Código cíclico

En teoría de codificación, un código cíclico es un código de bloques, donde los desplazamientos circulares de cada palabra del código dan otra palabra que pertenece al código. Son códigos de corrección de errores que tienen propiedades algebraicas que resultan convenientes para la detección y corrección eficiente de errores.

Vamos. ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ ser un código lineal sobre un campo finito (también llamado Campo Galois) ${\displaystyle GF(q)}$ longitud de bloque ${\displaystyle n}$. ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ se llama Código cíclico si, por cada palabra clave ${\displaystyle c=(c_{1},\ldotsc_{n}}$ desde ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, la palabra ${\displaystyle (c_{n},c_{1},\ldotsc_{n-1}}$ dentro ${\displaystyle GF(q)^{n}$ obtenido por un cambio cíclico derecho de los componentes es otra vez una palabra clave. Porque un cambio cíclico derecho es igual a ${\displaystyle n-1}$ Cambios cíclicos izquierdos, un código cíclico también se puede definir a través de turnos cíclicos izquierdos. Por lo tanto, el código lineal ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es cíclico precisamente cuando es invariante bajo todos los cambios cíclicos.

Los códigos cíclicos tienen algunas restricciones estructurales adicionales. Se basan en campos de Galois y, debido a sus propiedades estructurales, son muy útiles para el control de errores. Su estructura está estrechamente relacionada con los campos de Galois, por lo que los algoritmos de codificación y decodificación de códigos cíclicos son computacionalmente eficientes.

Los códigos cíclicos pueden estar vinculados a ideales en ciertos anillos. Vamos. ${\displaystyle R=A[x]/(x^{n}-1)}$ ser un anillo polinomio sobre el campo finito ${\displaystyle A=GF(q)}$. Identificar los elementos del código cíclico ${\displaystyle C}$ con polinomios en ${\displaystyle R.$ tales que ${\displaystyle (c_{0},\ldotsc_{n-1}}$ mapas al polinomio ${\displaystyle c_{0}+c_{1}x+\cdots - ¿Qué?$: por tanto multiplicación ${\displaystyle x}$ corresponde a un cambio cíclico. Entonces... ${\displaystyle C}$ es un ideal en ${\displaystyle R.$, y por lo tanto principal, desde ${\displaystyle R.$ es un anillo ideal principal. El ideal es generado por el elemento monico único en ${\displaystyle C}$ de grado mínimo, generador polinomio ${\displaystyle g}$. Esto debe ser un divisor de ${\displaystyle x^{n}-1}$. Sigue que cada código cíclico es un código polinomio. Si el generador polinomio ${\displaystyle g}$ grado ${\displaystyle d}$ entonces el rango del código ${\displaystyle C}$ es ${\displaystyle No.$.

El idempotente de ${\displaystyle C}$ es una palabra clave ${\displaystyle e}$ tales que ${\displaystyle e^{2}=e}$ (es decir, ${\displaystyle e}$ es un elemento idempotente ${\displaystyle C}$) y ${\displaystyle e}$ es una identidad para el código, es decir ${\displaystyle e\cdot c=c}$ para cada palabra clave ${\displaystyle c}$. Si ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle q}$ son coprime tal palabra siempre existe y es única; es un generador del código.

An código irreducible es un código cíclico en el que el código, como ideal es irreducible, es decir, es mínimo en ${\displaystyle R.$, por lo que su control polinomio es un polinomio irreducible.

Por ejemplo, si ${\displaystyle A=\mathbb {\cH00}$ y ${\displaystyle n=3}$, el conjunto de palabras clave contenidas en código cíclico generado por ${\displaystyle (1,0)}$ Precisamente

${\displaystyle ((0,0,0),(1,0),(0,1,1),(1,0,1)}$.

Corresponde al ideal en ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{3}-1)}$ generados por ${\displaystyle (1+x)}$.

El polinomio ${\displaystyle (1+x)}$ es irreducible en el anillo polinomio, y por lo tanto el código es un código irreducible.

El idempotente de este código es el polinomio ${\displaystyle x+x^{2}$, correspondiente a la palabra clave ${\displaystyle (0,1,1)}$.

Ejemplos triviales de códigos cíclicos son ${\displaystyle A^{n}$ en sí mismo y el código que contiene sólo la palabra clave cero. Estos corresponden a generadores ${\displaystyle 1}$ y ${\displaystyle x^{n}-1}$ respectivamente: estos dos polinomios deben ser siempre factores de ${\displaystyle x^{n}-1}$.

Cambio ${\displaystyle GF(2)}$ el código de bit de paridad, que consiste en todas las palabras de peso, corresponde al generador ${\displaystyle x+1}$. Otra vez ${\displaystyle GF(2)}$ esto debe ser siempre un factor ${\displaystyle x^{n}-1}$.

Antes de profundizar en los detalles de los códigos cíclicos, analizaremos primero los códigos cuasicíclicos y abreviados, que están estrechamente relacionados con los códigos cíclicos y que pueden convertirse entre sí.

Códigos cuasi-cíclicos:

An ${\displaystyle (n,k)}$ código cuasi-cíclico es un código de bloque lineal tal que, para algunos ${\displaystyle b}$ que es coprime ${\displaystyle n}$, el polinomio ${\displaystyle x^{b}c(x){\pmod {x^{n}-1}}$ es un codeword polinomial siempre ${\displaystyle c(x)}$ es un polinomio de la palabra clave.

Aquí, codeword polinomial es un elemento de un código lineal cuyas palabras clave son polinomios divisibles por un polinomio de longitud más corta llamado el generador polinomio. Cada polinomio de la palabra clave se puede expresar en la forma ${\displaystyle c(x)=a(x)g(x)}$, donde ${\displaystyle g(x)}$ es el polinomio generador. Cualquier palabra clave ${\displaystyle (c_{0},c_{n-1}}$ de un código cíclico ${\displaystyle C}$ se puede asociar con un polinomio de la palabra clave, es decir, ${\displaystyle \sum _{i=0} {n-1}c_{i}*x^{i}$. Un código cuasi-cíclico con ${\displaystyle b}$ iguales ${\displaystyle 1}$ es un código cíclico.

Códigos abreviados:

An ${\displaystyle (n,k)}$ código lineal se llama adecuado código cíclico acortado si se puede obtener eliminando ${\displaystyle b}$ posiciones de un ${\displaystyle (n+b,k+b)}$ Código cíclico.

En códigos acortados se eliminan símbolos de información para obtener un bloqueo deseado más pequeño que el bloque de diseño. Los símbolos de información que faltan generalmente se imaginan estar al principio de la palabra clave y se consideran 0. Por lo tanto, ${\displaystyle n}$−${\displaystyle k}$ es fijo, y luego ${\displaystyle k}$ es menor que eventualmente disminuye ${\displaystyle n}$. No es necesario eliminar los símbolos iniciales. Dependiendo de la aplicación a veces posiciones consecutivas se consideran 0 y se eliminan.

Todos los símbolos que se eliminan no necesitan ser transmitidos y en el extremo receptor se pueden reinsertar. Para convertir ${\displaystyle (n,k)}$ Código cíclico a ${\displaystyle (n-b,k-b)}$ código acortado, conjunto ${\displaystyle b}$ símbolos a cero y soltarlos de cada palabra clave. Cualquier código cíclico se puede convertir en códigos cuasi-cíclicos bajando cada uno ${\displaystyle b}$símbolo donde ${\displaystyle b}$ es un factor ${\displaystyle n}$. Si los símbolos caídos no son símbolos de verificación, este código cíclico es también un código acortado.

Los códigos cíclicos se pueden utilizar para corregir errores, como los códigos Hamming, ya que los códigos cíclicos se pueden utilizar para corregir errores simples. Asimismo, también se utilizan para corregir errores dobles y errores de ráfaga. Todos los tipos de corrección de errores se tratan brevemente en las siguientes subsecciones.

El código Hamming (7,4) tiene un polinomio generador ${\displaystyle g(x)=x^{3}+x+1}$. Este polinomio tiene cero en el campo de extensión Galois ${\displaystyle GF(8)}$ en el elemento primitivo ${\displaystyle \alpha }$, y todas las palabras clave satisfacer ${\displaystyle {\mathcal {}(\alpha)=0}$. Los códigos cíclicos también se pueden utilizar para corregir errores dobles sobre el campo ${\displaystyle GF(2)}$. El bloqueo será ${\displaystyle n}$ iguales ${\displaystyle 2^{m}-1}$ y elementos primitivos ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \alpha ^{3}$ como ceros en el ${\displaystyle GF(2^{m}}$ porque estamos considerando el caso de dos errores aquí, así que cada uno representará un error.

La palabra recibida es un polinomio de grado ${\displaystyle n-1}$ dados ${\displaystyle v(x)=a(x)g(x)+e(x)}$

Donde ${\displaystyle e(x)}$ puede tener en la mayoría de dos coeficientes no cero correspondientes a 2 errores.

Definimos el síndrome polinomio, ${\displaystyle S(x)}$ como el resto del polinomio ${\displaystyle v(x)}$ cuando se divide por el polinomio generador ${\displaystyle g(x)}$ i.e.

${\displaystyle S(x)\equiv v(x)\equiv (a(x)g(x)+e(x))\equiv e(x)\mod g(x)}$ como ${\displaystyle (a(x)g(x))\equiv 0\mod g(x)}$.

Deje que los elementos de campo ${\displaystyle X_{1}$ y ${\displaystyle X_{2}$ sean los dos números de ubicación de errores. Si sólo se produce un error entonces ${\displaystyle X_{2}$ es igual a cero y si ninguno ocurre ambos son cero.

Vamos. ${\displaystyle S_{1}={v}(\alpha)}$ y ${\displaystyle S_{3}={v}(\alpha ^{3}}$.

Estos elementos de campo se llaman "syndromes". Ahora ${\displaystyle g(x)}$ es cero en elementos primitivos ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \alpha ^{3}$Así podemos escribir ${\displaystyle S_{1}=e(\alpha)}$ y ${\displaystyle S_{3}=e(\alpha ^{3}}$. Si dicen que ocurren dos errores, entonces

${\displaystyle S_{1}=\alpha .$ y ${\displaystyle S_{3}=\alpha ^{3i}+\alpha ^{3i}$.

Y estos dos pueden considerarse como dos pares de ecuaciones en ${\displaystyle GF(2^{m}}$ con dos desconocidos y por lo tanto podemos escribir

${\displaystyle S_{1}=X_{1}+X_{2}$ y ${\displaystyle S_{3}=(X_{1})^{3}+(X_{2} {3}}$.

Por lo tanto, si los dos pares de ecuaciones no lineales se pueden resolver, se pueden utilizar códigos cíclicos para corregir los dos errores.

El código Hamming(7,4) puede ser escrito como un código cíclico sobre GF(2) con generador ${\displaystyle 1+x+x^{3}$. De hecho, cualquier código binario Hamming del formulario Ham(r, 2) es equivalente a un código cíclico, y cualquier código Hamming del formulario Ham(r,q) con r y q-1 relativamente primo es también equivalente a un código cíclico. Dado un código Hamming del formulario Ham(r,2) con ${\displaystyle r\geq 3}$, el conjunto de incluso codewords forma un ciclo ${\displaystyle [2^{r}-1,2^{r}-r-2,4]}$- código.

Un código cuya distancia mínima es de al menos 3, tiene una matriz de verificación todas cuyas columnas son distintas y no cero. Si una matriz de verificación para un código binario tiene ${\displaystyle m}$ filas, entonces cada columna es una ${\displaystyle m}$- número binario. Hay ${\displaystyle 2^{m}-1}$ columnas posibles. Por lo tanto, si una matriz de verificación de un código binario con ${\displaystyle D_{min}$ al menos 3 ${\displaystyle m}$ filas, entonces sólo puede tener ${\displaystyle 2^{m}-1}$ columnas, no más que eso. Esto define un ${\displaystyle (2^{m}-1,2^{m}-1-m)}$ código, llamado código Hamming.

Es fácil definir códigos Hamming para grandes alfabetos de tamaño ${\displaystyle q}$. Necesitamos definir uno ${\displaystyle H.$ matriz con columnas linealmente independientes. Para cualquier palabra de tamaño ${\displaystyle q}$ habrá columnas que son múltiples entre sí. Así que, para conseguir la independencia lineal todo no cero ${\displaystyle m}$-tuples con uno como elemento superior más no cero serán elegidos como columnas. Entonces dos columnas nunca dependerán linealmente porque tres columnas podrían depender linealmente con la distancia mínima del código como 3.

Así que, hay ${\displaystyle (q^{m}-1)/(q-1)}$ columnas no cero con uno como el elemento más alto no cero. Por lo tanto, un código de Hamming es un ${\displaystyle [(q^{m}-1)/(q-1),(q^{m}-1)/(q-1)-m]}$ código.

Ahora, para los códigos cíclicos, ${\displaystyle \alpha }$ ser elemento primitivo en ${\displaystyle GF(q^{m}}$, y dejar ${\displaystyle \beta =\alpha ^{q-1}$. Entonces... ${\displaystyle \beta ^{(q^{m}-1)/(q-1)}=1}$ y así ${\displaystyle \beta }$ es un cero del polinomio ${\displaystyle x^{(q^{m}-1)/(q-1)}-1}$ y es un polinomio generador para el código cíclico de la longitud del bloque ${\displaystyle n=(q^{m}-1)/(q-1)}$.

Pero... ${\displaystyle q=2}$, ${\displaystyle \alpha =\beta }$. Y la palabra recibida es un polinomio de grado ${\displaystyle n-1}$ dados

${\displaystyle v(x)=a(x)g(x)+e(x)}$

¿Dónde? ${\displaystyle e(x)=0}$ o ${\displaystyle x^{i}$ Donde ${\displaystyle i}$ representa las ubicaciones de errores.

Pero también podemos usar ${\displaystyle \alpha ^{i}$ como elemento de ${\displaystyle GF(2^{m}}$ a la ubicación de error índice. Porque... ${\displaystyle g(\alpha)=0}$, tenemos ${\displaystyle v(\alpha)=\alpha ^{i}$ y todos los poderes ${\displaystyle \alpha }$ desde ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle 2}{m}-2}$ son distintos. Por lo tanto, podemos determinar fácilmente la ubicación del error ${\displaystyle i}$ desde ${\displaystyle \alpha ^{i}$ a) ${\displaystyle v(\alpha)=0}$ que no representa ningún error. Entonces, un código de Hamming es un código de corrección de errores en ${\displaystyle GF(2)}$ con ${\displaystyle n=2^{m}-1}$ y ${\displaystyle k=n-m$.

Desde el concepto Hamming distancia, un código con distancia mínima ${\displaystyle 2t+1}$ puede corregir cualquier ${\displaystyle t}$ errores. Pero en muchos canales el patrón de error no es muy arbitrario, se produce dentro de un segmento muy corto del mensaje. Tal tipo de errores se llaman errores de explosión. Por lo tanto, para corregir tales errores obtendremos un código más eficiente de tasa más alta debido a las menos limitaciones. Los códigos cíclicos se utilizan para corregir el error de explosión. De hecho, los códigos cíclicos también pueden corregir errores de ciclismo junto con errores de ráfaga. Los errores de la explosión cíclica se definen como

Una explosión cíclica de longitud ${\displaystyle t}$ es un vector cuyos componentes no cero están entre ${\displaystyle t}$ (cíclica) componentes consecutivos, el primero y el último de los cuales no son cero.

En forma polinomio ciclismo estallido de longitud ${\displaystyle t}$ puede describirse como ${\displaystyle e(x)=x^{i}b(x)\mod (x^{n}-1)}$ con ${\displaystyle b(x)}$ como polinomio de grado ${\displaystyle t-1}$ con coeficiente no cero ${\displaystyle B_{0}$. Aquí. ${\displaystyle b(x)}$ define el patrón y ${\displaystyle x^{i}$ define el punto de partida del error. La longitud del patrón se da por ejemplo${\displaystyle b(x)+1}$. El síndrome polinomio es único para cada patrón y es dado por

${\displaystyle s(x)=e(x)\mod g(x)}$

Un código de bloqueo lineal que corrige todos los errores de la longitud de la explosión ${\displaystyle t}$ o menos debe tener al menos ${\displaystyle 2t}$ comprobar símbolos. Prueba: Porque cualquier código lineal que pueda corregir el patrón de la longitud de la explosión ${\displaystyle t}$ o menos no puede tener una explosión de longitud ${\displaystyle 2t}$ o menos como una palabra clave porque si lo hizo entonces una explosión de longitud ${\displaystyle t}$ podría cambiar la palabra clave para romper el patrón de longitud ${\displaystyle t}$, que también podría obtenerse haciendo un error de explosión de longitud ${\displaystyle t}$ en la palabra clave cero. Ahora, los dos vectores que no son cero en el primero ${\displaystyle 2t}$ componentes deben ser de diferentes conjuntos de una matriz para evitar su diferencia siendo una palabra clave de ráfagas de longitud ${\displaystyle 2t}$. Por lo tanto, el número de esos conjuntos es igual al número de esos vectores que son ${\displaystyle q^{2t}$. Por lo menos ${\displaystyle q^{2t}$ co-sets and hence at least ${\displaystyle 2t}$ Verifique el símbolo.

Esta propiedad también se conoce como límite de Rieger y es similar al límite de Singleton para la corrección de errores aleatorios.

En 1959, Philip El fuego presentó una construcción de códigos cíclicos generados por un producto de un binomio y un polinomio primitivo. El binomio tiene la forma ${\displaystyle x^{c}+1}$ para un entero positivo ${\displaystyle c}$. Código de fuego es un código de error de explosión cíclica sobre ${\displaystyle GF(q)}$ con el polinomio generador

${\displaystyle g(x)=(x^{2t-1}-1)p(x)}$

Donde ${\displaystyle p(x)}$ es un polinomio primario con grado ${\displaystyle m}$ no menor que ${\displaystyle t}$ y ${\displaystyle p(x)}$ no divide ${\displaystyle x^{2t-1}-1}$. Longitud del bloque del código de fuego es el entero más pequeño ${\displaystyle n}$ tales que ${\displaystyle g(x)}$ divideciones ${\displaystyle x^{n}-1}$.

Un código de fuego puede corregir todos los errores de la longitud t o menos si no hay dos estallidos ${\displaystyle b(x)}$ y ${\displaystyle x^{j}b'(x)}$ aparecen en el mismo conjunto. Esto puede probarse por contradicción. Supongamos que hay dos ráfagas distintas sin cero ${\displaystyle b(x)}$ y ${\displaystyle x^{j}b'(x)}$ de longitud ${\displaystyle t}$ o menos y están en el mismo conjunto del código. Entonces, su diferencia es una palabra clave. Como la diferencia es múltiples ${\displaystyle g(x)}$ es también un múltiple de ${\displaystyle x^{2t-1}-1}$. Por lo tanto,

${\displaystyle b(x)=x^{j}b'(x)\mod (x^{2t-1}-1)}$.

Esto demuestra que ${\displaystyle j}$ es un múltiple de ${\displaystyle 2t-1}$Entonces

${\displaystyle b(x)=x^{l(2t-1)}b'(x)}$

para algunos ${\displaystyle l}$. Ahora, como ${\displaystyle l(2t-1)}$ es menos que ${\displaystyle t}$ y ${\displaystyle l}$ es menos que ${\displaystyle q^{m}-1}$ Así que... ${\displaystyle (x^{l(2t-1)}-1)b(x)}$ es una palabra clave. Por lo tanto,

${\displaystyle (x^{l(2t-1)}-1)b(x)=a(x)(x^{2t-1}-1)p(x)}$.

Desde ${\displaystyle b(x)}$ grado es inferior al grado ${\displaystyle p(x)}$,${\displaystyle p(x)}$ no pueden dividir ${\displaystyle b(x)}$. Si ${\displaystyle l}$ no es cero, entonces ${\displaystyle p(x)}$ Tampoco puede dividirse ${\displaystyle x^{l(2t-1)}-1}$ como ${\displaystyle l}$ es menos que ${\displaystyle q^{m}-1}$ y por definición ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle p(x)}$ divideciones ${\displaystyle x^{l(2t-1)}-1}$ por no ${\displaystyle l}$ más pequeño que ${\displaystyle q^{m}-1}$. Por lo tanto ${\displaystyle l}$ y ${\displaystyle j}$ equivale a cero. Eso significa que ambas ráfagas son iguales, contrariamente a la suposición.

Los códigos de fuego son los mejores códigos de corrección de una sola explosión con alta velocidad y se construyen analíticamente. Son de muy alta velocidad y cuando ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle t}$ son iguales, la redundancia es menor y es igual ${\displaystyle 3t-1}$. Mediante el uso de múltiples códigos de fuego más largos errores también se pueden corregir.

Para la detección de errores los códigos cíclicos son ampliamente utilizados y se llaman ${\displaystyle t-1}$ Códigos de redundancia cíclica.

Las aplicaciones de la transformación de Fourier son generalizadas en procesamiento de señales. Pero sus aplicaciones no se limitan a los campos complejos solamente; Fourier transforma también existen en el campo Galois ${\displaystyle GF(q)}$. Los códigos cíclicos que utilizan la transformación Fourier se pueden describir en un entorno más cercano al procesamiento de la señal.

Transformada de Fourier sobre cuerpos finitos

La discreta transformación Fourier de vectores ${\displaystyle v=v_{0},v_{1},...,v_{n-1}$ es dado por un vector ${\displaystyle V=V_{0},V_{1},$ ¿Dónde?

${\displaystyle V_{k}$ = ${\displaystyle \Sigma ¿Qué? No.$ ¿Dónde?

${\displaystyle k=0,. ..,n-1}$

donde exp(${\displaystyle -j2\pi /n}$) es un ${\displaystyle n}$la raíz de la unidad. Del mismo modo en el campo finito ${\displaystyle n}$la raíz de la unidad es elemento ${\displaystyle \omega }$ de orden ${\displaystyle n}$. Por lo tanto

Si ${\displaystyle v=(v_{0},v_{1},v_{n-1}) }$ es un vector sobre ${\displaystyle GF(q)}$, y ${\displaystyle \omega }$ ser un elemento de ${\displaystyle GF(q)}$ de orden ${\displaystyle n}$, entonces Fourier transformación del vector ${\displaystyle v}$ es el vector ${\displaystyle V=(V_{0},V_{1},...,V_{n-1}$ y los componentes son proporcionados por

${\displaystyle V_{j}$ = ${\displaystyle \Sigma ¿Qué?$ ¿Dónde?

${\displaystyle k=0,. ..,n-1}$

Aquí. ${\displaystyle i}$ es tiempo índice, ${\displaystyle j}$ es frecuencia y ${\displaystyle V}$ es espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro. Una diferencia importante entre la transformación de Fourier en campo complejo y el campo de Galois es que campo complejo ${\displaystyle \omega }$ existe para cada valor ${\displaystyle n}$ mientras que en el campo Galois ${\displaystyle \omega }$ existe sólo si ${\displaystyle n}$ divideciones ${\displaystyle q-1}$. En caso de campos de extensión, habrá una transformación Fourier en el campo de extensión ${\displaystyle GF(q^{m}}$ si ${\displaystyle n}$ divideciones ${\displaystyle q^{m}-1}$ para algunos ${\displaystyle m}$. In Galois field time domain vector ${\displaystyle v}$ está sobre el terreno ${\displaystyle GF(q)}$ pero el espectro ${\displaystyle V}$ puede estar sobre el campo de extensión ${\displaystyle GF(q^{m}}$.

Cualquier palabra clave del código cíclico de bloqueo ${\displaystyle n}$ puede ser representado por un polinomio ${\displaystyle c(x)}$ de grado en la mayoría ${\displaystyle n-1}$. Su encoder puede ser escrito como ${\displaystyle c(x)=a(x)g(x)}$. Por lo tanto, en el encoder de dominio de frecuencia se puede escribir como ${\displaystyle C_{j}=A_{j}G_{j}$. Aquí. espectro de palabras clave ${\displaystyle C_{j}$ tiene un valor ${\displaystyle GF(q^{m}}$ pero todos los componentes del dominio del tiempo son de ${\displaystyle GF(q)}$. Como el espectro de datos ${\displaystyle A_{j}$ es arbitraria, el papel de ${\displaystyle G_{j}$ es especificar los ${\displaystyle j}$ Donde ${\displaystyle C_{j}$ será cero.

Por tanto, los códigos cíclicos también pueden definirse como

Dado un conjunto de índices espectrales, ${\displaystyle A=(j_{1},$, cuyos elementos se llaman frecuencias de verificación, el código cíclico ${\displaystyle C}$ es el conjunto de palabras sobre ${\displaystyle GF(q)}$ cuyo espectro es cero en los componentes indexados por ${\displaystyle J_{1},...$. Cualquier espectro de ese tipo ${\displaystyle C}$ tendrá componentes de la forma ${\displaystyle A_{j}G_{j}$.

Así que los códigos cíclicos son vectores en el campo ${\displaystyle GF(q)}$ y el espectro dado por su inversa transformación cuatroier está sobre el campo ${\displaystyle GF(q^{m}}$ y se limitan a ser cero en ciertos componentes. Pero cada espectro en el campo ${\displaystyle GF(q^{m}}$ y cero en ciertos componentes puede no tener transformaciones inversas con componentes en el campo ${\displaystyle GF(q)}$. Tal espectro no se puede utilizar como códigos cíclicos.

A continuación se muestran algunos límites del espectro de códigos cíclicos.

Si ${\displaystyle n}$ ser un factor ${\displaystyle (q^{m}-1)}$ para algunos ${\displaystyle m}$. El único vector en ${\displaystyle GF(q)^{n}$ de peso ${\displaystyle d-1}$ o menos que tenga ${\displaystyle d-1}$ componentes consecutivos de su espectro igual a cero es todo-cero vector.

Si ${\displaystyle n}$ ser un factor ${\displaystyle (q^{m}-1)}$ para algunos ${\displaystyle m}$, y ${\displaystyle b}$ un entero que es coprime ${\displaystyle n}$. El único vector ${\displaystyle v}$ dentro ${\displaystyle GF(q)^{n}$ de peso ${\displaystyle d-1}$ o menos cuyo espectral componentes ${\displaystyle V_{j}$ igual cero para ${\displaystyle j=\ell _{1}+\ell _{2}b(\mod n)}$, donde ${\displaystyle \ell _{1}=0,...,d-s-1}$ y ${\displaystyle \ell _{2}=0,...,s-1}$Es el vector cero.

Si ${\displaystyle n}$ ser un factor ${\displaystyle q^{m}-1}$ para algunos ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle GCD(n,b)=1}$. El único vector en ${\displaystyle GF(q)^{n}$ de peso ${\displaystyle d-1}$ o menos cuyos componentes espectrales ${\displaystyle V_{j}$ igual a cero para ${\displaystyle j=l_{1}+l_{2}b(\mod n)}$, donde ${\displaystyle l_{1}=0,...,d-s-2}$ y ${\displaystyle I_{2}$ al menos ${\displaystyle s+1}$ valores en el rango ${\displaystyle 0,....,d-2}$, es el vector de todo cero.

Cuando la primera ${\displaystyle l}$ es un modulo de residuos cuadráticos ${\displaystyle p}$ hay un código de residuos cuadráticos que es un código cíclico de longitud ${\displaystyle p}$, dimensión ${\displaystyle (p+1)/2}$ y peso mínimo al menos ${\displaystyle {\sqrt {}}$ sobre ${\displaystyle GF(l)}$.

Un código constacíclico es un código lineal con la propiedad de que para alguna constante λ si (c₁,c₂,...,c_n) es una palabra de código, entonces también lo es (λc_n,c₁,...,c_n-1). Un código negacíclico es un código constacíclico con λ=-1. Un código cuasicíclico tiene la propiedad de que para alguna s, cualquier desplazamiento cíclico de una palabra de código en s lugares es nuevamente una palabra de código. Un código doble circulante es un código cuasicíclico de longitud par con s=2. Los códigos cuasi-trenzados y los códigos multi-trenzados son otras generalizaciones de los códigos constacíclicos.

• Código BCH
• Código binario Golay
• Control de redundancia cíclica
• Eugene Prange
• Código Reed-Muller
• Ternary Golay code

• Blahut, Richard E. (2003), Códigos algebraicos para la transmisión de datos (2a edición), Cambridge University Press, ISBN 0-521-55374-1
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• David Terr. "Código Civil". MathWorld.

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