Clasificación Enriques-Kodaira

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Clasificación matemática de superficies

En matemáticas, la clasificación Enriques-Kodaira agrupa superficies complejas compactas en diez clases, cada una parametrizada por un espacio de módulos. Para la mayoría de las clases, los espacios de módulos se comprenden bien, pero para la clase de superficies de tipo general, los espacios de módulos parecen demasiado complicados para describirlos explícitamente, aunque se conocen algunos componentes.

Max Noether inició el estudio sistemático de las superficies algebraicas y Guido Castelnuovo demostró partes importantes de la clasificación. Federigo Enriques (1914, 1949) describió la clasificación de superficies proyectivas complejas. Kunihiko Kodaira (1964, 1966, 1968a, 1968b) amplió posteriormente la clasificación para incluir superficies compactas no algebraicas. La clasificación análoga de superficies en características positivas fue iniciada por David Mumford (1969) y completada por Enrico Bombieri y David Mumford (1976, 1977); es similar al caso proyectivo de la característica 0, excepto que también se obtienen superficies de Enriques singulares y supersingulares en la característica 2, y superficies cuasi-hiperelípticas en las características 2 y 3.

Declaración de la clasificación

La clasificación Enriques-Kodaira de superficies complejas compactas establece que cada superficie compleja compacta mínima no singular es exactamente de uno de los 10 tipos enumerados en esta página; es decir, se trata de una superficie de tipo racional, reglada (género > 0), tipo VII, K3, Enriques, Kodaira, tórica, hiperelíptica, propiamente cuasi-elíptica o de tipo general.

Para las 9 clases de superficies distintas del tipo general, hay una descripción bastante completa de cómo se ven todas las superficies (que para la clase VII depende de la conjetura global de la capa esférica, aún sin demostrar en 2024). Para superficies de tipo general no se sabe mucho acerca de su clasificación explícita, aunque se han encontrado muchos ejemplos.

La clasificación de superficies algebraicas en característica positiva (Mumford 1969, Mumford & Bombieri 1976, 1977) es similar a la de superficies algebraicas en característica 0, excepto que no hay superficies de Kodaira o superficies de tipo VII, y hay algunas familias adicionales de superficies Enriques en la característica 2, y superficies hiperelípticas en las características 2 y 3, y en la dimensión 1 de Kodaira en las características 2 y 3 también se permiten fibraciones cuasielípticas. Estas familias extra se pueden entender de la siguiente manera: En la característica 0 estas superficies son los cocientes de superficies por grupos finitos, pero en características finitas también es posible tomar cocientes por esquemas de grupos finitos que no son étale.

Oscar Zariski construyó algunas superficies en características positivas que no son sino racionales, derivadas de extensiones inseparables (superficies zariski). En la característica positiva Serre mostró que ${displaystyle h^{0}(Omega)}$ puede diferir ${displaystyle h^{1}({mathcal {O}})}$ , e Igusa mostró que incluso cuando son iguales pueden ser mayores que la irregularidad (la dimensión de la variedad Picard).

Invariantes de superficies

Números de Hodge y dimensión de Kodaira

Las invariantes más importantes de superficies complejas compactas utilizadas en la clasificación se pueden dar en términos de las dimensiones de varios grupos de cohomología de gavillas coherentes. Los básicos son los plurigenerados y los números de Hodge definidos de la siguiente manera:

K es el paquete de línea canónica cuyas secciones son las 2-formas holomorfas.

${displaystyle P_{n}=dim H^{0}(K^{n}),ngeqslant 1}$ son llamados plurigenera. Son invariantes biracionales, es decir, invariantes bajo la explosión. Usando la teoría de Seiberg-Witten, Robert Friedman y John Morgan demostraron que para los múltiples complejos sólo dependen de los 4-manifolds lisos orientados hacia arriba. Para las superficies no kähler el plurigenera se determina por el grupo fundamental, pero para las superficies kähler hay ejemplos de superficies que son homeomorfas pero tienen diferentes dimensiones plurigenera y Kodaira. El plurigenera individual no se utiliza a menudo; lo más importante de ellos es su tasa de crecimiento, medida por la dimensión Kodaira.

${displaystyle kappa }$ es Kodaira dimension: ${displaystyle -infty }$ (a veces escrito -1) si el plurigenera son todos 0, y es de lo contrario el menor número (0, 1, o 2 para superficies) tal que ${displaystyle P_{n}/n^{kappa }}$ está atado. Enriques no utilizó esta definición: en cambio utilizó los valores de ${displaystyle P_{12}}$ y ${displaystyle Kcdot K=c_{1}^{2}}$ . Estos determinan la dimensión Kodaira dada la siguiente correspondencia:

1{text{ and }}Kcdot K=0\kappa =2&longleftrightarrow P_{12}>1{text{ and }}Kcdot K>0\end{aligned}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">κ κ =− − JUEGO JUEGO ⟷ ⟷ P12=0κ κ =0⟷ ⟷ P12=1κ κ =1⟷ ⟷ P12■1 y K⋅ ⋅ K=0κ κ =2⟷ ⟷ P12■1 y K⋅ ⋅ K■0{displaystyle {begin{aligned}kappa =-infty P_{12}=0\kappa =0 P_{12}=1\kappa =1 P_{12}] {text{ and }Kcdot K=0\kappa =2 correspondlongleftrightarrow P_{12} {text{ and }Kcdot K #0\\end{aligned}}}1{text{ and }}Kcdot K=0\kappa =2&longleftrightarrow P_{12}>1{text{ and }}Kcdot K>0\end{aligned}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a12731b72d7facb8e58d703a626310a85cba6e" style="vertical-align: -5.338ex; width:37.54ex; height:11.843ex;"/>

${displaystyle h^{i,j}=dim H^{j}(X,Omega ^{i}),}$ Donde ${displaystyle Omega ^{i}}$ es la hoja de holomorfo i-formas, son las Números de Hodge, a menudo dispuesta en el diamante Hodge:

{displaystyle {begin{matrix}&&h^{0,0}&&\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\&&h^{2,2}&&\end{matrix}}}

Por Serre dualidad

{displaystyle h^{i,j}=h^{2-i,2-j}}

{displaystyle h^{0,0}=h^{2,2}=1.}

Los números Hodge de una superficie compleja dependen sólo del anillo de cohomología real orientado de la superficie, y son invariantes bajo transformaciones biracionales excepto para

{displaystyle h^{1,1}}

que aumenta en 1 soplando un solo punto.

Si la superficie es Kähler entonces ${displaystyle h^{i,j}=h^{j,i}}$ y sólo hay tres números independientes de Hodge.
Si la superficie es compacta entonces ${displaystyle h^{1,0}}$ iguales ${displaystyle h^{0,1}}$ o ${displaystyle h^{0,1}-1.}$

Invariantes relacionadas con los números de Hodge

(feminine)

Hay muchas invariantes que (al menos para superficies complejas) se pueden escribir como combinaciones lineales de los números de Hodge, como sigue:

Números de Betti: definido por ${displaystyle b_{i}=dim H^{i}(S),0leqslant ileqslant 4.}$

{displaystyle {begin{cases}b_{0}=b_{4}=1\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2}\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}end{cases}}}

En característica p Los números Betti se definen usando la cohomología l-adic y no necesitan satisfacer estas relaciones.

Función de Euler o Número de Euler:

{displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.}

El irregularidad se define como la dimensión de la variedad Picard y la variedad Albanese y denotado por q. Para superficies complejas (pero no siempre para superficies de primera característica)

{displaystyle q=h^{0,1}.}

El geométrico género:

{displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.}

El arithmetic genus:

{displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.}

El holomorfo Función de Euler del paquete trivial (generalmente difiere del número de Euler e definidas supra):

{displaystyle chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.}

Por la fórmula de Noether también es igual al género Todd

{displaystyle {tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).}

El firma del segundo grupo de cohomología para superficies complejas es denotado por ${displaystyle tau }$ :

{displaystyle tau =4chi -e=sum nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}.}

${displaystyle b^{pm }}$ son las dimensiones de los subespacios máximos positivos y negativos definidos ${displaystyle H^{2},}$ así:

{displaystyle {begin{cases}b^{+}+b^{-}=b_{2}\b^{+}-b^{-}=tau end{cases}}}

c₂ = e y ${displaystyle c_{1}^{2}=K^{2}=12chi -e}$ son Números de Chern, definido como las integrales de varios polinomios en las clases de Chern sobre el múltiple.

Otras invariantes

Hay otras invariantes de superficies complejas compactas que no se utilizan tanto en la clasificación. Estos incluyen invariantes algebraicos como el grupo Picard Pic(X) de divisores módulo de equivalencia lineal, su cociente el grupo Néron-Severi NS(X) con rango el número de Picard ρ, invariantes topológicos como el grupo fundamental π₁ y los grupos integrales de homología y cohomología, e invariantes del 4 variedades suaves subyacentes, como las invariantes de Seiberg-Witten y las invariantes de Donaldson.

Modelos minimalistas y explosivos

Cualquier superficie es biracional a una superficie no singular, por lo que para la mayoría de los propósitos es suficiente clasificar las superficies no singulares.

Dado cualquier punto en una superficie, podemos formar una nueva superficie ampliando este punto, lo que significa aproximadamente que lo reemplazamos por una copia de la línea proyectiva. A los efectos de este artículo, una superficie no singular X se denomina mínima si no se puede obtener de otra superficie no singular explotando un punto. Según el teorema de contracción de Castelnuovo, esto equivale a decir que X no tiene curvas (−1) (curvas racionales suaves con número de autointersección −1). (En la terminología más moderna del programa de modelo mínimo, una superficie proyectiva suave X se llamaría mínima si su conjunto de líneas canónicas K_X es nef. Una superficie proyectiva suave tiene un modelo mínimo en ese sentido más fuerte si y sólo si su dimensión Kodaira no es negativa).

Cada superficie X es biracional a una superficie no singular mínima, y esta superficie no singular mínima es única X tiene Kodaira dimensión al menos 0 o no es algebraico. Superficies algebraicas de la dimensión Kodaira ${displaystyle -infty }$ puede ser biracional a más de una superficie no singular mínima, pero es fácil describir la relación entre estas superficies mínimas. Por ejemplo, P¹ × P¹ volado en un punto es isomorfo a P² voló dos veces. Así que clasificar todas las superficies compactas complejas hasta el isomorfismo biracional es (más o menos) suficiente para clasificar las mínimas no-singulares.

Superficies de la dimensión de Kodaira −∞

Superficies algebraicas de la dimensión Kodaira ${displaystyle -infty }$ puede clasificarse como sigue. Si q > 0 entonces el mapa a la variedad Albanese tiene fibras que son líneas proyectivas (si la superficie es mínima) por lo que la superficie es una superficie gobernada. Si q = 0 este argumento no funciona como la variedad Albanese es un punto, pero en este caso el teorema de Castelnuovo implica que la superficie es racional.

Para superficies no algebraicas, Kodaira encontró una clase adicional de superficies, llamada tipo VII, que aún no se comprenden bien.

Superficies racionales

Superficie racional significa superficie biracional al plano proyectivo complejo P². Todos estos son algebraicos. Las superficies racionales mínimas son P² en sí y las superficies de Hirzebruch Σ_n para n = 0 o n ≥ 2. (La superficie de Hirzebruch Σ_n es la P¹ paquete sobre P¹ asociado a la gavilla O(0) + O(n La superficie Σ_{0 es isomorfo a P¹ × P¹, y Σ₁ es isomorfo a P² ampliado en un punto, por lo que no es mínimo).}

Invariantes: Los plurigenerados son todos 0 y el grupo fundamental es trivial.

Diamante Hodge:

		1
	0		0
0		1		0	(Aplano propuesto)
	0		0
		1

		1
	0		0
0		2		0	(Hirzebruch surfaces)
	0		0
		1

Ejemplos: P², P¹ × P ¹ = Σ₀, superficies de Hirzebruch Σ_n, cuádricas, superficies cúbicas, superficies del Pezzo, superficie Veronese. Muchos de estos ejemplos no son mínimos.

Superficies regladas del género > 0

Las superficies regladas del género g tienen un morfismo suave a una curva del género g cuyas fibras son líneas P¹. Todos son algebraicos. (Las del género 0 son las superficies de Hirzebruch y son racionales.) Cualquier superficie reglada es biracionalmente equivalente a P¹ × C para un único curva C, por lo que la clasificación de superficies regladas hasta la equivalencia biracional es esencialmente la misma que la clasificación de curvas. Una superficie reglada que no es isomorfa a P¹ × P¹ tiene una regla única (P¹ × P¹ tiene dos).

Invariantes: Los plurigenerados son todos 0.

Diamante Hodge:

		1
	g		g
0		2		0
	g		g
		1

Ejemplos: El producto de cualquier curva de género > 0 con P¹.

Superficies de clase VII

Estas superficies nunca son algebraicas o Kähler. Las mínimas con b₂ = 0 han sido clasificadas por Bogomolov y son superficies de Hopf o superficies de Inoue. Los ejemplos con un segundo número de Betti positivo incluyen las superficies de Inoue-Hirzebruch, las superficies de Enoki y, más generalmente, las superficies de Kato. La conjetura global de la capa esférica implica que todas las superficies mínimas de clase VII con un segundo número de Betti positivo son superficies de Kato, lo que completaría más o menos la clasificación de las superficies de tipo VII.

Invariantes: q = 1, h^1,0 = 0. Todos los plurigéneros son 0.

Diamante Hodge:

		1
	0		1
0		b₂		0
	1		0
		1

Superficies de Kodaira dimensión 0

Estas superficies se clasifican comenzando con la fórmula de Noether ${displaystyle 12chi =c_{2}+c_{1}^{2}.}$ Para la dimensión Kodaira 0, K tiene cero número de intersección con sí mismo, así que ${displaystyle c_{1}^{2}=0.}$ Uso

{displaystyle {begin{aligned}chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}end{aligned}}}

llegamos a:

{displaystyle 10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2left(2h^{0,1}-b_{1}right)+b_{2}}

Además, dado que κ = 0 tenemos:

{displaystyle h^{0,2}={begin{cases}1&K=0\0&{text{otherwise}}end{cases}}}

combinando esto con la ecuación anterior se obtiene:

{displaystyle 8h^{0,1}+2left(2h^{0,1}-b_{1}right)+b_{2}={begin{cases}22&K=0\10&{text{otherwise}}end{cases}}}

En general 2h^0,1 ≥ b₁, por lo que tres términos de la izquierda no son -enteros negativos y solo hay unas pocas soluciones para esta ecuación.

Para superficies algebraicas 2h^0,1 − b₁ es un entero incluso entre 0 y 2p_g.
Para superficies complejas compactas 2h^0,1 − b₁ = 0 o 1.
Para superficies Kähler 2h^0,1 − b₁ = 0 y h^1.0 = h^0,1.

La mayoría de las soluciones a estas condiciones corresponden a clases de superficies, como en la siguiente tabla:

b₂	b₁	h^0,1	p_g = h^0,2	h^1.0	h^1.1	Superficies	Campos
22	0	0	1	0	20	K3	Cualquiera. Siempre Kähler sobre los números complejos, pero no necesita ser algebraico.
10	0	0	0	0	10	Enriques clásicos	Cualquiera. Siempre algebraico.
10	0	1	1			Enriques no clásicos	Sólo característica 2
6	4	2	1	2	4	Superficies abelianas, tori	Cualquiera. Siempre Kähler sobre los números complejos, pero no necesita ser algebraico.
2	2	1	0	1	2	Hyperelliptic	Cualquiera. Siempre algebraico
2	2	1 ó 2	0 o 1			Quasi-hyperelliptic	Sólo características 2, 3
4	3	2	1	1	2	Primaria Kodaira	Sólo complejo, nunca Kähler
0	1	1	0	0	0	Secondary Kodaira	Sólo complejo, nunca Kähler

Superficies K3

Estas son las superficies complejas compactas mínimas de Kodaira dimensión 0 con q = 0 y un paquete de líneas canónico trivial. Todas ellas son variedades de Kähler. Todas las superficies K3 son difeomorfas y su clase de difeomorfismo es un ejemplo importante de un giro suave de 4 colectores simplemente conectados.

Invariantes: El segundo grupo de cohomología H²(X, Z ) es isomorfo a la única red par unimodular II_3,19 de dimensión 22 y signatura −16.

Diamante Hodge:

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Ejemplos:

Grado 4 hipersuperficies en P³()C)
Superficies de Kummer. Estos son obtenidos por . una superficie abeliana por el automorfismo a → −a, luego volando los 16 puntos singulares.

Una superficie K3 marcada es una superficie K3 junto con un isomorfismo de II_3,19 a H²(X, Z). El espacio de módulos de las superficies K3 marcadas está conectado con un espacio analítico suave no de Hausdorff de dimensión 20. Las superficies algebraicas K3 forman una colección contable de subvariedades de 19 dimensiones.

Superficies abelianas y toros complejos bidimensionales

Los toros complejos bidimensionales incluyen las superficies abelianas. Los toros complejos unidimensionales son simplemente curvas elípticas y todos son algebraicos, pero Riemann descubrió que la mayoría de los toros complejos de dimensión 2 no son algebraicos. Los algebraicos son exactamente las variedades abelianas bidimensionales. La mayor parte de su teoría es un caso especial de la teoría de los tori de dimensiones superiores o variedades abelianas. Los criterios para ser producto de dos curvas elípticas (hasta la isogenia) fueron un estudio popular en el siglo XIX.

Invariantes: Los plurigéneros son todos 1. La superficie es difeomorfa a S¹ × S¹ × S¹ × S¹ por lo que el grupo fundamental es Z⁴.

Diamante Hodge:

		1
	2		2
1		4		1
	2		2
		1

Ejemplos: Un producto de dos curvas elípticas. El jacobiano de una curva de género 2. Cualquier cociente de C² por una red.

Superficies Kodaira

Nunca son algebraicas, aunque tienen funciones meromórficas no constantes. Suelen dividirse en dos subtipos: superficies de Kodaira primarias con paquete canónico trivial, y superficies de Kodaira secundarias que son cocientes de éstas por grupos finitos de órdenes 2, 3, 4, o 6, y que tienen paquetes canónicos no triviales. Las superficies secundarias de Kodaira tienen con las primarias la misma relación que las superficies de Enriques con las superficies K3, o las superficies bielípticas con las superficies abelianas.

Invariantes: Si la superficie es el cociente de una superficie primaria de Kodaira por un grupo de orden k = 1, 2, 3, 4, 6, entonces el plurigenera P_n son 1 si n es divisible por k y 0 en caso contrario.

Diamante Hodge:

		1
	1		2
1		2		1	(Primary)
	2		1
		1

		1
	0		1
0		0		0	(Secondary)
	1		0
		1

Ejemplos: Tome un haz de líneas no trivial sobre una curva elíptica, elimine la sección cero y luego cociente las fibras por Z actuando como una multiplicación por potencias de algunos número complejo z. Esto da una superficie Kodaira primaria.

Superficies Enriques

Estas son superficies complejas tales que q = 0 y el paquete de líneas canónico no es trivial, pero tiene un cuadrado trivial. Las superficies de Enrique son todas algebraicas (y por tanto Kähler). Son cocientes de superficies K3 por un grupo de orden 2 y su teoría es similar a la de las superficies algebraicas K3.

Invariantes: Los plurigenerados P_n son 1 si n es par y 0 si n es extraño. El grupo fundamental tiene orden 2. El segundo grupo de cohomología H²(X, Z) es isomorfo a la suma de la red par unimodular única II_1,9 de dimensión 10 y firma −8 y un grupo de orden 2.

Diamante Hodge:

		1
	0		0
0		10		0
	0		0
		1

Las superficies marcadas por Enriques forman una familia conectada de 10 dimensiones, que se ha descrito explícitamente.

En la característica 2 hay algunas familias adicionales de superficies de Enriques llamadas superficies de Enriques singulares y supersingulares; consulte el artículo sobre superficies Enriques para más detalles.

Superficies hiperelípticas (o bielípticas)

En los números complejos, estos son cocientes de un producto de dos curvas elípticas por un grupo finito de automorfismos. El grupo finito puede ser Z/2Z, Z/2Z + Z/2Z, Z/3Z, Z/3Z + Z/3Z, Z/4Z, Z/4Z + Z/2Z, o Z/6Z, dando siete familias de tales superficies.

Diamante Hodge:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

Sobre los campos de las características 2 o 3 hay algunas familias adicionales dadas tomando cocientes mediante un esquema de grupo no etale; consulte el artículo sobre superficies hiperelípticas para obtener más detalles.

Superficies de Kodaira dimensión 1

Una superficie elíptica es una superficie equipada con una fibración elíptica (un mapa holomórfico sobreyectivo de una curva B tal que todas, excepto un número finito de fibras, son curvas suaves irreducibles de género 1). La fibra genérica en dicha fibración es una curva de género 1 sobre el campo funcional de B. Por el contrario, dada una curva de género 1 sobre el campo funcional de una curva, su modelo mínimo relativo es una superficie elíptica. Kodaira y otros han dado una descripción bastante completa de todas las superficies elípticas. En particular, Kodaira dio una lista completa de las posibles fibras singulares. La teoría de superficies elípticas es análoga a la teoría de modelos regulares adecuados de curvas elípticas sobre anillos de valoración discretos (por ejemplo, el anillo de enteros p-ádicos) y dominios de Dedekind (por ejemplo, el anillo de números enteros de un campo numérico).

En las características finitas 2 y 3 también se pueden obtener superficies cuasi-elípticas, cuyas fibras pueden ser casi todas curvas racionales con un solo nodo, que son "curvas elípticas degeneradas" .

Cada superficie de Kodaira dimensión 1 es una superficie elíptica (o una superficie cuasiéptica en las características 2 o 3), pero el converso no es cierto: una superficie elíptica puede tener la dimensión de Kodaira ${displaystyle -infty }$ , 0 o 1. Todas las superficies de Enriques, todas las superficies hiperépticas, todas las superficies de Kodaira, algunas superficies K3, algunas superficies abelianas, y algunas superficies racionales son superficies elípticas, y estos ejemplos tienen dimensión de Kodaira menos de 1. Una superficie elíptica cuya curva base B es de género al menos 2 siempre tiene Kodaira dimensión 1, pero la dimensión Kodaira puede ser 1 también para algunas superficies elípticas con B del género 0 o 1.

Invariantes: ${displaystyle c_{1}^{2}=0,c_{2}geqslant 0.}$

Ejemplo: Si E es una curva elíptica y B es una curva de género al menos 2, entonces E×B es una superficie elíptica de dimensión 1 de Kodaira.

Superficies de Kodaira dimensión 2 (superficies de tipo general)

Todas son algebraicas y, en cierto sentido, la mayoría de las superficies pertenecen a esta clase. Gieseker demostró que existe un esquema de módulos aproximados para superficies de tipo general; esto significa que para cualquier valor fijo de los números de Chern c²
>₁ y c ₂, existe un esquema cuasi proyectivo que clasifica las superficies de tipo general con esos números de Chern. Sin embargo, es un problema muy difícil describir estos esquemas explícitamente, y hay muy pocos pares de números de Chern para los que se haya hecho esto (¡excepto cuando el esquema está vacío!).

Invariantes: Hay varias condiciones que deben satisfacer los números de Chern de una superficie mínima compleja de tipo general:

$0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c12,c2■0{displaystyle ¿Qué?0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3e5134ce3c051f8cb42f7f8034ec369ead410d" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.417ex; height:3.176ex;"/>$
${displaystyle c_{1}^{2}leqslant 3c_{2}}$ (la desigualdad Bogomolov-Miyaoka-Yau)
${displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36geqslant 0}$ (la desigualdad Noether)
${displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}equiv 0{bmod {1}}2.}$

La mayoría de los pares de números enteros que satisfacen estas condiciones son los números de Chern para alguna superficie compleja de tipo general.

Ejemplos: Los ejemplos más simples son el producto de dos curvas de género al menos 2, y una hipersuperficie de grado al menos 5 en P³. Se conocen muchas otras construcciones. Sin embargo, no se conoce ninguna construcción que pueda producir propiedades "típicas" superficies de tipo general para grandes cantidades de Chern; de hecho, ni siquiera se sabe si existe algún concepto razonable de una especie “típica”; superficie de tipo general. Se han encontrado muchos otros ejemplos, incluida la mayoría de las superficies modulares de Hilbert, planos proyectivos falsos, superficies de Barlow, etc.

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