Clasificación de grupos simples finitos

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Teorema masivo asignando todos menos 27 grupos simples finitos a algunas familias infinitas

En matemáticas, la clasificación de los grupos finitos simples es el resultado de la teoría de grupos que establece que todo grupo finito simple es cíclico o alterno, o pertenece a una amplia clase infinita llamada grupos de tipo Lie, o bien es una de las veintiséis o veintisiete excepciones, llamadas esporádicas. La prueba consta de decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por unos 100 autores, publicados en su mayoría entre 1955 y 2004.

Los grupos simples pueden verse como los componentes básicos de todos los grupos finitos, lo que recuerda la forma en que los números primos son los componentes básicos de los números naturales. El teorema de Jordan-Hölder es una forma más precisa de establecer este hecho sobre grupos finitos. Sin embargo, una diferencia significativa con respecto a la factorización de enteros es que dichos "bloques de construcción" no determinan necesariamente un grupo único, ya que puede haber muchos grupos no isomorfos con la misma serie de composición o, dicho de otro modo, el problema de extensión no tiene solución única.

Gorenstein (muerto en 1992), Lyons y Solomon están publicando gradualmente una versión simplificada y revisada de la prueba.

Enunciado del teorema de clasificación

Theorem—Cada grupo simple finito es isomorfo a uno de los siguientes grupos:

a member of one of three infinite classes of such, namely:
- los grupos cíclicos de primer orden,
- los grupos alternos de grado al menos 5,
- los grupos de Lie tipo
uno de los 26 grupos llamados "grupos esporádicos"
el grupo Tits (que a veces se considera un grupo esporádico 27).

La clasificación de los grupos simples finitos

El teorema de clasificación tiene aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas, ya que las preguntas sobre la estructura de los grupos finitos (y su acción sobre otros objetos matemáticos) a veces pueden reducirse a preguntas sobre grupos finitos simples. Gracias al teorema de clasificación, tales preguntas a veces se pueden responder verificando cada familia de grupos simples y cada grupo esporádico.

Daniel Gorenstein anunció en 1983 que todos los grupos simples finitos habían sido clasificados, pero esto fue prematuro ya que había sido mal informado sobre la prueba de la clasificación de los grupos cuasifines. La prueba completa de la clasificación fue anunciada por Aschbacher (2004) después de que Aschbacher y Smith publicaran una prueba de 1221 páginas para el caso del cuasifin faltante.

Resumen de la prueba del teorema de clasificación

Gorenstein (1982, 1983) escribió dos volúmenes en los que destaca el bajo rango y la parte extraña característica de la demostración, y Michael Aschbacher, Richard Lyons y Stephen D. Smith et al. (2011) escribió un tercer volumen que cubre el caso característico restante 2. La prueba se puede dividir en varias piezas principales de la siguiente manera:

Grupos de 2 rangos pequeños

Los grupos simples de bajo rango 2 son en su mayoría grupos de tipo Lie de rango pequeño sobre campos de característica impar, junto con cinco alternantes y siete de tipo 2 característico y nueve grupos esporádicos.

Los grupos simples de pequeños de 2 rangos incluyen:

Grupos de 2-rank 0, en otras palabras grupos de orden extraño, que son todos solvables por el Teorema Feit-Thompson.
Grupos de 2 corchetes 1. Los 2 subgrupos Sylow son cíclicos, que es fácil de manejar utilizando el mapa de transferencia, o cuaternión generalizada, que se manejan con el teorema Brauer-Suzuki: en particular no hay grupos simples de 2-rank 1 excepto para el grupo cíclico del orden dos.
Grupos de 2 corchetes 2. Alperin mostró que el subgrupo Sylow debe ser dihedral, quasidihedral, coronado o un subgrupo Sylow 2 U₃(4). El primer caso fue hecho por el teorema Gorenstein-Walter que mostró que los únicos grupos simples son isomorfos a L₂()qPara q impar o A₇, los casos segundo y tercero fueron realizados por el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein que implica que los únicos grupos simples son isomorfos a L₃()q) o U₃()qPara q impar o M₁₁, y el último caso fue hecho por Lyons que mostró que U₃(4) es la única posibilidad simple.
Grupos de sección 2-rank a la mayoría de 4, clasificados por el teorema Gorenstein-Harada.

La clasificación de grupos pequeños de 2 rangos, especialmente los rangos de 2 como máximo, hace un uso intensivo de la teoría de carácter modular y ordinaria, que casi nunca se usa directamente en otra parte de la clasificación.

Todos los grupos que no sean de rango 2 pequeño se pueden dividir en dos clases principales: grupos de tipo de componente y grupos de tipo de característica 2. Esto se debe a que si un grupo tiene 2 subgrupos seccionales de al menos 5, entonces MacWilliams demostró que sus 2 subgrupos de Sylow están conectados, y el teorema del equilibrio implica que cualquier grupo simple con 2 subgrupos de Sylow conectados es de tipo componente o de tipo 2 característico.. (Para grupos de bajo rango 2, la prueba de esto falla, porque teoremas como el teorema del funtor del señalizador solo funcionan para grupos con subgrupos abelianos elementales de rango al menos 3).

Grupos de tipo de componente

Se dice que un grupo es de tipo componente si para algún centralizador C de una involución, C/O(C ) tiene un componente (donde O(C) es el núcleo de C, el subgrupo normal máximo de orden impar). Son más o menos los grupos de tipo Lie de carácter impar de gran rango, y grupos alternos, junto con algunos grupos esporádicos. Un paso importante en este caso es eliminar la obstrucción del núcleo de una involución. Esto se logra mediante el teorema B, que establece que cada componente de C/O(C) es la imagen de un componente de C.

La idea es que estos grupos tengan un centralizador de una involución con un componente que es un grupo cuasi simple más pequeño, que se puede suponer que ya se conoce por inducción. Entonces, para clasificar estos grupos, uno toma cada extensión central de cada grupo simple finito conocido y encuentra todos los grupos simples con un centralizador de involución con este como componente. Esto da un número bastante grande de casos diferentes para verificar: no solo hay 26 grupos esporádicos y 16 familias de grupos de tipo Lie y los grupos alternos, sino que también muchos de los grupos de rango pequeño o sobre campos pequeños se comportan de manera diferente al general. caso y deben tratarse por separado, y los grupos de tipo Lie de características pares e impares también son bastante diferentes.

Grupos de tipo característica 2

Un grupo es de tipo de característica 2 si el subgrupo de ajuste generalizado F*(Y) de cada subgrupo de 2 locales Y es un 2-grupo. Como sugiere el nombre, estos son aproximadamente los grupos de tipo Lie sobre campos de característica 2, más un puñado de otros que son alternantes, esporádicos o de característica extraña. Su clasificación se divide en casos de rango pequeño y grande, donde el rango es el rango más grande de un subgrupo abeliano impar que normaliza un subgrupo 2 no trivial, que a menudo (pero no siempre) es el mismo que el rango de una subálgebra de Cartan cuando el group es un grupo de tipo Lie en la característica 2.

Los grupos de rango 1 son los grupos delgados, clasificados por Aschbacher, y los de rango 2 son los notorios grupos cuasi-delgados, clasificados por Aschbacher y Smith. Estos corresponden aproximadamente a grupos de tipo Lie de rangos 1 o 2 sobre campos de característica 2.

Los grupos de rango al menos 3 se subdividen en 3 clases por el teorema de la tricotomía, demostrado por Aschbacher para el rango 3 y por Gorenstein y Lyons para el rango al menos 4. Las tres clases son grupos de tipo GF(2) (clasificados principalmente por Timmesfeld), grupos de "tipo estándar" para algunos primos impares (clasificados por el teorema de Gilman-Griess y el trabajo de varios otros), y grupos de tipo unicidad, donde un resultado de Aschbacher implica que no hay grupos simples. El caso general de rango superior consiste principalmente en los grupos de tipo Lie sobre campos de característica 2 de rango al menos 3 o 4.

Existencia y unicidad de los grupos simples

La parte principal de la clasificación produce una caracterización de cada grupo simple. Entonces es necesario comprobar que existe un grupo simple para cada caracterización y que es único. Esto da una gran cantidad de problemas separados; por ejemplo, las pruebas originales de existencia y singularidad del grupo de monstruos sumaban unas 200 páginas, y la identificación de los grupos Ree por parte de Thompson y Bombieri fue una de las partes más difíciles de la clasificación. Muchas de las pruebas de existencia y algunas de las pruebas de unicidad para los grupos esporádicos utilizaron originalmente cálculos informáticos, la mayoría de los cuales han sido reemplazados desde entonces por pruebas manuales más cortas.

Historia de la prueba

El programa de Gorenstein

En 1972, Gorenstein (1979, Apéndice) anunció un programa para completar la clasificación de grupos finitos simples, que constaba de los siguientes 16 pasos:

Grupos de bajo nivel. Esto fue hecho esencialmente por Gorenstein y Harada, que clasificaron los grupos con sección 2-rank en la mayoría 4. La mayoría de los casos de 2-rank a la mayoría de 2 habían sido hechos para cuando Gorenstein anunció su programa.
La semisimplicidad de 2 capas. El problema es demostrar que la 2 capas del centralizador de una involución en un grupo simple es semisimple.
Forma estándar en rara característica. Si un grupo tiene una involución con un 2-componente que es un grupo de tipo Lie de características extrañas, el objetivo es mostrar que tiene un centralizador de la involución en "forma estándar" que significa que un centralizador de la involución tiene un componente que es de tipo Lie en rara característica y también tiene un centralizador de 2-rank 1.
Clasificación de grupos de tipo extraño. El problema es mostrar que si un grupo tiene un centralizador de la involución en "forma estándar" entonces es un grupo de tipo Lie de características extrañas. Esto fue resuelto por el teorema clásico de la involución de Aschbacher.
Forma cuasi estándar
Involuciones centrales
Clasificación de grupos alternos.
Algunos grupos esporádicos
Grupos gruesos. Los grupos finitos delgados simples, aquellos con 2 locales p-Arranque a la mayoría de 1 para impares primos p, fueron clasificados por Aschbacher en 1978
Grupos con un subgrupo fuertemente agrupado para p extraño
El método de funerario de señalización para los primos impares. El problema principal es probar un teorema de functor de señalizador para functores de señalización no compatibles. Esto fue resuelto por McBride en 1982.
Grupos de características p tipo. Este es el problema de los grupos con p- Subgrupo de 2 locales con p raro, que fue manejado por Aschbacher.
Grupos de Quasithin. Un grupo de quasithin es uno cuyos subgrupos 2 locales tienen p-Arranque a la mayoría 2 para todos los primos impares p, y el problema es clasificar los simples de tipo 2 característica. Esto fue completado por Aschbacher y Smith en 2004.
Grupos de bajo 2-local 3-rank. Esto fue esencialmente resuelto por el teorema tricotomía de Aschbacher para grupos con e()G)=3. El cambio principal es que 2-local 3-rank es reemplazado por 2-local p- Arranca para los mejores.
Centralizadores de 3 elementos en forma estándar. Esto fue hecho esencialmente por el teorema de Tricotomía.
Clasificación de grupos simples de tipo 2 característico. Esto fue manejado por el teorema Gilman-Griess, con 3 elementos reemplazados por p- Elementos para los mejores.

Cronología de la prueba

Muchos de los elementos de la lista a continuación están tomados de Solomon (2001). La fecha dada suele ser la fecha de publicación de la prueba completa de un resultado, que a veces es varios años posterior a la prueba o el primer anuncio del resultado, por lo que algunos de los elementos aparecen en el "incorrecto" ordenar.

Fecha de publicación
1832	Galois introduce subgrupos normales y encuentra los grupos simples A_n ()n ≥ 5) y PSL2(Fp) (p ≥ 5)
1854	Cayley define grupos abstractos
1861	Mathieu describe los dos primeros grupos de Mathieu M₁₁, M₁₂, los primeros grupos simples esporádicos, y anuncia la existencia de M₂₄.
1870	Jordania enumera algunos grupos simples: los distintos lineales especiales de alternancia y proyecto, y destaca la importancia de los grupos simples.
1872	Sylow prueba los teoremas Sylow
1873	Mathieu presenta tres más Grupos de Mathieu M₂₂, M₂₃, M₂₄.
1892	Hölder demuestra que el orden de cualquier grupo finito nonabeliano debe ser un producto de al menos cuatro (no necesariamente distintos) primos, y pide una clasificación de grupos simples finitos.
1893	Cole clasifica grupos simples de orden hasta 660
1896	Frobenius y Burnside comienzan el estudio de la teoría del carácter de grupos finitos.
1899	Burnside clasifica los grupos simples de tal manera que el centralizador de cada involución es un 2-grupo abeliano elemental no-trivial.
1901	Frobenius demuestra que un grupo Frobenius tiene un núcleo Frobenius, por lo que en particular no es simple.
1901	Dickson define grupos clásicos sobre campos finitos arbitrarios, y grupos excepcionales de tipo G₂ sobre campos de extraña característica.
1901	Dickson presenta los excepcionales grupos finitos simples de tipo E₆.
1904	Burnside utiliza la teoría del personaje para probar el teorema de Burnside que el orden de cualquier grupo finito no abeliano simple debe ser divisible por al menos 3 primas diferentes.
1905	Dickson presenta grupos simples de tipo G₂ sobre campos incluso característicos
1911	Burnside conjeturas que cada grupo finito no abeliano simple tiene incluso orden
1928	Hall demuestra la existencia de subgrupos Hall de grupos solvables
1933	Hall comienza su estudio de p-grupos
1935	Brauer comienza el estudio de caracteres modulares.
1936	Zassenhaus clasifica agudamente grupos de permutación 3-transitivos
1938	Fitting presenta el subgrupo Fitting y prueba el teorema de Fitting que para grupos solvables el subgrupo Fitting contiene su centralizador.
1942	Brauer describe los caracteres modulares de un grupo divisible por un principio a la primera potencia.
1954	Brauer clasifica grupos simples con GL₂()F_q) como el centralizador de una involución.
1955	El teorema Brauer-Fowler implica que el número de grupos simples finitos con centralizador dado de la involución es finito, sugiriendo un ataque a la clasificación utilizando centralizadores de involuciones.
1955	Chevalley presenta los grupos de Chevalley, en particular introduciendo grupos simples excepcionales F₄, E₇, y E₈.
1956	El teorema Hall-Higman describe las posibilidades para el mínimo polinomio de un elemento de orden de potencia máxima para una representación de un grupo p-solvable.
1957	Suzuki muestra que todos los grupos de CA simples finitos de orden extraño son cíclicos.
1958	El teorema Brauer–Suzuki–Wall caracteriza a los grupos lineales especiales de la categoría 1, y clasifica a los simples grupos CA.
1959	Steinberg presenta a los grupos Steinberg, dando algunos nuevos grupos simples finitos, de tipos ³D₄ y ²E₆ (este último fue encontrado independientemente al mismo tiempo por Tits).
1959	El teorema Brauer-Suzuki sobre grupos con cuaternión generalizado Sylow 2-subgrupos muestra en particular que ninguno de ellos es simple.
1960	Thompson demuestra que un grupo con un automorfismo sin puntos fijos de orden primario es nilpotent.
1960	Feit, Marshall Hall y Thompson muestran que todos los grupos de CN simples finitos de orden extraño son cíclicos.
1960	Suzuki presenta los grupos Suzuki, con tipos ²B₂.
1961	Ree presenta los grupos Ree, con tipos ²F₄ y ²G₂.
1963	Feit y Thompson prueban el extraño orden teorema.
1964	Tits presenta pares BN para grupos de tipo Lie y encuentra el grupo Tits
1965	El teorema Gorenstein-Walter clasifica grupos con un subgrupo Sylow 2 dihedral.
1966	Glauberman prueba el teorema Z*
1966	Janko presenta al grupo Janko J1, el primer nuevo grupo esporádico durante aproximadamente un siglo.
1968	Glauberman prueba el teorema ZJ
1968	Higman y Sims presentan al grupo Higman-Sims
1968	Conway presenta los grupos Conway
1969	El teorema de Walter clasifica grupos con Abelian Sylow 2-subgrupos
1969	Introducción del grupo esporádico Suzuki, el grupo Janko J2, el grupo Janko J3, el grupo McLaughlin y el grupo Held.
1969	Gorenstein presenta hongos de señalización basados en las ideas de Thompson.
1970	MacWilliams muestra que los 2 grupos sin subgrupo abeliano normal del rango 3 tienen sección 2-rank a la mayoría 4. (Los grupos simples con subgrupos Sylow que satisfacen esta última condición fueron clasificados posteriormente por Gorenstein y Harada.)
1970	Bender presentó el subgrupo de Fitting generalizado
1970	El teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein clasifica grupos con cuasi-dihedral o Sylow 2-subgrupos, completando la clasificación de los grupos simples de 2-rank a la mayoría 2
1971	Fischer presenta los tres grupos Fischer
1971	Thompson clasifica los pares cuadráticos
1971	Bender clasifica grupo con un subgrupo fuertemente incrustado
1972	Gorenstein propone un programa de 16 pasos para clasificar grupos simples finitos; la clasificación final sigue su esquema de cerca.
1972	Lyons presenta el grupo Lyon
1973	Rudvalis presenta el grupo Rudvalis
1973	Fischer descubre el grupo de monstruos del bebé (inédito), que Fischer y Griess utilizan para descubrir el grupo de monstruos, que a su vez conduce Thompson al grupo esporádico Thompson y Norton al grupo Harada-Norton (también encontrado de una manera diferente por Harada).
1974	Thompson clasifica N-grupos, grupos todos cuyos subgrupos locales son solvables.
1974	El teorema de Gorenstein-Harada clasifica los grupos simples de sección 2-rank a la mayoría de 4, dividiendo los grupos simples finitos restantes en los de tipo componente y los de tipo 2 característicos.
1974	Tits muestra que grupos con pares BN de rango al menos 3 son grupos de tipo Lie
1974	Aschbacher clasifica a los grupos con un núcleo 2-generado
1975	Gorenstein y Walter prueban el teorema de equilibrio L
1976	Glauberman demuestra que el funerario de señalizador solucionable teorem
1976	Aschbacher demuestra el teorema del componente, mostrando aproximadamente que grupos de tipo extraño que satisfacen algunas condiciones tienen un componente en forma estándar. Los grupos con un componente de forma estándar fueron clasificados en una gran colección de papeles por muchos autores.
1976	O'Nan presenta el grupo O'Nan
1976	Janko presenta al grupo Janko J4, el último grupo esporádico que será descubierto
1977	Aschbacher caracteriza los grupos de Lie tipo de extraña característica en su teorema de involución clásica. Después de este teorema, que en cierto sentido se refiere a "la mayoría" de los grupos simples, se sintió generalmente que el final de la clasificación estaba a la vista.
1978	Timmesfeld prueba el O₂ teorema especial, rompiendo la clasificación de grupos de tipo GF(2) en varios problemas más pequeños.
1978	Aschbacher clasifica los grupos finitos delgados, que son en su mayoría 1 grupos de Lie tipo sobre campos de características incluso.
1981	Bombieri utiliza la teoría de eliminación para completar el trabajo de Thompson sobre la caracterización de grupos Ree, uno de los pasos más difíciles de la clasificación.
1982	McBride prueba el teorema de functor de señalizador para todos los grupos finitos.
1982	Griess construye el grupo monstruo a mano
1983	El teorema Gilman-Griess clasifica grupos de tipo 2 característicos y clasifica al menos 4 con componentes estándar, uno de los tres casos del teorema tricotomía.
1983	Aschbacher demuestra que ningún grupo finito satisface la hipótesis del caso de singularidad, uno de los tres casos dados por el teorema de tricotomía para grupos de características 2 tipo.
1983	Gorenstein y Lyons prueban el teorema de tricotomía para grupos de 2 tipos y filas características al menos 4, mientras que Aschbacher hace el caso del rango 3. Esto divide estos grupos en 3 subcases: el caso de singularidad, grupos de tipo GF(2) y grupos con un componente estándar.
1983	Gorenstein anuncia que la prueba de la clasificación es completa, algo prematuramente como la prueba del caso de la cuastia fue incompleta.
1994	Gorenstein, Lyon y Salomón comienzan a publicar la clasificación revisada
2004	Aschbacher y Smith publican su trabajo en grupos de quasithin (que son en su mayoría grupos de Lie tipo de rango en la mayoría de 2 sobre campos de características incluso), llenando la última brecha en la clasificación conocida en ese momento.
2008	Harada y Salomón llenan una brecha menor en la clasificación describiendo grupos con un componente estándar que es una cubierta del grupo Mathieu M22, un caso que fue omitido accidentalmente de la prueba de la clasificación debido a un error en el cálculo del multiplicador Schur de M22.
2012	Gonthier y colaboradores anuncian una versión computarizada del teorema Feit-Thompson usando el asistente de pruebas Coq.

Clasificación de segunda generación

La prueba del teorema, tal como estaba alrededor de 1985, se puede llamar primera generación. Debido a la extrema longitud de la prueba de primera generación, se ha dedicado mucho esfuerzo a encontrar una prueba más simple, llamada prueba de clasificación de segunda generación. Este esfuerzo, llamado 'revisionismo', fue dirigido originalmente por Daniel Gorenstein.

Hasta 2021, se han publicado nueve volúmenes de la prueba de segunda generación (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021). En 2012, Solomon estimó que el proyecto necesitaría otros 5 volúmenes, pero dijo que el progreso en ellos era lento. Se estima que la nueva prueba eventualmente llenará aproximadamente 5,000 páginas. (Esta longitud se debe en parte a que la prueba de segunda generación está escrita en un estilo más relajado). Sin embargo, con la publicación del volumen 9 de la serie GLS, e incluyendo la contribución de Aschbacher-Smith, esta estimación ya se alcanzó, con varios más. volúmenes aún en preparación (el resto de lo que originalmente estaba destinado para el volumen 9, más los volúmenes proyectados 10 y 11). Aschbacher y Smith escribieron sus dos volúmenes dedicados al caso cuasi-fino de tal manera que esos volúmenes pueden ser parte de la prueba de segunda generación.

Gorenstein y sus colaboradores han dado varias razones por las que es posible una prueba más sencilla.

Lo más importante es que ahora se conoce la declaración correcta y final del teorema. Se pueden aplicar técnicas más sencillas que se sabe que son adecuadas para los tipos de grupos que sabemos que son simples finitos. En cambio, los que trabajaban en la prueba de primera generación no sabían cuántos grupos esporádicos había, y de hecho algunos de los grupos esporádicos (por ejemplo, los grupos de Janko) fueron descubiertos al probar otros casos del teorema de clasificación. Como resultado, muchas de las piezas del teorema se probaron utilizando técnicas excesivamente generales.
Debido a que la conclusión fue desconocida, la prueba de primera generación consiste en muchos teoremas independientes, que se ocupan de casos especiales importantes. Gran parte del trabajo de probar estos teoremas se dedicó al análisis de numerosos casos especiales. Dada una prueba más grande y orquestada, tratar con muchos de estos casos especiales puede posponerse hasta que se puedan aplicar los supuestos más poderosos. El precio pagado en virtud de esta estrategia revisada es que estos teoremas de primera generación ya no tienen pruebas comparativamente cortas, sino que dependen de la clasificación completa.
Muchos teoremas de primera generación superponen, y así dividen los casos posibles de manera ineficiente. Como resultado, las familias y las subfamilias de grupos simples finitos fueron identificadas múltiples veces. La prueba revisada elimina estas redundancias basándose en una subdivisión diferente de casos.
Los teóricos del grupo finito tienen más experiencia en este tipo de ejercicio, y tienen nuevas técnicas a su disposición.

Aschbacher (2004) ha llamado al trabajo sobre el problema de clasificación de Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth y algunos otros, un programa de tercera generación. Uno de los objetivos de esto es tratar a todos los grupos en la característica 2 de manera uniforme utilizando el método de amalgama.

¿Por qué la prueba es tan larga?

Gorenstein ha discutido algunas de las razones por las que podría no haber una prueba corta de la clasificación similar a la clasificación de los grupos de Lie compactos.

La razón más obvia es que la lista de grupos simples es bastante complicada: con 26 grupos esporádicos es probable que haya muchos casos especiales que tienen que ser considerados en cualquier prueba. Hasta ahora nadie ha encontrado todavía una descripción uniforme limpia de los grupos simples finitos similares a la parametrización de los grupos compactos de Lie por diagramas de Dynkin.
Atiyah y otros han sugerido que la clasificación debe simplificarse mediante la construcción de un objeto geométrico en el que los grupos actúan y luego clasifican estas estructuras geométricas. El problema es que nadie ha podido sugerir una manera fácil de encontrar tal estructura geométrica asociada a un grupo simple. En cierto sentido, la clasificación funciona encontrando estructuras geométricas como BN-pairs, pero esto sólo llega al final de un análisis muy largo y difícil de la estructura de un grupo simple finito.
Otra sugerencia para simplificar la prueba es hacer un mayor uso de la teoría de la representación. El problema aquí es que la teoría de la representación parece requerir un control muy estricto sobre los subgrupos de un grupo para trabajar bien. Para grupos de rango pequeño, uno tiene este control y la teoría de la representación funciona muy bien, pero para grupos de mayor rango nadie ha logrado utilizarlo para simplificar la clasificación. En los primeros días de la clasificación, hubo un esfuerzo considerable para utilizar la teoría de la representación, pero esto nunca logró mucho éxito en el caso de rango superior.

Consecuencias de la clasificación

Esta sección enumera algunos resultados que se han probado utilizando la clasificación de grupos finitos simples.

La conjetura Schreier
The Signalizer functor theorem
La conjetura B
El teorema Schur-Zassenhaus para todos los grupos (aunque esto solo utiliza el teorema Feit-Thompson).
Un grupo de permutación transitiva en un conjunto finito con más de 1 elemento tiene un elemento libre de puntos fijos del orden de potencia principal.
La clasificación de 2 grupos de permutación transitiva.
La clasificación de grupos de permutación de rango 3.
La conjetura de Sims
Conjetura de Frobenius sobre el número de soluciones xⁿ = 1.

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