Codimensión

En matemáticas, la codimensión es una idea geométrica básica que se aplica a subespacios en espacios vectoriales, a subvariedades en variedades y a subconjuntos adecuados de variedades algebraicas.

Para variedades algebraicas afines y proyectivas, la codimensión es igual a la altura del ideal definitorio. Por esta razón, a la altura de un ideal se le suele llamar codimensión.

El concepto dual es dimensión relativa.

Definición

La codimensión es un concepto relativo: sólo se define para un objeto dentro de otro. No existe una “codimensión de un espacio vectorial (aislada)”, sólo la codimensión de un subespacio vectorial.

Si W es un subespacio lineal de un espacio vectorial de dimensión finita V, entonces la codimensión de W > en V está la diferencia entre las dimensiones:

${displaystyle operatorname {codim} (W)=dim(V)-dim(W). }$

Es el complemento de la dimensión de W, en que, con la dimensión de W, suma la dimensión del espacio ambiente V:

${displaystyle dim(W)+operatorname {codim} (W)=dim(V). }$

De manera similar, si N es una subvariedad o subvariedad en M, entonces la codimensión de N en M es

${displaystyle operatorname {codim} (N)=dim(M)-dim(N). }$

Así como la dimensión de una subvariedad es la dimensión del paquete tangente (el número de dimensiones que puedes mover en la subvariedad), la codimensión es la dimensión del paquete normal (el número de dimensiones que puede fuera de la subcolectora).

De manera más general, si W es un subespacio lineal de un espacio vectorial (posiblemente de dimensión infinita) V, entonces la codimensión de W en < i>V es la dimensión (posiblemente infinita) del espacio cociente V/W, que se conoce de manera más abstracta como el núcleo de la inclusión. Para espacios vectoriales de dimensión finita, esto concuerda con la definición anterior

${displaystyle operatorname {codim} (W)=dim(V/W)=dim operatorname {coker} (Wto V)=dim(V)-dim(W),}$

y es dual a la dimensión relativa como dimensión del núcleo.

Los subespacios codimensionales finitos de espacios de dimensiones infinitas suelen ser útiles en el estudio de espacios vectoriales topológicos.

Aditividad de codimensión y recuento de dimensiones

La propiedad fundamental de la codimensión radica en su relación con la intersección: si W₁ tiene codimensión k₁, y W₂ tiene codimensión k₂, entonces si U es su intersección con codimensión j tenemos

maxk₁, k₂≤ j ≤ k₁ + k₂.

De hecho, j puede tomar cualquier valor entero en este rango. Esta afirmación es más clara que la traducción en términos de dimensiones, porque el RHS es solo la suma de las codimensiones. En palabras

codimensiones (en la mayoría) añadir.

Si los subespacios o submanifolds intersectan transversalmente (que ocurre genéricamente), las codimensiones añaden exactamente.

Esta afirmación se llama recuento de dimensiones, particularmente en la teoría de la intersección.

Doble interpretación

En términos del espacio dual, es bastante evidente por qué las dimensiones se suman. Los subespacios se pueden definir por la desaparición de un cierto número de funcionales lineales, que si los tomamos como linealmente independientes, su número es la codimensión. Por lo tanto, vemos que U se define tomando la unión de los conjuntos de funcionales lineales que definen el W_i. Esa unión puede introducir algún grado de dependencia lineal: los posibles valores de j expresan esa dependencia, siendo la suma RHS el caso en el que no hay dependencia. Esta definición de codimensión en términos del número de funciones necesarias para recortar un subespacio se extiende a situaciones en las que tanto el espacio ambiental como el subespacio son de dimensión infinita.

En otro lenguaje, que es básico para cualquier tipo de teoría de intersección, estamos tomando la unión de un cierto número de restricciones. Tenemos dos fenómenos a tener en cuenta:

1. los dos grupos de limitaciones pueden no ser independientes;
2. los dos conjuntos de limitaciones pueden no ser compatibles.

El primero de ellos se expresa a menudo como el principio de contar restricciones: si tenemos un número N de parámetros para ajustar (es decir, tenemos N grados de libertad), y una restricción significa que tenemos que 'consumir' un parámetro para satisfacerlo, entonces la codimensión del conjunto de soluciones es como máximo el número de restricciones. No esperamos poder encontrar una solución si la codimensión predicha, es decir, el número de restricciones independientes, excede N (en el caso del álgebra lineal, siempre hay una trivial, solución vectorial nula, que por tanto se descuenta).

La segunda es una cuestión de geometría, según el modelo de líneas paralelas; es algo que se puede discutir para problemas lineales mediante métodos de álgebra lineal y para problemas no lineales en espacio proyectivo, sobre el campo de números complejos.

En topología geométrica

La codimensión también tiene un significado claro en topología geométrica: en una variedad, la codimensión 1 es la dimensión de la desconexión topológica por una subvariedad, mientras que la codimensión 2 es la dimensión de la ramificación y la teoría de nudos. De hecho, se puede decir alternativamente que la teoría de las variedades de alta dimensión, que comienza en la dimensión 5 y superiores, comienza en la codimensión 3, porque las codimensiones superiores evitan el fenómeno de los nudos. Dado que la teoría de la cirugía requiere trabajar hasta la dimensión media, una vez que uno está en la dimensión 5, la dimensión media tiene una codimensión mayor que 2 y, por lo tanto, se evitan los nudos.

Esta ocurrencia no es vacía: el estudio de incrustaciones en codimensión 2 es teoría de nudos y difícil, mientras que el estudio de incrustaciones en codimensión 3 o más se puede utilizar con las herramientas de la topología geométrica de alta dimensión y, por lo tanto, es considerablemente más fácil.