Coeficiente

En matemáticas, un coeficiente es un factor multiplicativo en algún término de un polinomio, una serie o una expresión; normalmente es un número, pero puede ser cualquier expresión (incluidas variables como a, b y c). Cuando los coeficientes son en sí mismos variables, también pueden llamarse parámetros.

Por ejemplo, el polinomio 2x2− − x+3{displaystyle 2x^{2}-x+3} tiene coeficientes 2, -1, y 3, y los poderes de la variable x{displaystyle x} en el polinomio ax2+bx+c{displaystyle ax^{2}+bx+c} con parámetros de coeficiente a{displaystyle a}, b{displaystyle b}, y c{displaystyle c}.

El coeficiente constante (o término constante) es el coeficiente que no se adjunta a las variables en una expresión. Por ejemplo, los coeficientes constantes de las expresiones anteriores son el número 3 y el parámetro c, respectivamente. El coeficiente asociado al grado más alto de la variable en un polinomio se denomina coeficiente principal. Por ejemplo, en las expresiones anteriores, los coeficientes principales son 2 y a, respectivamente.

En el contexto de las ecuaciones diferenciales, una ecuación a menudo se puede escribir como equivalente a cero un polinomio en las funciones desconocidas y sus derivadas. En este caso, los coeficientes de la ecuación diferencial son los coeficientes de este polinomio y generalmente son funciones no constantes. Un coeficiente es un coeficiente constante cuando es una función constante. Para evitar confusiones, el coeficiente que no está asociado a funciones desconocidas y su derivada generalmente se denomina término constante en lugar de coeficiente constante. En particular, en una ecuación diferencial lineal con coeficiente constante, generalmente se supone que el término constante no es una función constante.

Terminología y definición

En matemáticas, un coeficiente es un factor multiplicativo en algún término de un polinomio, una serie o cualquier expresión. Por ejemplo, en el polinomio

7x2− − 3xSí.+1,5+Sí.,{displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}

x{displaystyle x}

Sí.{displaystyle y}

En muchos escenarios, los coeficientes son números (como es el caso de cada término del ejemplo anterior), aunque podrían ser parámetros del problema, o cualquier expresión de estos parámetros. En tal caso, se debe distinguir claramente entre símbolos que representan variables y símbolos que representan parámetros. Siguiendo a René Descartes, las variables a menudo se denotan por x, y,..., y los parámetros por a, b, c,..., pero esto es no siempre es el caso. Por ejemplo, si y se considera un parámetro en la expresión anterior, entonces el coeficiente de x sería −3y, y el coeficiente constante (con respecto a x) sería 1,5 + y.

Cuando uno escribe

ax2+bx+c,{displaystyle ax^{2}+bx+c,}

Cualquier polinomio en una sola variable x Se puede escribir como

akxk+⋯ ⋯ +a1x1+a0{displaystyle a_{k}x^{k}+dotsb #

k{displaystyle k}

ak,...... ,a1,a0{displaystyle a_{k},dotsca_{1}a_{0}

x3− − 2x+1{displaystyle x^{3}-2x+1}

x2{displaystyle x^{2}

0x2{displaystyle 0x^{2}

i{displaystyle i}

aiل ل 0{displaystyle a_{i}neq 0}

ai{displaystyle A_{i}

4x5+x3+2x2{displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}

Álgebra lineal

En álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales suele representarse mediante su matriz de coeficientes. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

{}2x+3Sí.=05x− − 4Sí.=0,{displaystyle {begin{cases}2x+3y=05x-4y=0end{cases}}}

()235− − 4).{displaystyle {begin{pmatrix}2 ventaja35 con 3end{pmatrix}}

La entrada principal (a veces coeficiente principal) de una fila en una matriz es la primera entrada distinta de cero en esa fila. Así, por ejemplo, en la matriz

()1206029400040000),{displaystyle {begin{pmatrix}1 tendría2 segundos0 correspond6 rest2 rest9 tendría4\0 rest0 tarde0 tarde0 3,003,003}}

Aunque los coeficientes se ven frecuentemente como constantes en el álgebra elemental, también se pueden ver como variables a medida que el contexto se expande. Por ejemplo, las coordenadas ()x1,x2,...... ,xn){displaystyle (x_{1},x_{2},dotscx_{n}} de un vector v{displaystyle v} en un espacio vectorial con base {}e1,e2,...... ,en}{displaystyle lbrace e_{1},e_{2},dotsce_{n}rbrace } son los coeficientes de los vectores de base en la expresión

v=x1e1+x2e2+⋯ ⋯ +xnen.{displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+dotsb - Sí.