Círculo

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Curva simple de la geometría euclidiana

A círculo es una forma que consiste de todos los puntos en un plano que están a una distancia determinada desde un punto dado, el centro. Equivalentemente, es la curva trazada por un punto que se mueve en un plano para que su distancia desde un punto dado sea constante. La distancia entre cualquier punto del círculo y el centro se llama el radio. Por lo general, se requiere que el radio sea un número positivo. Un círculo con $r=0$ (un solo punto) es un caso degenerado. Este artículo trata de círculos en la geometría euclidiana, y, en particular, el plano euclidiano, excepto dónde se señala lo contrario.

Específicamente, un círculo es una simple curva cerrada que divide el plano en dos regiones: una interior y otra exterior. En el uso cotidiano, el término "círculo" puede usarse indistintamente para referirse al límite de la figura oa la figura completa, incluido su interior; en un uso estrictamente técnico, el círculo es solo el límite y la figura completa se llama disco.

Un círculo también se puede definir como un tipo especial de elipse en el que los dos focos coinciden, la excentricidad es 0 y los ejes semi-mayor y semi-menor son iguales; o la forma bidimensional que encierra la mayor parte del área por unidad de perímetro al cuadrado, usando cálculo de variaciones.

Definición de Euclides

Un círculo es una figura plana atada por una línea curvada, y de tal manera que todas las líneas rectas dibujadas desde un punto determinado dentro de ella a la línea de atado, son iguales. La línea de fijación se llama su circunferencia y el punto, su centro.
—Euclid, Elementos, Libro I

Definición topológica

En el campo de la topología, un círculo no se limita al concepto geométrico, sino a todos sus homeomorfismos. Dos círculos topológicos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de R3 sobre sí mismo (lo que se conoce como isotopía ambiental).

Terminología

Anulus: un objeto en forma de anillo, la región atada por dos círculos concéntricos.
Arco: cualquier parte conectada de un círculo. Especificar dos puntos finales de un arco y un centro permite dos arcos que juntos componen un círculo completo.
Centro: el punto equidistante de todos los puntos en el círculo.
Corto: un segmento de línea cuyos puntos finales se encuentran en el círculo, dividiendo así un círculo en dos segmentos.
Circunferencia: la longitud de un circuito a lo largo del círculo, o la distancia alrededor del círculo.
Diámetro: un segmento de línea cuyos puntos finales se encuentran en el círculo y que pasa por el centro; o la longitud de tal segmento de línea. Esta es la distancia más grande entre cualquier dos puntos en el círculo. Es un caso especial de un acorde, es decir, el acorde más largo para un círculo dado, y su longitud es el doble de la longitud de un radio.
Disco: la región del avión atado por un círculo.
Objetivo: la región común a (la intersección de) dos discos superpuestos.
Pasante: una línea recta coplanar que no tiene sentido en común con el círculo.
Radius: un segmento de línea que une el centro de un círculo con cualquier punto en el círculo mismo; o la longitud de tal segmento, que es la mitad (la longitud) de un diámetro.
Sector: una región atada por dos radios de igual longitud con un centro común y cualquiera de los dos arcos posibles, determinados por este centro y los puntos finales del radio.
Segmento: una región ligada por un acorde y uno de los arcos que conectan los puntos finales del acorde. La longitud del acorde impone un límite inferior al diámetro de los arcos posibles. A veces el término Serie de sesiones se utiliza sólo para regiones que no contienen el centro del círculo al que pertenece su arco.
Secant: un acorde extendido, una línea recta coplanar, interfiriendo un círculo en dos puntos.
Semicircle: uno de los dos arcos posibles determinado por los puntos finales de un diámetro, tomando su punto medio como centro. En uso común no técnico puede significar el interior de la región bidimensional atada por un diámetro y uno de sus arcos, que se denomina técnicamente medio disco. Un medio disco es un caso especial de un segmento, el más grande.
Tangente: una línea recta coplanar que tiene un solo punto en común con un círculo ("touches el círculo en este punto").

Todas las regiones especificadas pueden considerarse abiertas, es decir, que no contienen sus límites, o cerradas, incluidos sus respectivos límites.

Corto, secant, tangente, radio y diámetro

Arco, sector y segmento

Historia

La brújula en este manuscrito del siglo XIII es un símbolo del acto de creación de Dios. Observe también la forma circular del halo.

La palabra círculo deriva del griego κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos), en sí mismo una metátesis del griego homérico κρίκος (krikos), que significa "aro" o "anillo". Los orígenes de las palabras circo y circuito están estrechamente relacionados.

Pieza circular de seda con imágenes mongol

Círculos en un viejo dibujo astronómico árabe.

El círculo se conoce desde antes del comienzo de la historia registrada. Se habrían observado círculos naturales, como la Luna, el Sol y un tallo corto de una planta que sopla con el viento sobre la arena, que forma un círculo en la arena. El círculo es la base de la rueda, que, con inventos relacionados, como los engranajes, hace posible gran parte de la maquinaria moderna. En matemáticas, el estudio del círculo ha ayudado a inspirar el desarrollo de la geometría, la astronomía y el cálculo.

La ciencia primitiva, en particular la geometría, la astrología y la astronomía, estaba conectada con lo divino para la mayoría de los eruditos medievales, y muchos creían que había algo intrínsecamente 'divino'. o "perfecto" que se podía encontrar en círculos.

Algunos aspectos destacados en la historia del círculo son:

1700 BCE – El papiro Rhind da un método para encontrar el área de un campo circular. El resultado corresponde a 256/81 (3.16049...) como un valor aproximado de π.

Torre Tughrul desde adentro

300 BCE – El libro 3 de los Elementos de Euclides trata las propiedades de los círculos.
En la Séptima Carta de Platón hay una definición detallada y una explicación del círculo. Platón explica el círculo perfecto, y cómo es diferente de cualquier dibujo, palabras, definición o explicación.
1880 CE – Lindemann demuestra que $π$ es trascendental, resolver eficazmente el problema de milenios de cubrir el círculo.

Resultados analíticos

Circunferencia

La relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es $π$ (pi), una constante irracional aproximadamente igual al 3.141592654. Así, la circunferencia C está relacionada con el radio r y el diámetro d por:

C=2pi r=pi d.,

Área encerrada

Zona cerrada por un círculo =

π

× área de la plaza sombreada

Como demostró Arquímedes, en su Medida de un círculo, el área encerrada por un círculo es igual a la de un triángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual a la circunferencia del círculo. s radio, que resulta de $π$ multiplicado por el radio al cuadrado:

mathrm {Area} =pi r^{2}.,

Equivalentemente, denotando el diámetro por d,

mathrm {Area} ={frac {pi d^{2}}{4}}approx 0{.}7854d^{2},

es decir, aproximadamente el 79% del cuadrado que lo circunscribe (cuyo lado tiene una longitud d).

El círculo es la curva plana que encierra el área máxima para una longitud de arco determinada. Esto relaciona el círculo con un problema en el cálculo de variaciones, a saber, la desigualdad isoperimétrica.

Ecuaciones

Coordenadas cartesianas

Círculo de radio r= 1, centroa,b) = (1.2, −0.5)

Ecuación de un círculo

En un sistema de coordenadas cartesianas x–y, el círculo con coordenadas centrales (a, b) y el radio r es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que

{displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.}

Esta ecuación, conocida como la ecuación del círculo, se deriva del teorema de Pitágoras aplicado a cualquier punto del círculo: como se muestra en el diagrama adyacente, el radio es la hipotenusa de un rectángulo triángulo cuyos otros lados miden |x − a| y |y − b|. Si el círculo está centrado en el origen (0, 0), entonces la ecuación se simplifica a

{displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}

Forma paramétrica

La ecuación se puede escribir en forma paramétrica usando las funciones trigonométricas seno y coseno como

{displaystyle x=a+r,cos t,}

{displaystyle y=b+r,sin t,}

donde t es una variable paramétrica en el rango de 0 a 2 $π$ , interpretada geométricamente como el ángulo que forma el rayo de (a, b) a (x, y) con el positivo x.

Una parametrización alternativa del círculo es

{displaystyle x=a+r{frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}

{displaystyle y=b+r{frac {2t}{1+t^{2}}}.}

En esta parametrización, la relación de t a r puede interpretarse geométricamente como la proyección estereográfica de la línea que pasa por el centro paralela a la x eje (ver Sustitución de medio ángulo tangente). Sin embargo, esta parametrización funciona solo si se hace que t se extienda no solo a través de todos los reales sino también a un punto en el infinito; de lo contrario, se omitiría el punto más a la izquierda del círculo.

Forma de 3 puntos

La ecuación del círculo determinada por tres puntos ${displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$ no en una línea se obtiene por una conversión de la forma de 3 puntos de una ecuación de círculo:

{displaystyle {frac {({color {green}x}-x_{1})({color {green}x}-x_{2})+({color {red}y}-y_{1})({color {red}y}-y_{2})}{({color {red}y}-y_{1})({color {green}x}-x_{2})-({color {red}y}-y_{2})({color {green}x}-x_{1})}}={frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}

Forma homogénea

En coordenadas homogéneas, cada sección cónica con la ecuación de un círculo tiene la forma

{displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.}

Se puede demostrar que una sección cónica es un círculo exactamente cuando contiene (cuando se extiende al plano proyectivo complejo) los puntos I(1: i: 0) y J(1: −i: 0). Estos puntos se llaman puntos circulares en el infinito.

Coordenadas polares

En coordenadas polares, la ecuación de un círculo es

{displaystyle r^{2}-2rr_{0}cos(theta -phi)+r_{0}^{2}=a^{2},}

Donde a es el radio del círculo, $(r,theta)$ son las coordenadas polares de un punto genérico en el círculo, y $(r_0, phi)$ son las coordenadas polares del centro del círculo (es decir, r₀ es la distancia del origen al centro del círculo, y φ es el ángulo del anticicio desde el positivo xeje a la línea que conecta el origen al centro del círculo). Para un círculo centrado en el origen, es decir, r₀ = 0, esto reduce a r = a. Cuando r₀ = a, o cuando el origen se encuentra en el círculo, la ecuación se convierte

{displaystyle r=2acos(theta -phi).}

En el caso general, la ecuación se puede resolver para r, dando

{displaystyle r=r_{0}cos(theta -phi)pm {sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}sin ^{2}(theta -phi)}}.}

Tenga en cuenta que sin el signo ±, la ecuación en algunos casos describiría solo la mitad de un círculo.

Plano complejo

En el plano complejo, un círculo con centro en c y radio r tiene la ecuación

{displaystyle |z-c|=r.}

En forma paramétrica, esto se puede escribir como

{displaystyle z=re^{it}+c.}

La ecuación ligeramente generalizada

pzoverline{z} + gz + overline{gz} = q

de verdad p, q complejo g a veces se llama círculo generalizado. Esto se convierte en la ecuación anterior para un círculo con ${displaystyle p=1, g=-{overline {c}}, q=r^{2}-|c|^{2}}$ , desde ${displaystyle |z-c|^{2}=z{overline {z}}-{overline {c}}z-c{overline {z}}+c{overline {c}}}$ . No todos los círculos generalizados son en realidad círculos: un círculo generalizado es un círculo (verdadero) o una línea.

Líneas tangentes

La recta tangente que pasa por un punto P del círculo es perpendicular al diámetro que pasa por P. Si P = (x₁, y₁) y el círculo tiene centro (a, b) y radio r, entonces la recta tangente es perpendicular a la recta de (a , b) a (x₁, y₁), por lo que tiene la forma (x₁ − a)x + (y₁ – b)y = c. Evaluar en (x₁, y₁) determina el valor de c, y el resultado es que la ecuación de la tangente es

{displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}

{displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.}

Si y₁ ≠ b, entonces la pendiente de esta línea es

{displaystyle {frac {dy}{dx}}=-{frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}

Esto también se puede encontrar usando la diferenciación implícita.

Cuando el centro del círculo está en el origen, entonces la ecuación de la recta tangente se convierte en

{displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}

y su pendiente es

frac{dy}{dx} = -frac{x_1}{y_1}.

Propiedades

El círculo es la forma con el área más grande para una longitud determinada del perímetro (ver desigualdad Isoperimétrica).
El círculo es una forma muy simétrica: cada línea a través del centro forma una línea de simetría de reflexión, y tiene simetría rotacional alrededor del centro para cada ángulo. Su grupo de simetría es el grupo ortogonal O(2,R). El grupo de rotaciones es el grupo círculo T.
Todos los círculos son similares.
- Un círculo circunferencia y radio son proporcionales.
- El área encerrada y el cuadrado de su radio son proporcionales.
- Las constantes de proporcionalidad son 2 $π$ y $π$ respectivamente.
El círculo que se centra en el origen con radio 1 se llama círculo de unidad.
- Pensado como un gran círculo de la esfera de unidad, se convierte en el círculo Riemanniano.
A través de tres puntos, no todos en la misma línea, hay un círculo único. En las coordenadas cartesianas es posible dar fórmulas explícitas para las coordenadas del centro del círculo y del radio en términos de las coordenadas de los tres puntos dados. Ver el círculo.

Acorde

Los corchos son equidistas del centro de un círculo si y sólo si son iguales de longitud.
El bisector perpendicular de un acorde pasa por el centro de un círculo; las declaraciones equivalentes derivadas de la singularidad del bisector perpendicular son:
- Una línea perpendicular del centro de un círculo bisects el acorde.
- El segmento de línea a través del centro bisecting un acorde es perpendicular al acorde.
Si un ángulo central y un ángulo inscrito de un círculo están subtended por el mismo acorde y en el mismo lado del acorde, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.
Si dos ángulos están inscritos en el mismo acorde y en el mismo lado del acorde, entonces son iguales.
Si dos ángulos se inscriben en el mismo acorde y en los lados opuestos del acorde, entonces son complementarios.
- Para un cuadrilátero cíclico, el ángulo exterior es igual al ángulo interior opuesto.
Un ángulo inscrito subtended por un diámetro es un ángulo recto (ver el teorema de Thales).
El diámetro es el acorde más largo del círculo.
- Entre todos los círculos con un acorde AB en común, el círculo con radio mínimo es el de diámetro AB.
Si la intersección de dos acordes divide un acorde en longitudes a y b y divide el otro acorde en longitudes c y d, entonces ab = cd.
Si la intersección de dos acordes perpendiculares divide un acorde en longitudes a y b y divide el otro acorde en longitudes c y d, entonces a² + b² + c² + d² iguala el cuadrado del diámetro.
La suma de las longitudes cuadradas de cualquier dos acordes que intersectan en ángulos rectos en un punto dado es la misma que la de cualquier otro dos acordes perpendiculares que intersectan en el mismo punto y se da por 8r² − 4p², donde r es el radio círculo, y p es la distancia desde el punto central hasta el punto de intersección.
La distancia de un punto en el círculo a un tiempo de acorde dado el diámetro del círculo equivale al producto de las distancias desde el punto hasta los extremos del acorde.

Tangente

Una línea dibujada perpendicular a un radio a través del punto final del radio que miente en el círculo es un tangente al círculo.
Una línea dibujada perpendicular a un tangente a través del punto de contacto con un círculo pasa por el centro del círculo.
Dos tangentes siempre se pueden dibujar a un círculo desde cualquier punto fuera del círculo, y estos tangentes son iguales en longitud.
Si un tangente en A y un tangente B intersección en el punto exterior P, luego denotar el centro como O, los ángulos ∠BOA y ∠BPA son complementarios.
Si AD es tangente al círculo en A y si AQ es un acorde del círculo, entonces ∠DAQ = 1/2arc(AQ).

Teoremas

Teorema secante

El teorema del acorde dice que si dos acordes, CD y EB, intersección en A, entonces AC × AD = AB × AE.
Si dos segundos, AE y AD, también cortar el círculo en B y C respectivamente, entonces AC × AD = AB × AE (corollario del teorema del acorde).
Un tangente puede considerarse un caso limitado de un secant cuyos fines son coincidentes. Si un tangente de un punto externo A conoce el círculo en F y un secant desde el punto externo A conoce el círculo en C y D respectivamente, entonces AF² = AC × AD (teorema del agente-secante).
El ángulo entre un acorde y el tangente en uno de sus puntos finales es igual a la mitad del ángulo subtended en el centro del círculo, en el lado opuesto del acorde (ángulo de acordes de carácter).
Si el ángulo subtended por el acorde en el centro es de 90°, entonces l = r √2, donde l es la longitud del acorde, y r es el radio del círculo.
Si dos secuencias se inscriben en el círculo como se muestra a la derecha, entonces la medición del ángulo A es igual a la mitad de la diferencia de las mediciones de los arcos cerrados ( ${displaystyle {overset {frown }{DE}}}$ y ${displaystyle {overset {frown }{BC}}}$ ). Eso es, ${displaystyle 2angle {CAB}=angle {DOE}-angle {BOC}}$ , donde O es el centro del círculo (teorema consagrante-secante).

Ángulos inscritos

Teorema de ángulo inscrito

Un ángulo inscrito (ejemplos son los ángulos azul y verde en la figura) es exactamente la mitad del ángulo central correspondiente (rojo). Por lo tanto, todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco (rosa) son iguales. Los ángulos inscritos en el arco (marrón) son suplementarios. En particular, todo ángulo inscrito que subtiende un diámetro es un ángulo recto (ya que el ángulo central es de 180°).

Sagitta

La sagitta es el segmento vertical.

La sagitta (también conocida como versine) es un segmento de línea trazado perpendicularmente a una cuerda, entre el punto medio de esa cuerda y el arco del círculo.

Dada la longitud y de una cuerda y la longitud x de la sagitta, el teorema de Pitágoras se puede usar para calcular el radio del círculo único que se ajustará alrededor las dos lineas:

{displaystyle r={frac {y^{2}}{8x}}+{frac {x}{2}}.}

Otra prueba de este resultado, que se basa solo en dos propiedades de acordes dadas anteriormente, es la siguiente. Dada una cuerda de longitud y y con sagitta de longitud x, dado que la sagitta corta el punto medio de la cuerda, sabemos que es parte de un diámetro del círculo. Dado que el diámetro es el doble del radio, el "faltante" parte del diámetro es (2r − x) de largo. Usando el hecho de que una parte de una cuerda por la otra parte es igual al mismo producto tomado a lo largo de una cuerda que interseca la primera cuerda, encontramos que (2r − x)x = (y / 2)². Resolviendo para r, encontramos el resultado requerido.

Construcciones con compás y regla

Hay muchas construcciones con regla y compás que dan como resultado círculos.

La más simple y básica es la construcción dado el centro del círculo y un punto en el círculo. Coloque la pata fija de la brújula en el punto central, la pata móvil en el punto del círculo y gire la brújula.

Construcción con diámetro dado

Construir el punto medio $M$ del diámetro.
Construir el círculo con el centro $M$ pasando por uno de los puntos finales del diámetro (también pasará por el otro punto final).

Construir un círculo a través de los puntos A, B y C encontrando los bisectores perpendiculares (rojo) de los lados del triángulo (azul). Sólo se necesitan dos de los tres bisectores para encontrar el centro.

Construcción a través de tres puntos no colineales

Nombre los puntos $P$ , $Q$ y $R$ ,
Construir el bisector perpendicular del segmento $PQ$ .
Construir el bisector perpendicular del segmento $PR$ .
Etiqueta el punto de intersección de estos dos bisectores perpendiculares $M$ . (Se reúnen porque los puntos no son collinear).
Construir el círculo con el centro $M$ pasando por uno de los puntos $P$ , $Q$ o $R$ (también pasará por los otros dos puntos).

Círculo de Apolonio

La definición de un círculo de Apolonio: d₁/d₂ constante

Apolonio de Perge demostró que un círculo también puede definirse como el conjunto de puntos en un plano que tienen una razón constante (distinta de 1) de distancias a dos focos fijos, A y B. (El conjunto de puntos donde las distancias son iguales es la bisectriz perpendicular del segmento AB, una línea). A veces se dice que ese círculo se dibuja sobre dos puntos.

La demostración consta de dos partes. Primero, se debe probar que, dados dos focos A y B y una relación de distancias, cualquier punto P que satisfaga la relación de distancias debe caer en un círculo en particular. Sea C otro punto, que también satisface la razón y se encuentra en el segmento AB. Por el teorema de la bisectriz del ángulo, el segmento de línea PC bisecará el ángulo interior APB, ya que los segmentos son similares:

frac{AP}{BP} = frac{AC}{BC}.

Análogamente, un segmento de línea PD a través de algún punto D en AB extendido biseca el ángulo exterior correspondiente BPQ donde Q está en AP extendido. Dado que los ángulos interior y exterior suman 180 grados, el ángulo CPD es exactamente 90 grados; es decir, un ángulo recto. El conjunto de puntos P tales que el ángulo CPD es un ángulo recto forma un círculo, del cual CD es un diámetro.

Segundo, busca una prueba de que cada punto en el círculo indicado satisface la proporción dada.

Razones cruzadas

Una propiedad de los círculos estrechamente relacionada implica la geometría de la razón cruzada de los puntos en el plano complejo. Si A, B y C son como arriba, entonces el círculo de Apolonio para estos tres puntos es la colección de puntos P para el cual el valor absoluto de la relación cruzada es igual a uno:

{displaystyle {big |}[A,B;C,P]{big |}=1.}

Dicho de otra manera, P es un punto en el círculo de Apolonio si y solo si la razón cruzada [A, B; C, P] está en el círculo unitario en el plano complejo.

Círculos generalizados

Si C es el punto medio del segmento AB, entonces el conjunto de puntos P satisface la condición de Apolonio

frac{|AP|}{|BP|} = frac{|AC|}{|BC|}

no es un círculo, sino una línea.

Por lo tanto, si A, B y C tienen puntos distintos en el plano, entonces el lugar geométrico de los puntos P que satisface la ecuación anterior se denomina "círculo generalizado". Puede ser un círculo verdadero o una línea. En este sentido, una línea es un círculo generalizado de radio infinito.

Inscripción en o circunscripción sobre otras figuras

En cada triángulo se puede inscribir un círculo único, llamado incircunferencia, tal que sea tangente a cada uno de los tres lados del triángulo.

Alrededor de cada triángulo, se puede circunscribir un círculo único, llamado circuncírculo, de modo que atraviese cada uno de los tres vértices del triángulo.

Un polígono tangencial, como un cuadrilátero tangencial, es cualquier polígono convexo dentro del cual se puede inscribir un círculo que es tangente a cada lado del polígono. Todo polígono regular y todo triángulo es un polígono tangencial.

Un polígono cíclico es cualquier polígono convexo sobre el cual se puede circunscribir un círculo, pasando por cada vértice. Un ejemplo bien estudiado es el cuadrilátero cíclico. Todo polígono regular y todo triángulo es un polígono cíclico. Un polígono que es tanto cíclico como tangencial se llama polígono bicéntrico.

Una hipocicloide es una curva que se inscribe en un círculo dado al trazar un punto fijo en un círculo más pequeño que rueda dentro y es tangente al círculo dado.

Caso límite de otras figuras

El círculo se puede ver como un caso límite de cada una de las otras figuras:

Un oval cartesiano es un conjunto de puntos tales que una suma ponderada de las distancias de cualquiera de sus puntos a dos puntos fijos (foci) es una constante. Un elipse es el caso en el que los pesos son iguales. Un círculo es un elipse con una excentricidad de cero, lo que significa que los dos foci coinciden entre sí como el centro del círculo. Un círculo es también un caso especial diferente de un oval cartesiano en el que uno de los pesos es cero.
Un superellipse tiene una ecuación de la forma $left|frac{x}{a}right|^n! + left|frac{y}{b}right|^n! = 1$ positiva a, b, y n. Un supercirco tiene b = a. Un círculo es el caso especial de un supercírculo en el que n = 2.
Un oval Cassini es un conjunto de puntos tales que el producto de las distancias de cualquiera de sus puntos a dos puntos fijos es una constante. Cuando los dos puntos fijos coinciden, un círculo resulta.
Una curva de ancho constante es una figura cuyo ancho, definido como la distancia perpendicular entre dos líneas paralelas distintas que intersectan su límite en un solo punto, es el mismo independientemente de la dirección de esas dos líneas paralelas. El círculo es el ejemplo más simple de este tipo de figura.

En otras normas p

Ilustraciones de círculos de unidad (ver también superellipse) en diferentes

p

-normas (cada vector del origen al círculo de la unidad tiene una longitud de uno, la longitud que se calcula con la longitud-formula de la correspondiente

p

Al definir un círculo como el conjunto de puntos con una distancia fija desde un punto, diferentes formas pueden considerarse círculos bajo diferentes definiciones de distancia. En norma p, la distancia está determinada por

{displaystyle left|xright|_{p}=left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+dotsb +|x_{n}|^{p}right)^{1/p}.}

En la geometría euclidiana, p = 2, dando el familiar

{displaystyle left|xright|_{2}={sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+dotsb +|x_{n}|^{2}}}.}

En la geometría de taxis, p = 1. Los círculos de taxi son cuadrados con lados orientados a un ángulo de 45° a los ejes de coordenadas. Mientras que cada lado tendría longitud $sqrt{2}r$ usando una métrica euclidiana, donde r es el radio del círculo, su longitud en la geometría del taxi es 2r. Así, la circunferencia de un círculo es 8r. Así, el valor de un análogo geométrico a $pi$ 4 en esta geometría. La fórmula para el círculo de unidad en la geometría de taxis es $|x|+|y|=1$ en coordenadas cartesianas y

r={frac {1}{|sin theta |+|cos theta |}}

en coordenadas polares.

Un círculo de radio 1 (usando esta distancia) es la vecindad de von Neumann de su centro.

Un círculo de radio r para la distancia de Chebyshev (L∞ métrica) en un plano es también un cuadrado con lado de longitud 2r paralelo a los ejes de coordenadas, entonces La distancia plana de Chebyshev se puede ver como equivalente por rotación y escala a la distancia plana de taxi. Sin embargo, esta equivalencia entre las métricas L₁ y L_∞ no se generaliza a dimensiones superiores.

Lugar geométrico de la suma constante

Considere un conjunto finito de $n$ puntos en el avión. El locus de puntos tales que la suma de los cuadrados de las distancias a los puntos dados es constante es un círculo, cuyo centro está en el centroide de los puntos dados. Una generalización para mayores poderes de distancia se obtiene si bajo $n$ señala los vértices del polígono regular $P_{n}$ son tomados. El locus de puntos tales que la suma de la ${displaystyle (2m)}$ -el poder de las distancias $d_{i}$ a los vértices de un polígono regular dado con circunradius $R$ es constante es un círculo, si

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, donde

m

=1,2,...

n

-1;

cuyo centro es el centroide del $P_{n}$ .

En el caso del triángulo equilátero, los lugares geométricos de las sumas constantes de las potencias segunda y cuarta son círculos, mientras que para el cuadrado, los lugares geométricos son círculos para las sumas constantes de las potencias segunda, cuarta y sexta. Para el pentágono regular se sumará la suma constante de las octavas potencias de las distancias y así sucesivamente.

Cuadrado del círculo

La cuadratura del círculo es el problema, propuesto por los antiguos geómetras, de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado usando solo un número finito de pasos con compás y regla.

En 1882, se demostró que la tarea era imposible, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass, que prueba que pi ( $π$ ) es un número trascendental, en lugar de un número irracional algebraico; es decir, no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales. A pesar de la imposibilidad, este tema sigue siendo de interés para los entusiastas de las pseudomatemáticas.

Importancia en el arte y el simbolismo

Desde la época de las primeras civilizaciones conocidas, como los asirios y los antiguos egipcios, los del valle del Indo y a lo largo del río Amarillo en China, y las civilizaciones occidentales de la antigua Grecia y Roma durante la Antigüedad clásica, el círculo ha sido utilizado directa o indirectamente en las artes visuales para transmitir el mensaje del artista y expresar ciertas ideas. Sin embargo, las diferencias en la cosmovisión (creencias y cultura) tuvieron un gran impacto en las percepciones de los artistas. Mientras algunos enfatizaban el perímetro del círculo para demostrar su manifestación democrática, otros se enfocaban en su centro para simbolizar el concepto de unidad cósmica. En las doctrinas místicas, el círculo simboliza principalmente la naturaleza infinita y cíclica de la existencia, pero en las tradiciones religiosas representa los cuerpos celestes y los espíritus divinos. El círculo significa muchos conceptos sagrados y espirituales, incluyendo la unidad, el infinito, la totalidad, el universo, la divinidad, el equilibrio, la estabilidad y la perfección, entre otros. Dichos conceptos se han transmitido en culturas de todo el mundo mediante el uso de símbolos, por ejemplo, una brújula, un halo, la vesica piscis y sus derivados (pez, ojo, aureola, mandorla, etc.), el uróboros, la rueda del Dharma, un arcoíris, mandalas, rosetones, etc.

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