Cociente (álgebra universal)

En matemáticas, un álgebra cociente es el resultado de dividir los elementos de una estructura algebraica usando una relación de congruencia. Las álgebras de cocientes también se denominan álgebras de factores. Aquí, la relación de congruencia debe ser una relación de equivalencia que además sea compatible con todas las operaciones del álgebra, en el sentido formal que se describe a continuación. Sus clases de equivalencia dividen los elementos de la estructura algebraica dada. El álgebra de cocientes tiene estas clases como sus elementos, y las condiciones de compatibilidad se utilizan para dar a las clases una estructura algebraica.

La idea del álgebra de cocientes resume en una noción común la estructura de cocientes de los anillos de cocientes de la teoría de anillos, los grupos de cocientes de la teoría de grupos, los espacios de cocientes del álgebra lineal y los módulos de cocientes de la teoría de la representación en un marco común.

Relación compatible

Vamos A ser el conjunto de los elementos de un álgebra A{displaystyle {fnMithcal}}, y dejar E ser una relación de equivalencia en el conjunto A. La relación E se dice que compatible con (o tener el bienes de sustitución con respecto a) n- Operación diaria f, si ()ai,bi)▪ ▪ E{displaystyle (a_{i},;b_{i})in E} para 1≤ ≤ i≤ ≤ n{displaystyle 1leq ileq n} implicación ()f()a1,a2,...... ,an),f()b1,b2,...... ,bn))▪ ▪ E{displaystyle (f(a_{1},a_{2},ldotsa_{n}),f(b_{1},b_{2},ldotsb_{n})in E} para cualquier ai,bi▪ ▪ A{displaystyle a_{i},;b_{i}in A} con 1≤ ≤ i≤ ≤ n{displaystyle 1leq ileq n}. Una relación de equivalencia compatible con todas las operaciones de un álgebra se llama una congruencia con respecto a este álgebra.

Álgebras de cocientes y homomorfismos

Cualquier relación de equivalencia E en un conjunto A particiones este set en clases de equivalencia. El conjunto de estas clases de equivalencia generalmente se llama el conjunto de cocientes, y se denota A/E. Para un álgebra A{displaystyle {fnMithcal}}, es sencillo definir las operaciones inducidas sobre los elementos A/E si E es una congruencia. Específicamente, para cualquier operación fiA{displaystyle ¿Qué? {A}} de la aridad ni{displaystyle No. dentro A{displaystyle {fnMithcal}} (donde el superscript simplemente denota que es una operación en A{displaystyle {fnMithcal}}, y el subscript i▪ ▪ I{displaystyle iin I} enumera las funciones en A{displaystyle {fnMithcal}} y sus aridades) definir fiA/E:()A/E)ni→ → A/E{displaystyle ¿Qué? A/E. A/E} como fiA/E()[a1]E,...... ,[ani]E)=[fiA()a1,...... ,ani)]E{displaystyle ¿Qué? {}/E}([a_{1}]_{E},ldots[a_{n_{i}]_{E})=[f_{i} {i}{s_} {fn} {fn}}_ {fn}}, donde [x]E▪ ▪ A/E{displaystyle [x] denota la clase de equivalencia x▪ ▪ A{displaystyle xin A} generados por E (""xmoduloE").

Para un álgebra A=()A,()fiA)i▪ ▪ I){displaystyle {mathcal {}=(A,(f_{i}{mathcal {A})_{iin} I}, dada una congruencia E on A{displaystyle {fnMithcal}}, el álgebra A/E=()A/E,()fiA/E)i▪ ▪ I){displaystyle {mathcal {}/E=(A/E,(f_{i}{{mathcal {A}/E})_{iin I} se llama álgebra cociente (o factor álgebra) de A{displaystyle {fnMithcal}} modulo E. Hay un homomorfismo natural de A{displaystyle {fnMithcal}} a A/E{displaystyle {fnMitcal}/E} mapear cada elemento a su clase de equivalencia. De hecho, cada homomorfismo h determina una relación de congruencia a través del núcleo del homomorfismo, kerh={}()a,a.)▪ ▪ A2Silencioh()a)=h()a.)}⊆ ⊆ A2{displaystyle mathop {mathrm {ker} ,h={(a,a')in A^{2}, arrest,h(a)=h(a')}subseteq A^{2}}.

Dado un álgebra A{displaystyle {fnMithcal}}, un homomorfismo h así define dos álgebras homomorfo a A{displaystyle {fnMithcal}}, la imagen h(A{displaystyle {fnMithcal}}) y A/kerh{displaystyle {mathcal {}/mathop {mathrm} ,h} Los dos son isomorfos, un resultado conocido como teorema de imagen homomorfo o como el primer teorema isomorfismo para el álgebra universal. Formally, déjalo h:A→ → B{displaystyle h: {fnMitcal {fnMitcal} {fnK} ser un homomorfismo subjetivo. Entonces, existe un isomorfismo único g desde A/kerh{displaystyle {mathcal {}/mathop {mathrm} ,h} sobre B{displaystyle {máthcal {B}} tales que g compuesto por el homomorfismo natural inducido por kerh{displaystyle mathop {mathrm {ker} ,h} iguales h.

Red de congruencia

Por cada álgebra A{displaystyle {fnMithcal}} en el set A, la relación de identidad en A, y A× × A{displaystyle Atimes A} son congruencias triviales. Un álgebra sin otras congruencias se llama simple.

Vamos Con()A){displaystyle mathrm {} ({mathcal {A})} ser el conjunto de congruencias en el álgebra A{displaystyle {fnMithcal}}. Debido a que las congruencias están cerradas bajo intersección, podemos definir una operación de encuentro: ∧ ∧ :Con()A)× × Con()A)→ → Con()A){displaystyle wedge:mathrm {Con} ({mathcal {A})times mathrm {Con} ({mathcal {A})to mathrm {Con} ({mathcal {A})}}}} simplemente tomando la intersección de las congruencias E1∧ ∧ E2=E1∩ ∩ E2{displaystyle E_{1}wedge E_{2}=E_{1}cap E_{2}.

Por otro lado, las congruencias no están cerradas bajo la unión. Sin embargo, podemos definir el cierre de cualquier relación binaria E, con respecto a un álgebra fija A{displaystyle {fnMithcal}}, tal que es una congruencia, de la siguiente manera: .. E.. A=⋂ ⋂ {}F▪ ▪ Con()A)▪ ▪ E⊆ ⊆ F}{displaystyle langle Erangle _{mathcal {A}=bigcap {fn}mid Esubseteq F}}. Tenga en cuenta que el cierre de una relación binaria es una congruencia y por lo tanto depende de las operaciones en A{displaystyle {fnMithcal}}No sólo en el set de portadores. Ahora define Alternativa Alternativa :Con()A)× × Con()A)→ → Con()A){displaystyle vee:mathrm {Con} ({mathcal {A})times mathrm {Con} ({mathcal {A})to mathrm {Con} ({mathcal {A})}}}} como E1Alternativa Alternativa E2=.. E1∪ ∪ E2.. A{displaystyle E_{1}vee E_{2}=langle E_{1}cup E_{2}rangle _{mathcal {A}}.

Por cada álgebra A{displaystyle {fnMithcal}}, ()Con()A),∧ ∧ ,Alternativa Alternativa ){displaystyle (mathrm {}({mathcal {A}),wedgevee)} con las dos operaciones definidas arriba formas una celosa, llamada congruence lattice de A{displaystyle {fnMithcal}}.

Condiciones de Maltsev

Si dos congruencias permute (commute) con la composición de las relaciones como operación, es decir, α α ∘ ∘ β β =β β ∘ ∘ α α {displaystyle alpha circ beta =beta circ alpha }, entonces su unión (en la celosía de la congruencia) es igual a su composición: α α ∘ ∘ β β =α α Alternativa Alternativa β β {displaystyle alpha circ beta =alpha vee beta }. Un álgebra se llama congruencia permutable si cada par de sus congruencias permutes; igualmente se dice que una variedad es congruencia-permutable si todos sus miembros son álgebras permutables de congruencia.

En 1954, Anatoly Maltsev estableció la siguiente caracterización de variedades permutables en congruencia: una variedad es permutable en congruencia si y solo si existe un término ternario q(x, y, z) tal que q(x, y, y) ≈ x ≈ q(y, y, x); esto se denomina término de Maltsev y las variedades con esta propiedad se denominan variedades de Maltsev. La caracterización de Maltsev explica una gran cantidad de resultados similares en grupos (tome q = xy⁻¹z), anillos, cuasigrupos (tome q = (x / (y y))(y z)), celosías complementadas, álgebras de Heyting, etc. Además, cada álgebra permutable de congruencia es modular de congruencia, es decir, su celosía de congruencias también es celosía modular; sin embargo, lo contrario no es cierto.

Después del resultado de Maltsev, otros investigadores encontraron caracterizaciones basadas en condiciones similares a las encontradas por Maltsev pero para otro tipo de propiedades. En 1967, Bjarni Jónsson encontró las condiciones para las variedades que tienen retículos de congruencia que son distributivos (llamados así variedades distributivas de congruencia), mientras que en 1969 Alan Day hizo lo mismo para las variedades que tienen retículos de congruencia que son modulares. De forma genérica, tales condiciones se denominan condiciones de Maltsev.

Esta línea de investigación condujo al algoritmo Pixley-Wille para generar condiciones de Maltsev asociadas con identidades de congruencia.