Círculo de nueve puntos

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Círculo construido a partir de un triángulo

Los nueve puntos

Triángulos laterales

Altitudes (concurre en el orthocenter)

Serie de líneas perpendicular a los puntos intermedios laterales (concurre en el circumcenter)

Círculo de nueve puntos (centrado en el centro de nueve puntos)

Tenga en cuenta que la construcción todavía funciona incluso si el ortocenter y el circumcenter caen fuera del triángulo.

En geometría, el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado. Se llama así porque pasa por nueve puntos concíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son:

El punto medio de cada lado del triángulo
El pie de cada altitud
El punto medio del segmento de la línea de cada vértice del triángulo al orthocenter (donde se encuentran las tres altitudes; estos segmentos de línea se encuentran en sus respectivas altitudes).

El círculo de nueve puntos también se conoce como círculo de Feuerbach (por Karl Wilhelm Feuerbach), círculo de Euler (por Leonhard Euler), el círculo de Terquem (después de Olry Terquem), el círculo de seis puntos, el círculo de doce puntos, el $círculo de n$ puntos, el círculo medioescrito, el círculo medio o el circum-midcircle. Su centro es el centro de nueve puntos del triángulo.

Nueve puntos significativos

El diagrama anterior muestra los nueve puntos significativos del círculo de nueve puntos. Los puntos $D, E, F$ son los puntos medios de los tres lados del triángulo. Los puntos $G, H, I$ son los pies de las alturas del triángulo. Los puntos $J, K, L$ son los puntos medios de los segmentos de línea entre cada intersección de vértice de altitud (puntos $A, B, C$ ) y el ortocentro del triángulo (punto $S$ ).

Para un triángulo acutángulo, seis de los puntos (los puntos medios y los pies de altura) se encuentran en el triángulo mismo; para un triángulo obtuso, dos de las alturas tienen pies fuera del triángulo, pero estos pies aún pertenecen al círculo de nueve puntos.

Descubrimiento

Aunque se le atribuye su descubrimiento, Karl Wilhelm Feuerbach no descubrió por completo el círculo de nueve puntos, sino el círculo de seis puntos, reconociendo el significado de los puntos medios de los tres lados del triángulo y los pies del alturas de ese triángulo. (Ver Fig. 1, puntos $D, E, F, G, H, I$ ). (En una fecha ligeramente anterior, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían establecido y demostrado el mismo teorema.) Pero poco después de Feuerbach, el propio matemático Olry Terquem demostró la existencia del círculo. Fue el primero en reconocer el significado adicional de los tres puntos medios entre los vértices del triángulo y el ortocentro. (Ver Fig. 1, puntos $J, K, L$ ). Así, Terquem fue el primer usar el nombre círculo de nueve puntos.

Círculos tangentes

El círculo de nueve puntos es tangente al incircle y excircles

En 1822, Karl Feuerbach descubrió que el círculo de nueve puntos de cualquier triángulo es tangente externamente a los tres círculos externos de ese triángulo e internamente tangente a su círculo interno; este resultado se conoce como teorema de Feuerbach. Demostró que:

... el círculo que pasa a través de los pies de las altitudes de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangente a los tres lados del triángulo...

(Feuerbach 1822) error harv: sin destino: CITEREFFeuerbach1822 (ayuda)

El centro del triángulo en el que se tocan la circunferencia inscrita y la circunferencia de nueve puntos se llama punto de Feuerbach.

Otras propiedades del círculo de nueve puntos

El radio del círculo de un triángulo es dos veces el radio del círculo de nueve puntos de ese triángulo.

Gráfico 3

Un círculo de nueve puntos biseca un segmento de línea que va desde el ortocentro del triángulo correspondiente a cualquier punto en su círculo circunscrito.

Gráfico 4

El centro $N$ del círculo de nueve puntos bisectes un segmento de la ortocenter $H$ al circumcenter $O$ (haciendo el ortocentro un centro de dilatación a ambos círculos):

{displaystyle {overline {ON}}={overline {NH}}.}

El centro de nueve puntos $N$ es una cuarta parte del camino a lo largo de la línea Euler del centroide $G$ al ortocentro $H$ :

{displaystyle {overline {HN}}=3{overline {NG}}.}

Vamos $\cdot$ ser el círculo de nueve puntos del triángulo diagonal de un cuadrilátero cíclico. El punto de intersección de los bimedios del cuadrilátero cíclico pertenece al círculo de nueve puntos.

ABCD

es un cuadrilátero cíclico.

 EFG

es el triángulo diagonal de

ABCD

. El punto

T

de intersección de los bimedianos de

ABCD

pertenece al círculo de nueve puntos

 EFG

El círculo de nueve puntos de un triángulo de referencia es el círculo de ambos el triángulo medial del triángulo de referencia (con vértices en los puntos intermedios de los lados del triángulo de referencia) y su triángulo ortónico (con vértices a los pies de las alturas del triángulo de referencia).
El centro de todas las hiperbolas rectangulares que pasan por los vértices de un triángulo se encuentra en su círculo de nueve puntos. Ejemplos incluyen las conocidas hiperbolas rectangulares de Keipert, Jeřábek y Feuerbach. Este hecho se conoce como el teorema conic Feuerbach.

El círculo de nueve puntos y los 16 círculos tangentes del sistema ortocéntrico

Si un sistema ortocéntrico de cuatro puntos $A, B, C, H$ se da, entonces los cuatro triángulos formados por cualquier combinación de tres puntos distintos de ese sistema todos comparten el mismo círculo de nueve puntos. Esta es una consecuencia de la simetría: laterales de un triángulo adyacente a un vértice que es un ortocenter a otro triángulo son segmentos de ese segundo triángulo. Un tercer punto medio está en su lado común. (Los mismos 'midpoints' que definen círculos separados de nueve puntos, esos círculos deben ser concurrentes.)
En consecuencia, estos cuatro triángulos tienen circunferencias con radios idénticos. Vamos $N$ representan el centro común de nueve puntos y $P$ ser un punto arbitrario en el plano del sistema ortocéntrico. Entonces...

{displaystyle {overline {NA}}^{2}+{overline {NB}}^{2}+{overline {NC}}^{2}+{overline {NH}}^{2}=3R^{2}}

Donde

R

es el circunradius común; y si

{displaystyle {overline {PA}}^{2}+{overline {PB}}^{2}+{overline {PC}}^{2}+{overline {PH}}^{2}=K^{2},}

Donde

K

se mantiene constante, luego el lacus de

P

es un círculo centrado en

N

con un radio

{displaystyle {tfrac {1}{2}}{sqrt {K^{2}-3R^{2}}}.}

P

enfoques

N

el locus de

P

para la constante correspondiente

K

, colapsa

N

el centro de nueve puntos. Además, el círculo de nueve puntos es el locus de

P

tales que

{displaystyle {overline {PA}}^{2}+{overline {PB}}^{2}+{overline {PC}}^{2}+{overline {PH}}^{2}=4R^{2}.}

Los centros del incircle y excircles de un triángulo forman un sistema ortocéntrico. El círculo de nueve puntos creado para ese sistema ortocéntrico es el círculo del triángulo original. Los pies de las alturas en el sistema ortocéntrico son los vértices del triángulo original.
Si cuatro puntos arbitrarios $A, B, C, D$ se dan que no forman un sistema ortocéntrico, entonces los círculos de nueve puntos de $ ABC,  BCD,  CDA,  DAB$ concurre en un punto, el punto de Poncelet $A, B, C, D$ . Los seis puntos de intersección restantes de estos círculos de nueve puntos coinciden cada uno con los puntos intermedios de los cuatro triángulos. Cabe destacar que existe un único cónico de nueve puntos, centrado en el centroide de estos cuatro puntos arbitrarios, que pasa por los siete puntos de intersección de estos círculos de nueve puntos. Además, debido al teorema conic Feuerbach mencionado anteriormente, existe un circunconico rectangular único, centrado en el punto de intersección común de los cuatro círculos de nueve puntos, que pasa a través de los cuatro puntos arbitrarios originales, así como los ortocentros de los cuatro triángulos.
Si cuatro puntos $A, B, C, D$ se dan que forma un cuadrilátero cíclico, luego los círculos de nueve puntos de $ ABC,  BCD,  CDA,  DAB$ concurre en el anticentro del cuadrilátero cíclico. Los círculos de nueve puntos son todos congruentes con un radio de la mitad que del círculo del cuadrilátero cíclico. Los círculos de nueve puntos forman un conjunto de cuatro círculos de Johnson. En consecuencia, los cuatro centros de nueve puntos son cíclicos y se encuentran en un círculo congruente con los cuatro círculos de nueve puntos que se centran en el anticentro del cuadrilátero cíclico. Además, el cuadrilátero cíclico formado por los cuatro centros de nueve columnas es homotético a la referencia cuadrilátero cíclico $ABCD$ por un factor de –1⁄2 y su centro homotético $N$ mentiras en la línea que conecta el circumcenter $O$ al anticentro $M$ Donde

{displaystyle {overline {ON}}=2{overline {NM}}.}

El ortopolo de líneas que pasan por el circuncentro se encuentra en el círculo de nueve puntos.
El círculo de un triángulo, su círculo de nueve puntos, su círculo polar, y el círculo de su triángulo tangencial son coaxales.
Las coordenadas Trilinear para el centro de la hiperbola Kiepert son

{displaystyle {frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a}}:{frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{b}}:{frac {(a^{2}-b^{2})^{2}}{c}}}

Las coordenadas Trilinear para el centro del Jeřábek hyperbola son

{displaystyle cos(A)sin ^{2}(B-C):cos(B)sin ^{2}(C-A):cos(C)sin ^{2}(A-B)}

Letting $x : Sí. : z$ ser un punto variable en coordenadas trilinear, una ecuación para el círculo de nueve puntos es

{displaystyle x^{2}sin 2A+y^{2}sin 2B+z^{2}sin 2C-2(yzsin A+zxsin B+xysin C)=0.}

Generalización

El círculo es una instancia de una sección cónica y el círculo de nueve puntos es una instancia de la cónica general de nueve puntos que se ha construido con relación a un triángulo $△ ABC$ y un cuarto punto $P$ , donde surge la instancia particular del círculo de nueve puntos cuando $P$ es el ortocentro de $△ ABC$ . Los vértices del triángulo y la $P$ determinan un cuadrilátero completo y tres "puntos diagonales" donde los lados opuestos del cuadrilátero se cortan. Hay seis "líneas laterales" en el cuadrilátero; la cónica de nueve puntos corta los puntos medios de estos y también incluye los puntos diagonales. La cónica es una elipse cuando $P$ es interior a $△ ABC$ o en una región que comparte ángulos verticales con el triángulo, pero se produce una hipérbola de nueve puntos cuando $P$ está en uno de las tres regiones adyacentes, y la hipérbola es rectangular cuando P se encuentra en el círculo circunscrito de $△ ABC$ .

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