${displaystyle 2^{aleph ¿Qué? _{1}$)

Generalizando este argumento, se puede probar que para un ordinal límite ${displaystyle delta }$

$${displaystyle mathrm {cf} (aleph _{delta })=mathrm {cf} (delta).}$$

Por otro lado, si el axioma de la elección sostiene, entonces para un sucesor o cero ordinal ${displaystyle delta }$

$${displaystyle mathrm {cf} (aleph _{delta })=aleph _{delta }$$