Cociente de diferencias

En el cálculo de una sola variable, el cociente de diferencias suele ser el nombre de la expresión

f()x+h)− − f()x)h{displaystyle {frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

que cuando se lleva al límite cuando h tiende a 0 da la derivada de la función f. El nombre de la expresión se debe a que es el cociente de la diferencia de valores de la función por la diferencia de los valores correspondientes de su argumento (este último es (x + h ) - x = h en este caso). El cociente de diferencias es una medida de la tasa de cambio promedio de la función en un intervalo (en este caso, un intervalo de longitud h). El límite del cociente de la diferencia (es decir, la derivada) es, por lo tanto, la tasa de cambio instantánea.

Por un ligero cambio en notación (y punto de vista), para un intervalo [a, b], el cociente de diferencias

f()b)− − f()a)b− − a{displaystyle {frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

se denomina valor medio (o promedio) de la derivada de f sobre el intervalo [a, b]. Este nombre se justifica por el teorema del valor medio, que establece que para una función diferenciable f, su derivada f′ alcanza su valor medio en algún punto del intervalo. Geométricamente, este cociente de diferencia mide la pendiente de la secante que pasa por los puntos de coordenadas (a, f(a)) y (b, f(b)).

Los cocientes de diferencias se utilizan como aproximaciones en la diferenciación numérica, pero también han sido objeto de críticas en esta aplicación.

Los cocientes de diferencia también pueden encontrar relevancia en aplicaciones que involucran discretización de tiempo, donde el ancho del paso de tiempo se usa para el valor de h.

El cociente de diferencias a veces también se denomina cociente de Newton (por Isaac Newton) o cociente de diferencias de Fermat (por Pierre de Fermat).

Resumen

La noción típica del cociente de diferencias discutida anteriormente es un caso particular de un concepto más general. El vehículo principal del cálculo y otras matemáticas superiores es la función. Su "valor de entrada" es su argumento, generalmente un punto ("P") expresable en un gráfico. La diferencia entre dos puntos, en sí mismos, se conoce como su Delta (ΔP), al igual que la diferencia en el resultado de su función, siendo determinada la notación particular por la dirección de formación:

• Diferencia de avance: ΔF()P) F()P + ΔP) − F()P);
• Diferencia central: δF(P) = F(P + 1⁄2ΔP) − F(P − 1⁄2ΔP);
• Diferencia posterior: restablecimientoF(P) = F(P) − F(P − ΔP).

La preferencia general es la orientación hacia adelante, ya que F(P) es la base, a la que se le agregan las diferencias (es decir, "ΔP"s). Además,

• Si Налующую es finito (que significa mensurable), entonces ΔF(P) es conocido como diferencia finita, con denotaciones específicas de DP y DF(P);
• Si Налующую es infinitesimal (una cantidad infinitamente pequeña).. {displaystyle iota }—generalmente expresado en el análisis estándar como límite: limΔ Δ P→ → 0{displaystyle lim _{Delta Prightarrow ¡Oh!), entonces ΔF(P) se conoce como un Diferencia infinitesimal, con denotaciones específicas de dP y dF(P) (en el gráfico de cálculo, el punto se identifica casi exclusivamente como "x" y F(x) como "y").

La diferencia de funciones dividida por la diferencia de puntos se conoce como "cociente de diferencias":

Δ Δ F()P)Δ Δ P=F()P+Δ Δ P)− − F()P)Δ Δ P=Silencio Silencio F()P+Δ Δ P)Δ Δ P.{displaystyle {frac {Delta F(P)}{ Delta P}={frac {F(P+Delta P)-F(P)}{ Delta P}={frac {nabla F(P+Delta P)}{Delta P},!}

Si ΔP es infinitesimal, entonces el cociente de diferencia es una derivada, de lo contrario es una diferencia dividida:

SiSilencioΔ Δ PSilencio=.. :Δ Δ F()P)Δ Δ P=dF()P)dP=F.()P)=G()P);{fnMitit {fnMitit {fnMitit {fnMitit}:quad {fnMicroc {Delta F(P)}{fnMitit {fnMittt} {fnMicroc {fnMittt}}fnMitssssssc} {f}f}fnMit}f}fnMitsssssscf}fnMitscf}fnMit}fnMit}f}fnKfnKfnKfnMit}fnKfnKfnKfnMit}f}fnMitssssssssscHfnKfnMitit {fnKfnMitssscHFF}fnKfnKfnMit}f}fnMit Delta P}={frac {dF(P)}=F'(P)=G(P);,!}

{mathit {iota }}:quad {frac {Delta F(P)}{Delta P}}={frac {DF(P)}{DP}}=F[P,P+Delta P].,!}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SiSilencioΔ Δ PSilencio■.. :Δ Δ F()P)Δ Δ P=DF()P)DP=F[P,P+Δ Δ P].{fnMicrosoft Sans Serif}:quad {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicros}}fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}}}}}f}f}f}f}f}fnMit}fnMit}fnMit}fnMit}f}fnMit}fnKf}fnKf}f}f}fnMit}fnMit}fnKf}fnMititud {fnKfnKfnMitestasssssssssigual* Delta P}={frac {DF(P)}=F[P,P+Delta P].,!}{mathit {iota }}:quad {frac {Delta F(P)}{Delta P}}={frac {DF(P)}{DP}}=F[P,P+Delta P].,!" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a9ce0612b2a5b0e4c2e0866c35c11b2e64c811" style="vertical-align: -2.005ex; margin-right: -0.387ex; width:52.724ex; height:5.843ex;"/>

Definir el rango de puntos

Independientemente de si ΔP es infinitesimal o finito, hay (al menos, en el caso de la derivada, teóricamente) un rango de puntos, donde los límites son P ± (0.5) ΔP (dependiendo de la orientación, ΔF(P), δF(P) o ∇F(P)):

LB = LB = Límite inferior; UB = Límite superior;

Las derivadas pueden considerarse como funciones en sí mismas, albergando sus propias derivadas. Por lo tanto, cada función alberga grados secuenciales ("órdenes superiores") de derivación o diferenciación. Esta propiedad se puede generalizar a todos los cocientes de diferencias.
Como esta secuencia requiere una fragmentación de límites correspondiente, es práctico dividir el rango de puntos en secciones más pequeñas y del mismo tamaño, con cada sección marcada por un punto intermedio (P _i), donde LB = P₀ y UB = P_ñ, el nésimo punto, igualando el grado/orden:

 LB = P0 P0 + 0Δ1P = Pń − (artículo 0)Δ1P;
P1 P0 + 1Δ1P = Pń − (párrafo 1)1P;
P2 P0 + 2Δ1P = Pń − (párrafo 2)1P;
P3 P0 + 3Δ1P = Pń − (artículo 3)1P;
↓ ↓ ↓
Pń-3 P0 + (artículo 3)1P = Pń − 3Δ1P;
Pń-2 P0 + (artículo 2)1P = Pń − 2Δ1P;
Pń-1 P0 + (artículo 1)Δ1P = Pń − 1Δ1P;
UB = Pń-0 P0 + (§-0)Δ1P = Pń − 0Δ1P = Pń;

 ΔP = Δ1P = P1 − P0 P2 − P1 P3 − P2 =ń − Pń-1;

 ΔB = UB - LB = Pń − P0 = ΔńP = ▪1P.

El cociente de la diferencia primaria (Ń = 1)

Δ Δ F()P0)Δ Δ P=F()Pń ́ )− − F()P0)Δ Δ ń ́ P=F()P1)− − F()P0)Δ Δ 1P=F()P1)− − F()P0)P1− − P0.{displaystyle {frac {Delta F(P_{0}{ Delta P}={frac {F(P_{acute {n})-F(P_{0}}{Delta _{acute {fn} {fn}}} {fnMicroc {fn}-F(P_{0}}{Delta ¿Qué? {F(P_{1})-F(P_{0}} {P_{0}}.,!}

Como derivada

(feminine)

La diferencia cociente como un derivado no necesita explicación, aparte de señalar que, ya que P₀ esencialmente iguales P₁ P₂ =_ń (como las diferencias son infinitesimal), la notación de Leibniz y las expresiones derivadas no distinguen P a P₀ o P_ń:

dF()P)dP=F()P1)− − F()P0)dP=F.()P)=G()P).{displaystyle {frac {dF}{dP}={frac {F(P_{1})-F(P_{0}}{dP}=F'(P)=G(P).,!}

Hay otras notaciones derivadas, pero estas son las designaciones estándar más reconocidas.

Como diferencia dividida

Una diferencia dividida, sin embargo, requiere mayor elucidación, ya que equivale al derivado promedio entre e incluyendo LB y UB:

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}P_{(tn)}&=LB+{frac {TN-1}{UT-1}}Delta B =UB-{frac {UT-TN}{UT-1}}Delta B;\[10pt]&{}qquad {color {white}.}(P_{(1)}=LB, P_{(ut)}=UB){color {white}.}\[10pt]F'(P_{tilde {a}})&=F'(LB<PP()tn)=LB+TN− − 1UT− − 1Δ Δ B=UB− − UT− − TNUT− − 1Δ Δ B;.()P()1)=LB,P()ut)=UB).F.()Pa~ ~ )=F.()LB.P.UB)=.. TN=1UT=JUEGO JUEGO F.()P()tn))UT.{displaystyle {begin{aligned}P_{(tn)}Consiguiente=LB+{frac {TN-1}{UT-1}} Delta B =UB-{frac {UT-TN}Delta B;[10pt] {color {white}.}(P_{(1)}=LB, P_{(ut)}=UB){color {white}\[10pt]F'(P_{tilde {a})}=F'(LB made)=sum {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnK}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{begin{aligned}P_{{(tn)}}&=LB+{frac {TN-1}{UT-1}}Delta B =UB-{frac {UT-TN}{UT-1}}Delta B;\[10pt]&{}qquad {color {white}.}(P_{{(1)}}=LB, P_{{(ut)}}=UB){color {white}.}\[10pt]F'(P_{{tilde {a}}})&=F'(LB<P

En esta interpretación, P_. representa una función extraída, valor promedio de P (midrange, pero generalmente no exactamente punto medio), la valoración particular dependiendo de la función que promedia se extrae de. Más formalmente, P_. se encuentra en el teorema de valor medio del cálculo, que dice:

Para cualquier función que sea continua en [LB,UB] y diferente en (LB,UB) existe algún P_. en el intervalo (LB,UB) tal que el secant uniendo los puntos finales del intervalo [LB,UB] es paralelo al tangente en P_..

Esencialmente, P_. denota algún valor de P entre LB y UB, por lo tanto,

<math alttext="{displaystyle P_{tilde {a}}:=LB<P<UB=P_{0}<P

Pa~ ~ :=LB.P.UB=P0.P.Pń ́ {displaystyle P_{tilde {a}:=LB secuestró {n},!<img alt="P_{{tilde {a}}}:=LB<P<UB=P_{0}<P

que vincula el resultado de valor medio con la diferencia dividida:

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}{frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=sum _{TN=1}^{UT=infty }{frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\[8pt]&={frac {DF(LB)}{DB}}={frac {Delta F(LB)}{Delta B}}={frac {nabla F(UB)}{Delta B}},\[8pt]&=F[LB,UB]={frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<PDF()P0)DP=F[P0,P1]=F()P1)− − F()P0)P1− − P0=F.()P0.P.P1)=.. TN=1UT=JUEGO JUEGO F.()P()tn))UT,=DF()LB)DB=Δ Δ F()LB)Δ Δ B=Silencio Silencio F()UB)Δ Δ B,=F[LB,UB]=F()UB)− − F()LB)UB− − LB,=F.()LB.P.UB)=G()LB.P.UB).{displaystyle {begin{aligned}{frac {DF(P_{0}{DP} {f} [P_{0},P_{1}={ Frac {F(P_{1}-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}=F'(P_{0}cantado {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}}= {fnMicrob} {fnMicroc}={fnMicroc {fnMicroc {Delta F(LB)}{fnMicroc} {fnMicroc}}}}}}={f}}{f}f}}}}f}f}f}f}f}}f}fnKf}}fnKf}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnK\fnKfnKfnK\fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnMinMinKfnKfnKfnMinK}f}fnMi Delta B}={frac {nabla F(UB)}{Delta B},[8pt] implica=F[LB,UB]={frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB},[8pt] simultáneamente=F'(LB made)=G(LB liable}endal{align {f} {f}}}}} {f}}}}}}}}} {f}} {f}}}}} {f}} {f}}f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}f}}}f}}}}}}}}}}<img alt="{begin{aligned}{frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=sum _{{TN=1}}^{{UT=infty }}{frac {F'(P_{{(tn)}})}{UT}},\[8pt]&={frac {DF(LB)}{DB}}={frac {Delta F(LB)}{Delta B}}={frac {nabla F(UB)}{Delta B}},\[8pt]&=F[LB,UB]={frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P

Como existe, por su propia definición, una diferencia tangible entre el LB/P₀ y UB/P_ń, el Leibniz y expresiones derivadas do requiere divaricación del argumento de la función.

Cocientes de diferencia de orden superior

Segunda orden

(feminine)

Δ Δ 2F()P0)Δ Δ 1P2=Δ Δ F.()P0)Δ Δ 1P=Δ Δ F()P1)Δ Δ 1P− − Δ Δ F()P0)Δ Δ 1PΔ Δ 1P,=F()P2)− − F()P1)Δ Δ 1P− − F()P1)− − F()P0)Δ Δ 1PΔ Δ 1P,=F()P2)− − 2F()P1)+F()P0)Δ Δ 1P2;{displaystyle {begin{aligned}{frac} {Delta ^{2}F(P_{0}}{Delta {fnMicrosoft Sans Serif} {Delta F'(P_{0}{Delta ¿Por qué? {fnK} {fnMicroc {fnK}}{Delta _{1}P}}{Delta _{1}P}}},[10pt]}={frac {frac {frac {F(P_{2})-F(P_{1})}}{Delta ¿Por qué? Delta _{1}P},[10pt] sentimiento={frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{Delta - ¿Qué?

d2F()P)dP2=dF.()P)dP=F.()P1)− − F.()P0)dP,=dG()P)dP=G()P1)− − G()P0)dP,=F()P2)− − 2F()P1)+F()P0)dP2,=F.()P)=G.()P)=H()P){displaystyle {begin{aligned}{frac {d^{2}{dP}{2}} {={frac {dF'(P)}={dP}={frac {frac {F'(P_{1})-F'(P_{0}}}}{dP}}}\[10pt]}= {}= {[10pt]}=}}}= {}}}}}}= {}}}= {}}}= {}= {}}}}}}}}}}}}}}= {\}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc}}}}} {fnMicroc {f}} {fnMicroc {fnMicroc}}}}} {fnMicroc {f}}}}}}}} {f}}}}} {f}}} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}fnMicroc}fnf}}f}f}f}f}fnMicrocfn}f}fnMicroc}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}fn}fnMicrocf}fnf}fnf}f}fn} {G(P_{1})-G(P_{0}} {dP},[10pt] correspond={frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0}}{dP^{2}}}}\[10pt]

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}{frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={frac {DF'(P_{0})}{DP}}={frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\[10pt]&{color {white}.}qquad neq {frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=sum _{TN=1}^{infty }{frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P

D2F()P0)DP2=DF.()P0)DP=F.()P1.P.P2)− − F.()P0.P.P1)P1− − P0,.ل ل F.()P1)− − F.()P0)P1− − P0,=F[P0,P1,P2]=F()P2)− − 2F()P1)+F()P0)()P1− − P0)2,=F.()P0.P.P2)=.. TN=1JUEGO JUEGO F.()P()tn))UT,=G.()P0.P.P2)=H()P0.P.P2).{displaystyle {begin{aligned}{frac} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0}} {0}} {0}} {0} {0}} {0}} {0} {0}} {0}} {0} {0}} {0}} {0}}} {0}}} {0}}} {0} {0}} {0}}} {0}}}} {}}}}} {}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {} {p}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}} {}}}}}}}} {p}}}} {c} {c} {f}}}}}}}}}} {c} {c}}}} {c} {c} {c}}}}}}} {c} {fn0} {fnK} {fn0}} {fn0}}} {[10pt] } {=G'(P_{0})=H(P_{0})=H(P_{0}{0} {0}} {cH} {d}}}}} {d}}<img alt="{begin{aligned}{frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={frac {DF'(P_{0})}{DP}}={frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\[10pt]&{color {white}.}qquad neq {frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=sum _{{TN=1}}^{infty }{frac {F''(P_{{(tn)}})}{UT}},\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P

Tercer orden

Δ Δ 3F()P0)Δ Δ 1P3=Δ Δ 2F.()P0)Δ Δ 1P2=Δ Δ F.()P0)Δ Δ 1P=Δ Δ F.()P1)Δ Δ 1P− − Δ Δ F.()P0)Δ Δ 1PΔ Δ 1P,=Δ Δ F()P2)Δ Δ 1P− − Δ Δ F.()P1)Δ Δ 1PΔ Δ 1P− − Δ Δ F.()P1)Δ Δ 1P− − Δ Δ F.()P0)Δ Δ 1PΔ Δ 1PΔ Δ 1P,=F()P3)− − 2F()P2)+F()P1)Δ Δ 1P2− − F()P2)− − 2F()P1)+F()P0)Δ Δ 1P2Δ Δ 1P,=F()P3)− − 3F()P2)+3F()P1)− − F()P0)Δ Δ 1P3;{displaystyle {begin{aligned}{frac} {Delta ^{3}F(P_{0}}{Delta - ¿Qué? {Delta ^{2}F'(P_{0}}{Delta ¿Qué? {Delta F'(P_{0}}{ Delta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK} {f} {f}} {f}} {f}} {f}} {fn0} {c}} {c} {c}} {c} {c}}} {c} {c}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}} {c} {c} {c}}}}}} {c} {c}}}} {cc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c} {c}}} {c} {c}}} {c}}}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}}} {c}}} {c}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Delta ¿Por qué? Delta _{1}P}}{Delta _{1}P}},\[10pt] limitada={frac {frac {frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1}}{Delta ¿Qué? {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0}{Delta ¿Qué? Delta _{1}P},[10pt] sentimiento={frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0}{Delta - ¿Qué?

d3F()P)dP3=d2F.()P)dP2=dF.()P)dP=F.()P1)− − F.()P0)dP,=d2G()P)dP2=dG.()P)dP=G.()P1)− − G.()P0)dP,.=dH()P)dP=H()P1)− − H()P0)dP,=G()P2)− − 2G()P1)+G()P0)dP2,=F()P3)− − 3F()P2)+3F()P1)− − F()P0)dP3,=F′′()P)=G.()P)=H.()P)=I()P);{displaystyle {begin{aligned}{frac {d^{3}{dP}{3}}} {frac {d^{2}F'(P)} {f}}={frac {f} {f} {f}}} {f} {f}}} {fnMicroc}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}f}}}}}}}}= {f}= {f}= {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f {F''(P_{1})-F'(P_{0} {dP}},[10pt] limit={frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}} ={frac {dG'(P)}}{dP}}}}} {fnMicroc {G'(P_{1})-G'(P_{0}{dP}\[10pt] {white}qquad qquad ={frac {dH(P)}{dP} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif})} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cH} {cH} {f}} {cH} {cH}} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {p}}} {f} {f}}}}}} {f}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}{frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={frac {DF''(P_{0})}{DP}}={frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\[10pt]&{color {white}.}qquad qquad qquad qquad qquad neq {frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\[10pt]&={frac {{frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\[10pt]&={frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\[10pt]&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=sum _{TN=1}^{UT=infty }{frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\[10pt]&=G''(P_{0}<P<P_{3}) =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P

D3F()P0)DP3=D2F.()P0)DP2=DF.()P0)DP=F.()P1.P.P3)− − F.()P0.P.P2)P1− − P0,.ل ل F.()P1)− − F.()P0)P1− − P0,=F.()P2.P.P3)− − F.()P1.P.P2)P1− − P0− − F.()P1.P.P2)− − F.()P0.P.P1)P1− − P0P1− − P0,=F.()P2.P.P3)− − 2F.()P1.P.P2)+F.()P0.P.P1)()P1− − P0)2,=F[P0,P1,P2,P3]=F()P3)− − 3F()P2)+3F()P1)− − F()P0)()P1− − P0)3,=F′′()P0.P.P3)=.. TN=1UT=JUEGO JUEGO F′′()P()tn))UT,=G.()P0.P.P3)=H.()P0.P.P3)=I()P0.P.P3).{displaystyle {begin{aligned}{frac} {fnK} {fnK}} {fnK}}} {fnMicroc {fnK} {f}} {f}}} {f}}}= {fnMicroc {fnK}}} {f}}={f}}}={f}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué? =H'(P_{0})=I(P_{0}(P_{3})end{aligned}}<img alt="{begin{aligned}{frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={frac {DF''(P_{0})}{DP}}={frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\[10pt]&{color {white}.}qquad qquad qquad qquad qquad neq {frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\[10pt]&={frac {{frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\[10pt]&={frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\[10pt]&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=sum _{{TN=1}}^{{UT=infty }}{frac {F'''(P_{{(tn)}})}{UT}},\[10pt]&=G''(P_{0}<P<P_{3}) =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P

Enésima orden

(feminine)

Δ Δ ń ́ F()P0)=F()ń ́ − − 1)()P1)− − F()ń ́ − − 1)()P0),=F()ń ́ − − 2)()P2)− − F()ń ́ − − 2)()P1)Δ Δ 1P− − F()ń ́ − − 2)()P1)− − F()ń ́ − − 2)()P0)Δ Δ 1P,=F()ń ́ − − 3)()P3)− − F()ń ́ − − 3)()P2)Δ Δ 1P− − F()ń ́ − − 3)()P2)− − F()ń ́ − − 3)()P1)Δ Δ 1PΔ Δ 1P.− − F()ń ́ − − 3)()P2)− − F()ń ́ − − 3)()P1)Δ Δ 1P− − F()ń ́ − − 3)()P1)− − F()ń ́ − − 3)()P0)Δ Δ 1PΔ Δ 1P,=⋯ ⋯ {displaystyle {begin{aligned} Delta ^{acute {n}F(P_{0})} {acute {acute {n}-1)}(P_{1})-F^{ {acute {acute {n}=-1)} {[10pt]} {f} {f} {f} {f}}} {f} {f}{2}}}}}}} {f}}}}}} {f}}} {f} {f}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}}} {f} {f}}} {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}f} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn} {fn} {fn}} {f}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}} {f} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}} {f}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}} {f} {f}} {f} {f} {f} {f}} {f}}}}}} {f} {f}f}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} ¿Qué? {f} {fn}} {fn}} {fn}}} {f}} {f}}} {f}}} {fn}}}} {f}}}} {fn}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {\\fnK}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Delta. - {frac {frac {f}}(P_{2})-F^{ {acute {n}}}} {f}} {f}}} {f}}}} {Delta ¿Qué? {f} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {Delta _{1}}}{Delta _{1}} {Delta _{1}P}}}\\[10pt], âTMa} {cdots}}}} {f}}}}} {\\\\\\\\\cdotH00}p}p}p\\\cH00}pcH00}pcH00}cH00cH00cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\cH00\cH00}cH00\\cH00\\cH00}\\cH00

Δ Δ ń ́ F()P0)Δ Δ 1Pń ́ =.. I=0Ń ́ ()− − 1Ń ́ − − I)()Ń ́ I)F()P0+IΔ Δ 1P)Δ Δ 1Pń ́ ;Silencio Silencio ń ́ F()Pń ́ )Δ Δ 1Pń ́ =.. I=0Ń ́ ()− − 1I)()Ń ́ I)F()Pń ́ − − IΔ Δ 1P)Δ Δ 1Pń ́ ;{displaystyle {begin{aligned}{frac} {Delta ^{acute {fn} {fn}}}{Delta _{1}P^{acute {n}}}}}} {frac}} {fn}}}}}} {fnfn}}} {fnf}}}}}} {fnKf}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn} {fn} {fnK}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} {fnKfnMicrosoft}}} {f}}fn}}}}}}}}}}}}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfn {N}-I}{acute {N} choose I}F(P_{0}+IDelta _{1}P)}{ Delta _{1}P^{acute {n}}}}\[10pt] Sentido {nabla ^{acute {n}F(P_{acute {n})}{Delta _{1}P^{acute {acute {}}}}[10pt] {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {N} choose I}F(P_{acute {n}-IDelta _{1}P}{ Delta.

dń ́ F()P0)dPń ́ =dń ́ − − 1F.()P0)dPń ́ − − 1=dń ́ − − 2F.()P0)dPń ́ − − 2=dń ́ − − 3F′′()P0)dPń ́ − − 3=⋯ ⋯ =dń ́ − − rF()r)()P0)dPń ́ − − r,=dń ́ − − 1G()P0)dPń ́ − − 1=dń ́ − − 2G.()P0)dPń ́ − − 2=dń ́ − − 3G.()P0)dPń ́ − − 3=⋯ ⋯ =dń ́ − − rG()r− − 1)()P0)dPń ́ − − r,.=dń ́ − − 2H()P0)dPń ́ − − 2=dń ́ − − 3H.()P0)dPń ́ − − 3=⋯ ⋯ =dń ́ − − rH()r− − 2)()P0)dPń ́ − − r,.=dń ́ − − 3I()P0)dPń ́ − − 3=⋯ ⋯ =dń ́ − − rI()r− − 3)()P0)dPń ́ − − r,=F()ń ́ )()P)=G()ń ́ − − 1)()P)=H()ń ́ − − 2)()P)=I()ń ́ − − 3)()P)=⋯ ⋯ {displaystyle {begin{aligned}{frac {acute {acute}F(P_{0}}{dP^{acute {n}}}}} {frac}} {f}}}} {fn}}}}}} {f}}}}}}}}} {m}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnMicrosoft* {fn}}F'(P_{0}}{dP^{acute {n}}}={frac} {fnMicrosoft* {}2}F'(P_{0}}{dP^{acute {n}}}={frac} {fnMicrosoft* {fn}-3}}=cdots {fnMicrosoft Sans Serif} {fn}-r} {fn}} {fn}}}}\[10pt] {fn}} {fn} {fn}} {fn}}}\[10pt]} {\fn} {fnfn}} {fn}} {fn}}}}}\\\[10pt]} {\fnfnfnfnKfnfnKfn}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\fn\fn\fn}}\\\\\\\\fn\\\\fn\\\\\\\\\fn\\fn\\fn\\fn\\\fn}fn}fn\fn}\\\\\\\\\fn {}2}G'(P_{0}}{dP^{{acute {n}}-2}=\fn} {fnMicroc {fnMicrosoft} {n}-3}G'(P_{0}} {dP^{{acute {n}}=cdots {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn}} {fn}} {fn} {fn}}}\[10pt]} {cH00}}qquadqquadqquadqquad = {fnc {ccH00FFFF}}cccH00}ccH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}cH00}ccH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}cH00}ccH00}cH00}cH00}ccH00}ccH00}ccH00}\cH00}\cH00}cH00}cH00}cH00}\cH00}\cH00}cccH00 {}2}H(P_{0}}{dP^{{{acute {n}}-2}=\fn} {fnMicroc {fnMicrosoft} {n}-3}H'(P_{0} {dP^{{acute {n}}=cdots {fnMicrosoft Sans Serif} {}-r}H^{(r-2)}(P_{0}{dP^{acute {n}-r}}},\\fncolor {white}qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad = {fnMicroc {fnMicrosoft} {}-3}I(P_{0}} {dP^{{acute {n}-3}=cdots {fnMicrosoft Sans Serif} {}-r}I^{(r-3)}(P_{0}}{dP^{acute {fn}-r}}},[10pt ] { {acute {acute {n})}(P)=G^{({acute {n}-1)}(P)=H^{ {acute {acute {n}-2)}(P)=I^{acute {acute {n}}}} {cdots} {cdots {} {} {}} {}}} {} {}} {cdots}}} {} {} {cdots} {}}} {} {}}}}} {cdots} {}}} {}}}}}}}}}}}}}} {cdots} {} {} {} {} {cdots} {}} {} {cdots} {cdots}}}}}} {} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cdots}} {}}}

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}{frac {D^{acute {n}}F(P_{0})}{DP^{acute {n}}}}&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},ldotsP_{{acute {n}}-3},P_{{acute {n}}-2},P_{{acute {n}}-1},P_{acute {n}}],\[10pt]&=F^{({acute {n}})}(P_{0}<P<P_{acute {n}})=sum _{TN=1}^{UT=infty }{frac {F^{({acute {n}})}(P_{(tn)})}{UT}}\[10pt]&=F^{({acute {n}})}(LB<P<UB)=G^{({acute {n}}-1)}(LB<PDń ́ F()P0)DPń ́ =F[P0,P1,P2,P3,...... ,Pń ́ − − 3,Pń ́ − − 2,Pń ́ − − 1,Pń ́ ],=F()ń ́ )()P0.P.Pń ́ )=.. TN=1UT=JUEGO JUEGO F()ń ́ )()P()tn))UT=F()ń ́ )()LB.P.UB)=G()ń ́ − − 1)()LB.P.UB)=⋯ ⋯ {displaystyle {begin{aligned}{frac} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {f}}}}} {fn}}} {fnfnfnfnfn}ccH00}}ccH00}\cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00}}cH00}}}cH00cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}}cH00}}cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}}}cH00} {n}}-2},P_{acute {n}}-1},P_{acute {n}],\[10pt] limit=F^{ {acute {n}}} {f} {f} {fn} {fn}} {fn}} {f}}}}}} {fn} {f}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fn} {fn} {fnK}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}}[10pt]} {cH00} {fncH00} {cH00} {cH00}}} {cH00cH00cH00}}}cH00cH00}}}}cH00cH00cH00}}}cH00cH00cH00}}}}cH00cH00cH00cH00}cH00cH00cH00}}}}}cH00cH00}cH00}cH00}}cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}}cH00cH00cH00}}cH00}<img alt="{begin{aligned}{frac {D^{{acute {n}}}F(P_{0})}{DP^{{acute {n}}}}}&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},ldotsP_{{{acute {n}}-3}},P_{{{acute {n}}-2}},P_{{{acute {n}}-1}},P_{{acute {n}}}],\[10pt]&=F^{{({acute {n}})}}(P_{0}<P<P_{{acute {n}}})=sum _{{TN=1}}^{{UT=infty }}{frac {F^{{({acute {n}})}}(P_{{(tn)}})}{UT}}\[10pt]&=F^{{({acute {n}})}}(LB<P<UB)=G^{{({acute {n}}-1)}}(LB<P

Aplicando la diferencia dividida

La aplicación por excelencia de la diferencia dividida está en la presentación de la integral definida, que no es más que una diferencia finita:

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}int _{LB}^{UB}G(p),dp&=int _{LB}^{UB}F'(p),dp=F(UB)-F(LB),\[10pt]&=F[LB,UB]Delta B,\[10pt]&=F'(LB<P<UB)Delta B,\[10pt]&= G(LB<P∫ ∫ LBUBG()p)dp=∫ ∫ LBUBF.()p)dp=F()UB)− − F()LB),=F[LB,UB]Δ Δ B,=F.()LB.P.UB)Δ Δ B,=G()LB.P.UB)Δ Δ B.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {b}b9}b9}b9}b9b9b9b9b9b9b9cH0b9b9b9b9b9b9b9b9b9]b9b9b9b9b9b9cH00cH00b9b9b9b9b9b9b9b9p]cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00p]cH00cH00cH00p]cH00<img alt="{begin{aligned}int _{{LB}}^{{UB}}G(p),dp&=int _{{LB}}^{{UB}}F'(p),dp=F(UB)-F(LB),\[10pt]&=F[LB,UB]Delta B,\[10pt]&=F'(LB<P<UB)Delta B,\[10pt]&= G(LB<P

Dado que el valor medio, la forma de expresión derivada proporciona toda la misma información que la notación integral clásica, la forma de valor medio puede ser la expresión preferible, como por escrito los espacios que solo soportan/aceptan el texto estándar ASCII, o en los casos que sólo requieren el derivado promedio (como cuando se encuentra el radio promedio en una integral elíptica). Esto es especialmente cierto para los integrales definidos que técnicamente tienen (por ejemplo) 0 y o bien π π {displaystyle pi ,!} o 2π π {displaystyle 2pi,!} como límites, con la misma diferencia dividida encontrada como la de los límites de 0 y π π 2{displaystyle {begin{Matrix}{frac {pi} } {2}end{matrix}} (que requiere menos esfuerzo promedio):

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{2pi }F'(p),dp&=4int _{0}^{frac {pi }{2}}F'(p),dp=F(2pi)-F(0)=4(F({begin{matrix}{frac {pi }{2}}end{matrix}})-F(0)),\[10pt]&=2pi F[0,2pi ]=2pi F'(0<P<2pi),\[10pt]&=2pi F[0,{begin{matrix}{frac {pi }{2}}end{matrix}}]=2pi F'(0<P∫ ∫ 02π π F.()p)dp=4∫ ∫ 0π π 2F.()p)dp=F()2π π )− − F()0)=4()F()π π 2)− − F()0)),=2π π F[0,2π π ]=2π π F.()0.P.2π π ),=2π π F[0,π π 2]=2π π F.()0.P.π π 2).{displaystyle {begin{aligned}in ¿Por qué? ¿Qué? }{2}F'(p),dp=F(2pi)-F(0)=4(F({begin{matrix}{frac {pi) }{2}end{matrix}})-F(0)),[10pt] correspond=2pi F[0,2pi ]=2pi F'(0 madeP made2pi),\[10pt] #2pi F'(0 madeP made{begin{matrix}{frac {pi } {2}end{matrix}}end{aligned}}<img alt="{begin{aligned}int _{0}^{{2pi }}F'(p),dp&=4int _{0}^{{{frac {pi }{2}}}}F'(p),dp=F(2pi)-F(0)=4(F({begin{matrix}{frac {pi }{2}}end{matrix}})-F(0)),\[10pt]&=2pi F[0,2pi ]=2pi F'(0<P<2pi),\[10pt]&=2pi F[0,{begin{matrix}{frac {pi }{2}}end{matrix}}]=2pi F'(0<P

Esto también se vuelve particularmente útil cuando se trata de integrales iteradas y múltiples (ΔA = AU − AL, ΔB = BU − BL, ΔC = CU − CL):

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}&{}qquad int _{CL}^{CU}int _{BL}^{BU}int _{AL}^{AU}F'(r,q,p),dp,dq,dr\[10pt]&=sum _{T!C=1}^{U!C=infty }left(sum _{T!B=1}^{U!B=infty }left(sum _{T!A=1}^{U!A=infty }F^{'}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){frac {Delta A}{U!A}}right){frac {Delta B}{U!B}}right){frac {Delta C}{U!C}},\[10pt]&=F'(C!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P∫ ∫ CLCU∫ ∫ BLBU∫ ∫ ALAUF.()r,q,p)dpdqdr=.. TC=1UC=JUEGO JUEGO ().. TB=1UB=JUEGO JUEGO ().. TA=1UA=JUEGO JUEGO F.()R()tc):Q()tb):P()ta))Δ Δ AUA)Δ Δ BUB)Δ Δ CUC,=F.()CL.R.CU:BL.Q.BU:AL.P.AU)Δ Δ AΔ Δ BΔ Δ C.{displaystyle {begin{aligned} {qquad int ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¡No! ¿Por qué? ¡Delta B! {Delta C}{U!C},[10pt] implica=F'(C!L se hizo efectivoCU:BL secuestró en el sitio web:Efectivamente en el sitio web)Delta A,Delta B,Delta C.end{aligned}}<img alt="{begin{aligned}&{}qquad int _{{CL}}^{{CU}}int _{{BL}}^{{BU}}int _{{AL}}^{{AU}}F'(r,q,p),dp,dq,dr\[10pt]&=sum _{{T!C=1}}^{{U!C=infty }}left(sum _{{T!B=1}}^{{U!B=infty }}left(sum _{{T!A=1}}^{{U!A=infty }}F^{{'}}(R_{{(tc)}}:Q_{{(tb)}}:P_{{(ta)}}){frac {Delta A}{U!A}}right){frac {Delta B}{U!B}}right){frac {Delta C}{U!C}},\[10pt]&=F'(C!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P

Por lo tanto,

<math alttext="{displaystyle F'(R,Q:AL<PF.()R,Q:AL.P.AU)=.. TA=1UA=JUEGO JUEGO F.()R,Q:P()ta))UA;{displaystyle F'(R,Q:AL woned)=sum _{T!A=1}{U!A=infty }{frac {F'(R,Q:P_{(ta)}}{U!A}};,!}}<img alt="F'(R,Q:AL<P

y

<math alttext="{displaystyle F'(R:BL<Q<BU:AL<PF.()R:BL.Q.BU:AL.P.AU)=.. TB=1UB=JUEGO JUEGO ().. TA=1UA=JUEGO JUEGO F.()R:Q()tb):P()ta))UA)1UB.{displaystyle F'(R:BL secuestróQ se realizó:AL se hizo realidad)=sum ¿Por qué? ¡Oh!<img alt="F'(R:BL<Q<BU:AL<P