Clase (teoría de conjuntos)

En la teoría de conjuntos y sus aplicaciones en las matemáticas, una clase es una colección de conjuntos (o, a veces, otros objetos matemáticos) que se pueden definir sin ambigüedades mediante una propiedad que todos sus miembros comparten. Las clases actúan como una forma de tener colecciones similares a conjuntos mientras se diferencian de los conjuntos para evitar la paradoja de Russell (ver § Paradojas). La definición precisa de "clase" depende del contexto fundacional. En el trabajo sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la noción de clase es informal, mientras que otras teorías de conjuntos, como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, axiomatizan la noción de "clase propia", por ejemplo, como entidades que no sean miembros de otra entidad.

Una clase que no es un conjunto (informalmente en Zermelo–Fraenkel) se denomina clase propia, y una clase que es un conjunto a veces se denomina clase pequeña. Por ejemplo, la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los conjuntos son clases propias en muchos sistemas formales.

En la escritura teórica de conjuntos de Quine, la frase "última clase" se usa a menudo en lugar de la frase "clase adecuada" enfatizando que en los sistemas que considera, ciertas clases no pueden ser miembros y, por lo tanto, son el término final en cualquier cadena de membresía a la que pertenecen.

Fuera de la teoría de conjuntos, la palabra "clase" a veces se usa como sinónimo de "conjunto". Este uso data de un período histórico en el que las clases y los conjuntos no se distinguían como en la terminología moderna de la teoría de conjuntos. Muchas discusiones sobre "clases" en el siglo XIX y antes se refieren en realidad a conjuntos, o más bien tal vez tienen lugar sin tener en cuenta que ciertas clases pueden dejar de ser conjuntos.

Ejemplos

La colección de todas las estructuras algebraicas de un tipo dado normalmente será una clase adecuada. Los ejemplos incluyen la clase de todos los grupos, la clase de todos los espacios vectoriales y muchos otros. En la teoría de categorías, una categoría cuya colección de objetos forma una clase propia (o cuya colección de morfismos forma una clase propia) se denomina categoría grande.

Los números surrealistas son una clase propia de objetos que tienen las propiedades de un campo.

Dentro de la teoría de conjuntos, muchas colecciones de conjuntos resultan ser clases adecuadas. Los ejemplos incluyen la clase de todos los conjuntos, la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los números cardinales.

Una forma de probar que una clase es propia es colocarla en biyección con la clase de todos los números ordinales. Este método se utiliza, por ejemplo, en la demostración de que no existe una red completa libre en tres o más generadores.

Paradojas

Las paradojas de la teoría ingenua de conjuntos se pueden explicar en términos de la suposición tácita inconsistente de que "todas las clases son conjuntos". Con un fundamento riguroso, estas paradojas sugieren pruebas de que ciertas clases son propias (es decir, que no son conjuntos). Por ejemplo, la paradoja de Russell sugiere una prueba de que la clase de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos es propia, y la paradoja de Burali-Forti sugiere que la clase de todos los números ordinales es propia. Las paradojas no surgen con las clases porque no existe una noción de clases que contengan clases. De lo contrario, se podría, por ejemplo, definir una clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas, lo que conduciría a una paradoja de Russell para las clases. Un conglomerado, por otro lado, puede tener clases propias como miembros, aunque la teoría de los conglomerados aún no está bien establecida.

Clases de teorías formales de conjuntos

La teoría del conjunto ZF no formaliza la noción de clases, por lo que cada fórmula con clases debe ser reducida sintacticamente a una fórmula sin clases. Por ejemplo, se puede reducir la fórmula A={}x▪ ▪ x=x}{displaystyle A={xmid x=x}} a О О x()x▪ ▪ AAdministración Administración x=x){displaystyle forall x(xin Aleftrightarrow x=x)}. Semánticamente, en un grupo metálico, las clases se pueden describir como clases de equivalencia de fórmulas lógicas: Si A{displaystyle {fnMithcal}} es una estructura que interpreta ZF, luego el lenguaje objeto "expresión de clase-constructora" {}x▪ ▪ φ φ }{displaystyle {xmid phi}} se interpreta en A{displaystyle {fnMithcal}} por la colección de todos los elementos del dominio A{displaystyle {fnMithcal}} on which λ λ xφ φ {displaystyle lambda xphi } sostiene; por lo tanto, la clase se puede describir como el conjunto de todos los predicados equivalentes a φ φ {displaystyle phi } (que incluye φ φ {displaystyle phi } en sí mismo). En particular, se puede identificar la "clase de todos los conjuntos" con el conjunto de todos los predicados equivalentes a x=x.{displaystyle x=x.}

Debido a que las clases no tienen ningún estatus formal en la teoría de ZF, los axiomas de ZF no se aplican inmediatamente a las clases. Sin embargo, si un cardenal inaccesible κ κ {displaystyle kappa } es asumido, entonces los conjuntos de rango más pequeño forman un modelo de ZF (un universo Grothendieck), y sus subconjuntos pueden ser considerados como "clases".

En ZF, el concepto de una función también se puede generalizar a las clases. Una función de clase no es una función en el sentido habitual, ya que no es un conjunto; es más bien una fórmula CCPR CCPR ()x,Sí.){displaystyle Phi (x,y)} con la propiedad que para cualquier conjunto x{displaystyle x} no hay más de un conjunto Sí.{displaystyle y} tal que el par ()x,Sí.){displaystyle (x,y)} satisfizo CCPR CCPR .{displaystyle Phi.} Por ejemplo, la asignación de funciones de clase a cada conjunto a su sucesor puede ser expresada como la fórmula Sí.=x∪ ∪ {}x}.{displaystyle y=xcup {x} El hecho de que el par ordenado ()x,Sí.){displaystyle (x,y)} satisfizo CCPR CCPR {displaystyle Phi } se puede expresar con la notación de mano corta CCPR CCPR ()x)=Sí..{displaystyle Phi (x)=y.}

Los axiomas de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) adoptan otro enfoque; las clases son los objetos básicos en esta teoría, y un conjunto se define entonces como una clase que es un elemento de alguna otra clase. Sin embargo, los axiomas de existencia de clases de NBG están restringidos, de modo que solo cuantifican sobre conjuntos, en lugar de sobre todas las clases. Esto hace que NBG sea una extensión conservadora de ZF.

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley admite clases propias como objetos básicos, como NBG, pero también permite la cuantificación sobre todas las clases propias en sus axiomas de existencia de clase. Esto hace que MK sea estrictamente más fuerte que NBG y ZF.

En otras teorías de conjuntos, como New Foundations o la teoría de semiconjuntos, el concepto de "clase propia" todavía tiene sentido (no todas las clases son conjuntos) pero el criterio de conjunto no está cerrado bajo subconjuntos. Por ejemplo, cualquier teoría de conjuntos con un conjunto universal tiene clases propias que son subclases de conjuntos.