Circuito RL

Un circuito de resistencia-inductor (circuito RL), o un filtro RL o una red RL, es un Circuito eléctrico compuesto por resistencias e inductores accionados por una fuente de voltaje o corriente. Un circuito RL de primer orden se compone de una resistencia y un inductor, ya sea en serie impulsados por una fuente de voltaje o en paralelo impulsados por una fuente de corriente. Es uno de los filtros electrónicos analógicos de respuesta infinita al impulso más simples.

Introducción

Los elementos fundamentales del circuito lineal pasivo son la resistencia (R), el condensador (C) y el inductor (L). Estos elementos del circuito se pueden combinar para formar un circuito eléctrico de cuatro formas distintas: el circuito RC, el circuito RL, el circuito LC y el circuito RLC, indicando las abreviaturas qué componentes se utilizan. Estos circuitos exhiben tipos importantes de comportamiento que son fundamentales para la electrónica analógica. En particular, pueden actuar como filtros pasivos.

Sin embargo, en la práctica, los condensadores (y los circuitos RC) suelen preferirse a los inductores, ya que se pueden fabricar más fácilmente y generalmente son físicamente más pequeños, especialmente para componentes de mayor valor.

Tanto el circuito RC como el RL forman un filtro unipolar. Dependiendo de si el elemento reactivo (C o L) está en serie con la carga o en paralelo con la carga, se determinará si el filtro es de paso bajo o de paso alto.

Con frecuencia, los circuitos RL se utilizan como fuentes de alimentación de CC para amplificadores de RF, donde el inductor se utiliza para pasar corriente de polarización de CC y bloquear el retorno de RF a la fuente de alimentación.

Impedancia compleja

La impedancia compleja Z_L (en ohmios) de un inductor con inductancia L (en henries) es

ZL=Ls.{displaystyle Z_{L}=Ls,.}

La frecuencia compleja s es un número complejo,

s=σ σ +j⋅ ⋅ ,{displaystyle s=sigma +jomega ,}

dónde

• j representa la unidad imaginaria: j² = 1 -,
• σ es la constante de decaimiento exponencial (en radians por segundo), y
• ⋅ es la frecuencia angular (en radians por segundo).

Funciones propias

Las funciones propias de valores complejos de cualquier sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) tienen las siguientes formas:

V()t)=Aest=Ae()σ σ +j⋅ ⋅ )tA=Aejφ φ ⇒ ⇒ V()t)=Aejφ φ e()σ σ +j⋅ ⋅ )t=Aeσ σ tej()⋅ ⋅ t+φ φ ).{displaystyle {begin{aligned}mathbf {V} (t) limit=mathbf {A} e^{st}=mathbf {A} e^{(sigma +jomega)t}Mathbf {A}=Ae^{jphi }\\\\sigma +jomega)t}\\\sigma}t=Ae^{jsigma +jomega)t}\\\sigmasigma t}e^{j(omega t+phi)},end{aligned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\f}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMin

Según la fórmula de Euler, la parte real de estas funciones propias son sinusoides que decaen exponencialmente:

v()t)=Re⁡ ⁡ V()t)=Aeσ σ t#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t+φ φ ).{displaystyle v(t)=operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{sigma t}cos(omega t+phi),.}

Estado estacionario sinusoidal

El estado estacionario sinusoidal es un caso especial en el que el voltaje de entrada consiste en una sinusoide pura (sin caída exponencial). Como resultado,

σ σ =0{displaystyle sigma =0}

y la evaluación de s se convierte en

s=j⋅ ⋅ .{displaystyle s=jomega ,}

Circuito en serie

Al ver el circuito como un divisor de voltaje, vemos que el voltaje a través del inductor es:

VL()s)=LsR+LsVin()s),{displaystyle V_{L}(s)={frac {R+Ls}V_{mathrm {in}(s),}

y el voltaje a través de la resistencia es:

VR()s)=RR+LsVin()s).{displaystyle V_{R}(s)={frac {R} {R+Ls}V_{mathrm {in}(s),}

Actual

La corriente en el circuito es la misma en todas partes ya que el circuito está en serie:

I()s)=Vin()s)R+Ls.{displaystyle I(s)={frac {V_{mathrm {in}(s)}{R+Ls},.}

Funciones de transferencia

La función de transferencia al voltaje del inductor es

HL()s)=VL()s)Vin()s)=LsR+Ls=GLejφ φ L.{displaystyle H_{L}(s)={frac {V_{L} {V_{mathrm {in} {s)}}={frac {Ls}}=G_{L}e^{jphi _{L}}},}} {f}}}} {fnMicroc}} {f}}}}} {f}}}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMin

De manera similar, la función de transferencia al voltaje de la resistencia es

HR()s)=VR()s)Vin()s)=RR+Ls=GRejφ φ R.{displaystyle ¿Qué? {R} {R+Ls}=G_{R}e^{jphi _{R},}

La función de transferencia, a la corriente, es

HI()s)=I()s)Vin()s)=1R+Ls.{displaystyle ¿Qué?

Polos y ceros

Las funciones de transferencia tienen un solo polo ubicado en

s=− − RL.{displaystyle s=-{frac {R} {L},}

Además, la función de transferencia del inductor tiene un cero ubicado en el origen.

Ganancia y ángulo de fase

Las ganancias entre los dos componentes se encuentran tomando las magnitudes de las expresiones anteriores:

GL=SilencioHL()⋅ ⋅ )Silencio=SilencioVL()⋅ ⋅ )Vin()⋅ ⋅ )Silencio=⋅ ⋅ LR2+()⋅ ⋅ L)2{displaystyle G_{L}={big ¿Por qué? {omega L}{2}}}}

y

GR=SilencioHR()⋅ ⋅ )Silencio=SilencioVR()⋅ ⋅ )Vin()⋅ ⋅ )Silencio=RR2+()⋅ ⋅ L)2,{displaystyle G_{R}={big ¿Por qué? {R}{2}},}

y los ángulos de fase son:

φ φ L=∠ ∠ HL()s)=#− − 1⁡ ⁡ ()R⋅ ⋅ L){displaystyle phi _{L}=angle H_{L}(s)=tan ^{-1}left({frac {R}{omega L}right)}

y

φ φ R=∠ ∠ HR()s)=#− − 1⁡ ⁡ ()− − ⋅ ⋅ LR).{displaystyle phi # {R}=angle H_{R}(s)=tan ^{-1}left(-{frac {omega Bueno...

Notación fasor

Estas expresiones juntas se pueden sustituir en la expresión habitual para el fasor que representa la salida:

VL=GLVinejφ φ LVR=GRVinejφ φ R{displaystyle {begin{aligned}V_{L} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué? ¿Qué?

Respuesta al impulso

La respuesta al impulso para cada voltaje es la transformada de Laplace inversa de la función de transferencia correspondiente. Representa la respuesta del circuito a un voltaje de entrada que consta de un impulso o función delta de Dirac.

La respuesta de impulso para el voltaje del ductor es

hL()t)=δ δ ()t)− − RLe− − tRLu()t)=δ δ ()t)− − 1τ τ e− − tτ τ u()t),{displaystyle h_{L}(t)=delta (t)-{frac {} {fn} {fnMic {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh} {fnh}}} {fnfnh} {fnK}}} {fnfnfnh}fnfnfnh00fnh00}fnfnfnfnh00}}fnfnfnfnh00fnfnfnfnfnfnfnh00fnh00}fnKfnfnh00}}fnh00}fnh00fnfnKfnh00}}fnh00}fnh00}}fnh00fnfnh00fnfnfnh00}fnh00fnfnh00}}fnh00}}}}}fn

donde u(t) es la función de paso de Heaviside y τ = L/ R es la constante de tiempo.

De manera similar, la respuesta al impulso para el voltaje de la resistencia es

hR()t)=RLe− − tRLu()t)=1τ τ e− − tτ τ u()t).{displaystyle h_{R}(t)={frac {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc {fnMicroc {1} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc}}}u(t),} {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc}}} {f}}}}}}}}f}}}}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}cf}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}cfnun}cfnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}cfn

Respuesta de entrada cero

La respuesta de entrada cero (ZIR), también llamada respuesta natural, de un circuito RL describe el comportamiento del circuito después de haber alcanzado voltajes y corrientes constantes. y está desconectado de cualquier fuente de energía. Se llama respuesta de entrada cero porque no requiere entrada.

El ZIR de un circuito RL es:

I()t)=I()0)e− − RLt=I()0)e− − tτ τ .{displaystyle I(t)=I(0)e^{-{frac {fnK}t}=I(0)e^{-{frac {t}{tau - Sí.

Consideraciones sobre el dominio de frecuencia

Estas son expresiones en el dominio de la frecuencia. Su análisis mostrará qué frecuencias pasan y rechazan los circuitos (o filtros). Este análisis se basa en una consideración de lo que sucede con estas ganancias cuando la frecuencia se vuelve muy grande y muy pequeña.

Como ω → ∞:

GL→ → 1yGR→ → 0.{displaystyle G_{L}to 1quad {y}quad G_{R}to 0,}

As ⋅ → 0:

GL→ → 0yGR→ → 1.{displaystyle G_{L}to 0quad {mbox{and}quad G_{R}to 1,.}

Esto muestra que, si la salida se toma a través del inductor, las frecuencias altas pasan y las frecuencias bajas se atenúan (rechazan). Por tanto, el circuito se comporta como un filtro de paso alto. Sin embargo, si la salida pasa a través de la resistencia, las frecuencias altas se rechazan y se pasan las frecuencias bajas. En esta configuración, el circuito se comporta como un filtro de paso bajo. Compare esto con el comportamiento de la salida de resistencia en un circuito RC, donde ocurre lo contrario.

El rango de frecuencias por el que pasa el filtro se llama ancho de banda. El punto en el que el filtro atenúa la señal a la mitad de su potencia sin filtrar se denomina frecuencia de corte. Esto requiere que la ganancia del circuito se reduzca a

GL=GR=12.{displaystyle G_{L}=G_{frac {1}},}

Resolver la ecuación anterior produce

⋅ ⋅ c=RL rad/sofc=R2π π L Hz,{displaystyle omega _{mathrm {c} }={frac {R} {fn} {fnK}f}fnK}f}quad f_{mhrm} {C}={frac {R}{2pi L}{mbox{} {c}} {c}} {c}} {c}}} {c} {c}} {c}} {c}}} {c}}}}}} {c} {c}}}} {c}} {c}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}} {f}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn Hz},}

que es la frecuencia que el filtro atenuará a la mitad de su potencia original.

Claramente, las fases también dependen de la frecuencia, aunque este efecto es generalmente menos interesante que las variaciones de ganancia.

Como ω → 0:

φ φ L→ → 90∘ ∘ =π π 2 radiantesyφ φ R→ → 0.{displaystyle phi _{l}to 90^{circ #={frac {pi} {fnK}mbox {fnK}mbox {y}quad phi _{R}to 0,}

Como ω → ∞:

φ φ L→ → 0yφ φ R→ → − − 90∘ ∘ =− − π π 2 radiantes.{displaystyle phi _{L}to 0quad {mbox{and}quad phi _{R}to -90^{circ} }=-{frac {pi } {2} {mbox{ radians},}

Entonces, en CC (0 Hz), el voltaje de la resistencia está en fase con el voltaje de la señal, mientras que el voltaje del inductor lo adelanta 90°. A medida que aumenta la frecuencia, el voltaje de la resistencia llega a tener un retraso de 90° con respecto a la señal y el voltaje del inductor llega a estar en fase con la señal.

Consideraciones en el dominio del tiempo

Esta sección se basa en el conocimiento de e, la constante logarítmica natural.

La forma más sencilla de derivar el comportamiento en el dominio del tiempo es utilizar las transformadas de Laplace de las expresiones para V_L y V_R indicados anteriormente. Esto transforma efectivamente jω → s. Suponiendo una entrada de paso (es decir, V_in = 0 antes de t = 0 y luego V_in = V después ):

Vin()s)=V⋅ ⋅ 1sVL()s)=V⋅ ⋅ sLR+sL⋅ ⋅ 1sVR()s)=V⋅ ⋅ RR+sL⋅ ⋅ 1s.{displaystyle {begin{aligned}V_{mathrm {in}(s) {1}{s}\\fnMicrosoft Sans Serif} {fnK}cdot {fnMicroc} {1}{s}\\fnMicrosoft Sans Serif} {R} {R+sL}cdot {frac {1}{s},end{aligned}}}

Las expansiones de fracciones parciales y la transformada de Laplace inversa producen:

VL()t)=Ve− − tRLVR()t)=V()1− − e− − tRL).{displaystyle {begin{aligned}V_{L}(t) {R}}\V_{R}(t) {left=Vleft(1-e^{-t{frac {R}{L}}right),.end{aligned}}}}}

Por lo tanto, el voltaje a través del inductor tiende a 0 a medida que pasa el tiempo, mientras que el voltaje a través de la resistencia tiende a V, como se muestra en las figuras. Esto está en consonancia con el punto intuitivo de que el inductor solo tendrá un voltaje mientras la corriente en el circuito cambie; cuando el circuito alcanza su estado estable, no hay más cambios de corriente y, en última instancia, no hay voltaje en el inductor.

Estas ecuaciones muestran que un circuito RL en serie tiene una constante de tiempo, generalmente denotada τ = L/R es el tiempo que tarda el voltaje en el componente en caer (a través del inductor) o subir (a través de la resistencia) dentro de 1/e de su valor final. Es decir, τ es el tiempo que tarda V_L para alcanzar V(1/e) y V_R para llegar a V(1 − 1/e).

La tasa de cambio es una fraccional 1 − 1/e por τ. Así, al pasar de t = Nτ a t = (N + 1)τ, el voltaje se habrá movido aproximadamente el 63% de su nivel en t = Nτ hacia su valor final. Por lo tanto, el voltaje a través del inductor habrá caído a aproximadamente el 37% después de τ, y esencialmente a cero (0,7%) después de aproximadamente 5τ. La ley de voltaje de Kirchhoff implica que el voltaje a través de la resistencia aumentará a la misma velocidad. Cuando la fuente de voltaje se reemplaza con un cortocircuito, el voltaje a través de la resistencia cae exponencialmente con t de V hacia 0. La resistencia se descargará aproximadamente al 37% después de τ, y esencialmente completamente descargado (0,7%) después de aproximadamente 5τ. Tenga en cuenta que la corriente, I, en el circuito se comporta como lo hace el voltaje a través de la resistencia, mediante la ley de Ohm.

El retraso en el tiempo de subida o bajada del circuito es causado en este caso por la contraEMF del inductor que, a medida que la corriente que fluye a través de él intenta cambiar, evita que la corriente (y por lo tanto el voltaje a través de la resistencia) ) suba o baje mucho más rápido que la constante de tiempo del circuito. Dado que todos los cables tienen cierta autoinductancia y resistencia, todos los circuitos tienen una constante de tiempo. Como resultado, cuando se enciende la fuente de alimentación, la corriente no alcanza instantáneamente su valor de estado estable, V/R . En cambio, el ascenso tarda varias constantes de tiempo en completarse. Si este no fuera el caso, y la corriente alcanzara inmediatamente el estado estacionario, se generarían campos eléctricos inductivos extremadamente fuertes debido al cambio brusco en el campo magnético, lo que conduciría a la ruptura del aire en el circuito y a la formación de arcos eléctricos. probablemente dañando componentes (y usuarios).

Estos resultados también se pueden derivar resolviendo la ecuación diferencial que describe el circuito:

Vin=IR+LdIdtVR=Vin− − VL.{displaystyle {begin{aligned}V_{mathrm {in} } {dI}{dt}\V_{R} {in} - Bien.

La primera ecuación se resuelve usando un factor integrante y produce la corriente que se debe diferenciar para obtener V_L</sub ; la segunda ecuación es sencilla. Las soluciones son exactamente las mismas que las obtenidas mediante transformadas de Laplace.

Ecuación de cortocircuito

Para la evaluación de cortocircuitos, se considera el circuito RL. La ecuación más general es:

vin()t)=vL()t)+vR()t)=Ldidt+Ri{displaystyle v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{R}(t)=L{frac {}}+Ri}

Con condición inicial:

i()0)=i0{displaystyle i(0)=i_{0}

Que se puede resolver mediante la transformada de Laplace:

Vin()s)=sLI− − Li0+RI{displaystyle V_{in}(s)=sLI-Li_{0}+RI}

Así:

I()s)=Lio+VinsL+R{displaystyle I(s)={frac {Li_{o}+V_{in}{sL+R}} {f}} {f}} {f}} {f}}} {fn}}}}}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Entonces la antitransformación regresa:

i()t)=i0e− − RLt+L− − 1[VinsL+R]{displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{frac {fnh}t}+{fnh} {fn}fnh} {fnh} {fnh} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {f}} {\fn}}}}}}} {\\fn}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}fn}\\\fn}\\\\\fn}}}}}}}}} {V_{in}{sL+R}right]

En caso de que el voltaje de la fuente sea una función escalonada de Heaviside (CC):

vin()t)=Eu()t){displaystyle v_{in}(t)=Eu(t)}

Devoluciones:

i()t)=i0e− − RLt+L− − 1[Es()sL+R)]=i0e− − RLt+ER()1− − e− − RLt){displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{frac {R} {L}t}+{fnMithcal {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}}right]=i_{0}e^{-{frac} {R} {L}t}+{frac} {E}}left(1-e^{-{-frac {R}t}right)}

En caso de que la tensión de la fuente sea una función sinusoidal (CA):

vin()t)=Epecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t)⇒ ⇒ Vin()s)=E⋅ ⋅ s2+⋅ ⋅ 2{displaystyle v_{in}(t)=Esin(omega t)Rightarrow V_{in}(s)={frac {Eomega }{2}+omega ^{2}}}

Devoluciones:

i()t)=i0e− − RLt+L− − 1[E⋅ ⋅ ()s2+⋅ ⋅ 2)()sL+R)]=i0e− − RLt+L− − 1[E⋅ ⋅ 2j⋅ ⋅ ()1s− − j⋅ ⋅ − − 1s+j⋅ ⋅ )1()sL+R)]{displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{frac {fnh}t}+{fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {f}}}} {fn}}} {fn}}}} {\fn}}}}} {\\fn}}}}\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\fn}\\\fn}\\\\\fn}}}\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\fn}\\fn}\\\\fn}\\\\fn}}}}}}}}}}}} {Eomega }{2}+omega ^{2}(sL+R)}right]=i_{0}e^{-{frac} {R} {L}t}+{fnMithcal {fnMicroc} {fnK} {fnMicroc}}}}fnK} {fnK}}f}}fn}fn}fn}fn}}fn}fnK}b}b}b}b}b}cH00}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}c}c}cH}c}cH}c}cH}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cH00}c}c}c}c}c}c}c}cH}c}c}c}c}c}c}c} {Eomega }{2jomega . {1}{s-jomega {fnMicroc}}derecha] {fnMicroc {1} {fnMicroc}}derecha]}

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=i0e− − RLt+E2jLe− − RLt2jIm()1RL− − j⋅ ⋅ )+E2jL2jIm()ej⋅ ⋅ t1RL+j⋅ ⋅ ){displaystyle =i_{0}e^{-{frac {R} {L}t}+{frac} {E} {fnMicroc}e^ {fnMicroc} {R}{}t}t}2j{text{Im}left({frac} {fnh} {fnh}t} {fnh} {f}} {fnh} {fnK}} {fn}}}}} {f}t} {f} {f}f} {f}f}f}}f}}}f}}}}f}f}}f}f}f}f}}}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}f} {1}{frac} {R} {L}}-jomega }}right)+{frac {E}{2j}2j{text{Im}}left(e^{jomega) t}{frac {1}{frac {R}+jomega }right)}

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i()t)=i0e− − RLt+E⋅ ⋅ L[()RL)2+⋅ ⋅ 2]e− − RLt+EL()RL)2+⋅ ⋅ 2pecado⁡ ⁡ [⋅ ⋅ t− − #− − 1⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ LR)]{displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{frac {R} {L}t}+{frac} {Eomega }{2}+omega ^{2}right]}e^{-{frac}}} {fnunció] {R} {L}t}+{frac} {E}{L{sqrt {left {frac {R}}right)^{2}+omega ^{2}}}}}sin left[omega t-tan ^{-1}left({frac {omega - Sí.

Circuito paralelo

Cuando tanto la resistencia como el inductor están conectados en paralelo y se alimentan a través de una fuente de voltaje, esto se conoce como circuito paralelo RL. El circuito RL en paralelo es generalmente de menos interés que el circuito en serie a menos que esté alimentado por una fuente de corriente. Esto se debe en gran medida a que el voltaje de salida (V_out) es igual al voltaje de entrada (V_en); como resultado, este circuito no actúa como filtro para una señal de entrada de voltaje.

Con impedancias complejas:

IR=VinRIL=Vinj⋅ ⋅ L=− − jVin⋅ ⋅ L.{displaystyle {begin{aligned}I_{R} {V_{mathrm {in} ### {R}I_{L} {frac} {V_{mathrm {in} }{jomega L}=-{frac {jV_{mathrm {in}{omega - Sí.

Esto muestra que el ductor reduce la corriente resistor (y fuente) de 90°.

El circuito paralelo se ve en la salida de muchos circuitos amplificadores y se utiliza para aislar el amplificador de los efectos de carga capacitiva en altas frecuencias. Debido al cambio de fase introducido por la capacitancia, algunos amplificadores se vuelven inestables a frecuencias muy altas y tienden a oscilar. Esto afecta la calidad del sonido y la vida útil de los componentes, especialmente los transistores.