Coeficiente de restitución

El coeficiente de restitución (COR, también denotado por e), es la relación entre el velocidad de separación después de la colisión con la velocidad relativa de aproximación antes de la colisión. También se puede definir como la raíz cuadrada de la relación entre la energía cinética final y la energía cinética inicial. Normalmente oscila entre 0 y 1, donde 1 sería una colisión perfectamente elástica. Una colisión perfectamente inelástica tiene un coeficiente de 0, pero un valor de 0 no tiene por qué ser perfectamente inelástico. Se mide en la prueba de dureza de rebote de Leeb, expresada como 1000 veces el COR, pero es sólo un COR válido para la prueba, no como un COR universal para el material que se está probando.

El valor casi siempre es menor que 1 debido a que la energía cinética de traslación inicial se pierde en energía cinética de rotación, deformación plástica y calor. Puede ser más de 1 si hay una ganancia de energía durante la colisión debido a una reacción química, una reducción en la energía rotacional u otra disminución de energía interna que contribuya a la velocidad posterior a la colisión.

$${\displaystyle {\text{Coeficiente de la restitución} {\e)={\frac {\left sometida{\text{La velocidad relativa de la separación después de la colisión}}}\justo de la vida}{\left sometida{\text{La velocidad relativa del enfoque antes de la colisión}}\}\ ¿verdad?$$

Las matemáticas fueron desarrolladas por Sir Isaac Newton en 1687. También se conoce como ley experimental de Newton.

Más detalles

Línea de impacto: es la línea a lo largo de la cual se define e o, en ausencia de una fuerza de reacción tangencial entre superficies en colisión, la fuerza del impacto se comparte a lo largo de esta línea entre cuerpos. Durante el contacto físico entre cuerpos durante el impacto, su línea a lo largo de la normal común al par de superficies en contacto de los cuerpos en colisión. Por lo tanto, e se define como un parámetro unidimensional y adimensional.

Rango de valores para e – tratado como una constante

e suele ser un número real positivo entre 0 y 1:

• e = 0: Es una colisión perfectamente inelástica.
• 0 e 1: Este es un mundo real inelástico colisión, en la que se disipa alguna energía cinética.
• e = 1: Esta es una colisión perfectamente elástica, en la que no se disipa la energía cinética, y los objetos se rebotan unos de otros con la misma velocidad relativa con la que se acercaron.
• e 0: A COR menos de cero representaría una colisión en la que la velocidad de separación de los objetos tiene la misma dirección (señal) como la velocidad de cierre, lo que implica que los objetos pasaron entre sí sin comprometerse completamente. Esto también puede considerarse como una transferencia incompleta de impulso. Un ejemplo de esto podría ser un objeto pequeño y denso que pasa a través de uno grande, menos denso – por ejemplo, una bala que pasa a través de un objetivo.
• e ■ 1: Esto representaría una colisión en la que se libera energía, por ejemplo, bolas de billar de nitrocelulosa pueden explotar literalmente en el punto de impacto. Además, algunos artículos recientes han descrito colisiones superelásticas en las que se argumenta que la COR puede tomar un valor mayor que uno en un caso especial de colisiones oblicuas. Estos fenómenos se deben al cambio de trayectoria rebotada causada por la fricción. En tales colisiones la energía cinética se libera en algún tipo de explosión. Es posible que ${\displaystyle e=\infty}$ para una explosión perfecta de un sistema rígido.

Objetos emparejados

El COR es una propiedad de un par de objetos en una colisión, no de un solo objeto. Si un objeto determinado choca con dos objetos diferentes, cada colisión tendría su propio COR. Cuando se describe un objeto con un coeficiente de restitución, como si fuera una propiedad intrínseca sin referencia a un segundo objeto, se supone que está entre esferas idénticas o contra una pared perfectamente rígida.

Una pared perfectamente rígida no es posible, pero puede ser aproximada por un bloque de acero si investiga la COR de esferas con un módulo de elasticidad mucho más pequeño. De lo contrario, el COR se elevará y luego caerá basado en la velocidad de colisión de una manera más complicada.

Relación con la conservación de la energía y el impulso

En una colisión unidimensional, los dos principios clave son: conservación de la energía (conservación de la energía cinética si la colisión es perfectamente elástica) y conservación del momento (lineal). De estas dos se puede derivar una tercera ecuación, que es la ecuación de restitución como se indicó anteriormente. Al resolver problemas, se pueden utilizar dos de las tres ecuaciones. La ventaja de utilizar la ecuación de restitución es que a veces proporciona una forma más conveniente de abordar el problema.

Vamos. ${\displaystyle m_{1}$, ${\displaystyle #$ ser la masa del objeto 1 y el objeto 2 respectivamente. Vamos. ${\displaystyle U_{1}$, ${\displaystyle u_{2}$ ser la velocidad inicial del objeto 1 y el objeto 2 respectivamente. Vamos. ${\displaystyle v_{1}$, ${\displaystyle v_{2}$ ser la velocidad final del objeto 1 y el objeto 2 respectivamente. $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}m_{1}u_{1}{2}+{\frac} {2} {2}m_{2}u_{2}{2}={\frac} {1}{2}m_{1}v_{1}{2}+{\frac} {1}{2}m_{2}v_{2}\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} {2}\end{cases}}}}}}}}}}}} {2} {2}}}} {2}}}}}}}}} {}} {}}}}}}}} {2}}}}} {2}}}}}}}}} {2}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}} {} {}}}} {} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {\m_}}}}}}}}}}}}}} {$$De la primera ecuación, $${\displaystyle m_{1}\left=m_{2}\left (v_{2} {2}-u_{2}\right)}$$$${\displaystyle m_{1}\left(u_{1}+v_{1}\right)\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}+u_{2}\right)\left (v_{2}-u_{2}\right)}$$De la segunda ecuación, $${\displaystyle M_{1}\left (u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left (v_{2}-u_{2}\right)}$$Después de la división, $${\displaystyle U_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}$$$${\displaystyle U_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2}}$$$${\displaystyle {\fnMicroc {\cH00_}-v_{1}\derecho a la muerte}{1}-u_{2}\derecho a la vida}=1}$$La ecuación anterior es la ecuación de restitución, y el coeficiente de restitución es 1, que es una colisión perfectamente elástica.

Equipamiento deportivo

Los conductores de palos de golf de cara delgada utilizan un "efecto trampolín" que crea impulsos de mayor distancia como resultado de la flexión y posterior liberación de energía almacenada que imparte mayor impulso a la pelota. La USGA (el organismo rector del golf de Estados Unidos) examina a los conductores en cuanto a COR y ha fijado el límite superior en 0,83. COR es una función de las velocidades de la cabeza del palo y disminuye a medida que aumenta la velocidad de la cabeza del palo. En el informe, el COR oscila entre 0,845 a 90 mph y tan solo 0,797 a 130 mph. El "efecto trampolín" mencionado anteriormente; muestra esto ya que reduce la tasa de tensión de la colisión al aumentar el tiempo de la colisión. Según un artículo (que aborda el COR en raquetas de tenis), “[p]or las condiciones de referencia, el coeficiente de restitución utilizado es 0,85 para todas las raquetas, eliminando las variables de tensión de la cuerda y rigidez del marco que podrían sumar o restar el coeficiente de restitución."

La Federación Internacional de Tenis de Mesa especifica que la pelota rebota entre 24 y 26 cm cuando se deja caer desde una altura de 30,5 cm sobre un bloque de acero estándar, por lo que tiene un COR de 0,887 a 0,923.

El COR de una pelota de baloncesto se designa exigiendo que la pelota rebote a una altura de entre 960 y 1160 mm cuando se deja caer desde una altura de 1800 mm, lo que da como resultado un COR de entre 0,73 y 0,80.

Ecuaciones

En el caso de una colisión unidimensional que involucra dos objetos, el objeto A y el objeto B, el coeficiente de restitución viene dado por:

$${\displaystyle e={\frac {\fn\f}-v_{\text{a}}\justo de la vida}{\left habitu_{\text{a}-u_{\text{b}\justo}}}$$ Donde:

• ${\displaystyle v_{\text{a}}$ es la velocidad final del objeto A después del impacto
• ${\displaystyle - ¿Qué?$ es la velocidad final del objeto B después del impacto
• ${\displaystyle u_{\text{a}}$ es la velocidad inicial del objeto A antes del impacto
• ${\displaystyle u_{\text{b}}$ es la velocidad inicial del objeto B antes del impacto

Aunque e no depende explícitamente de las masas de los objetos, es importante tener en cuenta que las velocidades finales dependen de la masa. Para colisiones bidimensionales y tridimensionales de cuerpos rígidos, las velocidades utilizadas son las componentes perpendiculares a la línea/plano tangente en el punto de contacto, es decir, a lo largo de la línea de impacto.

Para un objeto que rebota en un objetivo estacionario, e se define como la relación entre la velocidad del objeto después del impacto y la velocidad anterior al impacto:

$${\displaystyle e={\frac {u}}}$$ Donde

• ${\displaystyle v}$ es la velocidad del objeto después del impacto
• ${\displaystyle u}$ es la velocidad del objeto antes del impacto

En un caso en el que las fuerzas de fricción pueden despreciarse y el objeto se deja caer desde el reposo sobre una superficie horizontal, esto equivale a:

$${\fnMicroc} {h}{ - Sí.$$ Donde

• ${\displaystyle h}$ es la altura del rebote
• ${\displaystyle H.$ es la altura de gota

El coeficiente de restitución puede considerarse como una medida del grado en que se conserva la energía mecánica cuando un objeto rebota en una superficie. En el caso de un objeto que rebota en un objetivo estacionario, el cambio en la energía potencial gravitacional, E_p, durante el transcurso del impacto es esencialmente cero; por lo tanto, e es una comparación entre la energía cinética, E_k, del objeto inmediatamente antes del impacto con la inmediatamente después del impacto:

$${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicroc {\fnMicroc {} {2}mv^{2}}} {\f}{2} {\f} {\f} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}\f}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}} {\f}}}}}\f}}}}}}}}} {\f} {\f}\f} {\f} {\f}}}\f}}}}\f}}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnMicroc {\fnK} {\fnK}} {\fnMicroc}} {\f}}} {\f}}}} {\fn}}} {\fnK}}}}} {\fnK}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\fn\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}\f}\f}}}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\fn\fn\fn\fn\f}\fn\f}\f}\fn\fn\fnK\fn\fn\fn\fn\fn\f}\fn\fn\fn\f}\fn\fn\fnK\fn\fn\fn\fn\fnK\fn\fnK\f}}\fn {\fn}}$$

En un caso en que las fuerzas friccionales pueden ser descuidadas (cerca de cada laboratorio estudiantil sobre este tema), y el objeto se deja caer de reposo sobre una superficie horizontal, lo anterior equivale a una comparación entre el E_p del objeto en la altura de la gota con que en la altura del rebote. En este caso, el cambio en E_k es cero (el objeto está esencialmente en reposo durante el curso del impacto y también está en reposo en el ápice de la recompensa); por lo tanto: $${\displaystyle e={\sqrt {\frac {E_{\text{p, (at bounce height)}}{E_{\text{p, (a la altura de la gota)}}={\sqrt {\frac {mgH}={\sqrt {\fnK} {\fnMicroc} {\fnMicroc}} {\fnMicroc} {\cH}} {\f}}} {\fn}} {\fnMicroc}}}}} {\fnK}}}} {\fnK}} {\f}}} {\fnK\f}\f}}}}}}}} {\f}\f}}}}}}}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnH\f}\fnH}}\fnH\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\fnH\fnH\fnh}}\fnK\fn\fnH\fn\fnH\f}\fnH\fnH\fnK\fnh}}}}}\fnK\f}\fnh}}}}\fnH - Sí.$$

Velocidades después del impacto

Las ecuaciones para colisiones en 1 dimensión entre partículas elásticas se pueden modificar para usar el COR, volviéndose así aplicables también a colisiones inelásticas y a todas las posibilidades intermedias.

$${\displaystyle ¿Qué? {m_{\text{a}u_{\text{a}}\m_{b}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}-u_{\text{a})}{m_{\text{a}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$y $${\displaystyle ¿Qué? {m_{\text{a} {\text{a}} {\b}u_{b}\text{b}}+m_{\text{a}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b})}{m_{\text{a}} {\f}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$Donde

• ${\displaystyle v_{\text{a}}$ es la velocidad final del primer objeto después del impacto
• ${\displaystyle - ¿Qué?$ es la velocidad final del segundo objeto después del impacto
• ${\displaystyle u_{\text{a}}$ es la velocidad inicial del primer objeto antes del impacto
• ${\displaystyle u_{\text{b}}$ es la velocidad inicial del segundo objeto antes del impacto
• ${\displaystyle m_{\text{a}}$ es la masa del primer objeto
• ${\displaystyle m_{\text{b}}$ es la masa del segundo objeto

Derivación

Las ecuaciones anteriores pueden derivarse de la solución analítica al sistema de ecuaciones formadas por la definición de la COR y la ley de la conservación del impulso (que sostiene para todas las colisiones). Usando la notación desde arriba ${\displaystyle u}$ representa la velocidad antes de la colisión y ${\displaystyle v}$ después, rendimientos:

$${\displaystyle {\begin{aligned} {\text{a}u_{\text{a}}+m_{b}u_{\text{b}=m_{a} {\text{a}v_{\text{a}m_ {\text{b} {\b} {\b}} {\f}}}\\\\\f}}\\\\\\\\\\\f} {\f}}}}}\\\\\\\\\\\f}}}}\\\\\\\\\\\\\\\c}}\\\\\\\\\\\\f}\\\\\\f}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}\\\\\\\\\\\\f}\\\\\\\\\\c}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}}}} {\fnK}\f}\fnh}\fnh}\fnh}\\fnh}}\\fnh}}\\fnunci}}}\\\fnK}}\\fnK}\\fnK}}\\fnK}}\\f}}\\\fnK\fnK}}$$

Resolver la ecuación de conservación del impulso ${\displaystyle v_{\text{a}}$ y la definición del coeficiente de restitución ${\displaystyle - ¿Qué?$ rendimientos:

$${\displaystyle {\begin{aligned} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\f}\fnh}} {\f}}\fnh} {\f}}\fnh}\fn}}\f}\fn\f} {\fnh}\f}\f} {\b}}}}} {\f} {\f} {\f}\f}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\f}\f} {\f} {\f} {\f}}\f}}}}}}}}}}}}\f}\f}}\f} {\f} {\f}}\f}\f}}}\f}}\f}\f}\f}}}}}}}}}}}}}}\f}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Siguiente, sustitución en la primera ecuación para ${\displaystyle - ¿Qué?$ y luego resolviendo ${\displaystyle v_{\text{a}}$ da:

$${\displaystyle {\begin{aligned} {\f} {\f} {\f} {\f}} {\f}} {\f} {\f}} {\f} {\f}}\f}} {\f} {\f} {\f}}}\f}\f} {\f} {\f} {\f}}\f}}}}} {\f}\f} {\f}}}}} {\f} {\f}}} {\f}}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f} {\f}}\f}\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\fnh} {\fnh} {\fnh}\fnh} {\f}\fnh}}\m_ {\text{b}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}\f} {\f} {\f}}} {\f}\f} {\f}\f} {\f}\f}}}}}}\f}}}}}}}}\f}} {\f}\f} {\f}\f}}}}}}\f}}}}}}}\f}}\f}}}}}}}}}\f}\f}}}}}}\f} {\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}}}}\f} {\f}}\f}}}\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}\f}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}\ {m_{\text{b}} {m_{\text{a}}\right]\\\fnMicroc {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh}} {\fnh}} {\f}}\m_\text{b}} {\f} {\f} {\fn}\fn} {\f} {\f}} {\f}}\f}}\f}\fn}\f}\f}}}} {\f} {\f}\f}}}}}}}}}}}}}\f} {\f}\f}}}}}}}\f} {\f}}\f}}}}}}}}}}}}\f}}}}}}}}}}\f}\f} {\f} {\f}\f}}}}}\f}}}}}}}}}}}\f}\f}\f}\f} {\f} {\f}}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Una derivación similar produce la fórmula para ${\displaystyle - ¿Qué?$.

Variación del COR debido a la forma del objeto y colisiones descentradas

Cuando los objetos en colisión no tienen una dirección de movimiento alineada con sus centros de gravedad y punto de impacto, o si sus superficies de contacto en ese punto no son perpendiculares a esa línea, algo de energía que habría estado disponible porque la diferencia de velocidad posterior a la colisión se perderá debido a la rotación y la fricción. Las pérdidas de energía por vibración y el sonido resultante suelen ser insignificantes.

Choque de diferentes materiales y medición práctica

Cuando un objeto blando golpea un objeto más duro, la mayor parte de la energía disponible para la velocidad posterior a la colisión se almacenará en el objeto blando. El COR dependerá de qué tan eficiente sea el objeto blando para almacenar la energía en compresión sin perderla por calor y deformación plástica. Una pelota de goma rebota mejor en el concreto que una bola de vidrio, pero el COR del vidrio sobre vidrio es mucho mayor que el del caucho sobre caucho porque parte de la energía del caucho se pierde en calor cuando se comprime. Cuando una pelota de goma choca con una bola de vidrio, el COR dependerá enteramente de la goma. Por esta razón, la mejor manera de determinar el COR de un material cuando no hay material idéntico para la colisión es utilizar un material mucho más duro.

Dado que no existe un material perfectamente rígido, los materiales duros como los metales y la cerámica tienen su COR teóricamente determinado considerando la colisión entre esferas idénticas. En la práctica, se puede emplear una cuna de Newton de dos bolas, pero dicha configuración no permite analizar muestras rápidamente.

La prueba de dureza rebote de Leeb es la única prueba comúnmente disponible relacionada con la determinación del COR. Utiliza una punta de carburo de tungsteno, una de las sustancias más duras disponibles, cayó en muestras de prueba de una altura específica. Pero la forma de la punta, la velocidad del impacto, y el carburo de tungsteno son todas las variables que afectan el resultado que se expresa en términos de 1000*COR. No da un COR objetivo para el material que es independiente de la prueba.

En Willert (2020) se puede encontrar un estudio exhaustivo de los coeficientes de restitución en función de las propiedades del material (módulos elásticos, reología), la dirección del impacto, el coeficiente de fricción y las propiedades adhesivas de los cuerpos impactantes.

Predecir a partir de las propiedades de los materiales

El COR no es una propiedad del material porque cambia con la forma del material y los detalles de la colisión, pero se puede predecir a partir de las propiedades del material y la velocidad del impacto cuando se simplifican los detalles de la colisión. Para evitar las complicaciones de las pérdidas por rotación y fricción, podemos considerar el caso ideal de un par idéntico de objetos esféricos que colisionan de modo que sus centros de masa y velocidad relativa estén todos alineados.

Muchos materiales como metales y cerámica (pero no cauchos y plásticos) se supone que son perfectamente elásticos cuando su fuerza de rendimiento no se acerca durante el impacto. La energía de impacto se almacena teóricamente sólo en el efecto primaveral de la compresión elástica y resulta en e = 1. Pero esto se aplica sólo a velocidades inferiores a 0,1 m/s a 1 m/s. El rango elástico se puede superar a velocidades superiores porque toda la energía cinética se concentra en el punto de impacto. Específicamente, la fuerza de rendimiento suele excederse en parte del área de contacto, perdiendo energía a la deformación plástica por no permanecer en la región elástica. Para explicar esto, las siguientes estimaciones de la COR calculando el porcentaje de la energía de impacto inicial que no se perdió a la deformación plástica. Aproximadamente, divide lo fácil que un volumen del material puede almacenar energía en compresión (${\displaystyle 1/{\text{elastic modulus}}$) por lo bien que puede permanecer en el rango elástico (${\displaystyle 1/{\text{yield strength}}$):

$${\displaystyle \%{\text{imact energy available for restitution}\propto {\frac {\text{yield fuerza.$$

Para una densidad de material dada y velocidad esto resulta en: $${\displaystyle {\text{coefficient of restitution}\propto {\sqrt {\frac {\text{yield fuerza.$$

Un alto límite elástico permite que más "volumen de contacto" del material para permanecer en la región elástica a energías más altas. Un módulo elástico más bajo permite que se desarrolle un área de contacto más grande durante el impacto, de modo que la energía se distribuya a un volumen mayor debajo de la superficie en el punto de contacto. Esto ayuda a evitar que se exceda el límite elástico.

Un desarrollo teórico más preciso muestra que la velocidad y densidad del material también son importantes al predecir la COR a velocidades moderadas más rápido que la colisión elástica (más de 0,1 m/s para metales) y más lenta que la deformación plástica permanente de gran tamaño (menos de 100 m/s). Una velocidad inferior aumenta el coeficiente al necesitar menos energía para ser absorbida. Una densidad inferior también significa que hay que absorber menos energía inicial. La densidad en lugar de masa se utiliza porque el volumen de la esfera cancela con el volumen del volumen afectado en el área de contacto. De esta manera, el radio de la esfera no afecta al coeficiente. Un par de esferas de colisión de diferentes tamaños pero del mismo material tienen el mismo coeficiente que debajo, pero multiplicado por ${\textstyle \left({\frac {\fnK} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Combinando estas cuatro variables, se puede realizar una estimación teórica del coeficiente de restitución cuando se deja caer una pelota sobre una superficie del mismo material.

• e = coeficiente de restitución
• S_Sí. = fuerza de rendimiento dinámico (dinamic "límite elástico")
• E′ = módulo elástico eficaz
• *** = densidad
• v = velocidad del impacto
• μ = ratio de Poisson

$${\displaystyle e=3.1\left({\frac {S_{\text{y}}{1}}\right)}{5/8}\left({\frac}{\frac}}}}}}}}\derecho)} {\5/8}\left({\frac {1}{1}\right)}\left({\frac {1}{1}\right)}{1/4}\left({\frac {1}{\rho }}\right)}{1/8}}}}}}}} {0}}}}}} {0}}}}}}}{1}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{1}}}}}{1}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$$${\displaystyle E'={\frac {E}{1-\mu }}}$$

Esta ecuación sobreestima la COR real. Para metales, se aplica cuando v es aproximadamente entre 0,1 m/s y 100 m/s y en general cuando: $${\displaystyle 0.001}{\frac {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMi {\fnK}} {\f}}}] {\fnK}}}} {\f}}}}}}} {\fn}}}}}}}} {\fn}}}}}}} {\fn}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}} {\c}}}}}} {\c}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

A velocidades más lentas el COR es más alto que la ecuación anterior predice, llegando teóricamente a e=1 cuando la fracción anterior es menor que la anterior ${\displaystyle 10^{-6}$ m/s. Da el siguiente coeficiente teórico de restitución para esferas sólidas caídas 1 metro (v = 4.5 m/s). Los valores superiores a 1 indican que la ecuación tiene errores. Se utilizó fuerza de rendimiento en lugar de fuerza de rendimiento dinámico.

Los COR para plásticos y cauchos son mayores que sus valores reales porque no se comportan tan idealmente elásticos como los metales, vidrios y cerámicas debido al calentamiento durante la compresión. Por tanto, lo siguiente es sólo una guía para la clasificación de polímeros.

Polímeros (sobreestimados en comparación con metales y cerámicas):

Para los metales, el rango de velocidades al que se puede aplicar esta teoría es de aproximadamente 0,1 a 5 m/s, lo que supone una caída de 0,5 mm a 1,25 metros (página 366).