Circuito RC

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Circuito eléctrico compuesto por resistores y condensadores

Un circuito de resistencia-condensador (circuito RC), o filtro RC o red RC, es un Circuito eléctrico compuesto por resistencias y condensadores. Puede ser impulsado por una fuente de voltaje o corriente y estos producirán diferentes respuestas. Un circuito RC de primer orden se compone de una resistencia y un condensador y es el tipo más simple de circuito RC.

Los circuitos RC se pueden usar para filtrar una señal al bloquear ciertas frecuencias y pasar otras. Los dos filtros RC más comunes son los filtros de paso alto y los filtros de paso bajo; Los filtros de paso de banda y los filtros de parada de banda generalmente requieren filtros RLC, aunque se pueden hacer filtros crudos con filtros RC.

Introducción

Hay tres componentes básicos de circuitos analógicos agrupados pasivos lineales: la resistencia (R), el capacitor (C) y el inductor (L). Estos pueden combinarse en el circuito RC, el circuito RL, el circuito LC y el circuito RLC, con las siglas que indican qué componentes se utilizan. Estos circuitos, entre ellos, exhiben una gran cantidad de tipos importantes de comportamiento que son fundamentales para gran parte de la electrónica analógica. En particular, pueden actuar como filtros pasivos. Este artículo considera el circuito RC, tanto en serie como en paralelo, como se muestra en los diagramas a continuación.

Respuesta natural

El circuito RC más simple consiste en una resistencia y un capacitor cargado conectados entre sí en un solo circuito, sin una fuente de voltaje externa. Una vez que se cierra el circuito, el capacitor comienza a descargar su energía almacenada a través de la resistencia. El voltaje a través del capacitor, que depende del tiempo, se puede encontrar utilizando la ley de corriente de Kirchhoff. La corriente a través del resistor debe ser igual en magnitud (pero de signo opuesto) a la derivada temporal de la carga acumulada en el capacitor. Esto da como resultado la ecuación diferencial lineal

{displaystyle C{frac {dV}{dt}}+{frac {V}{R}}=0,,}

Did you mean:

where C is the capacitance of the capacitor.

Al resolver esta ecuación para $V$ se obtiene la fórmula para el decaimiento exponencial:

{displaystyle V(t)=V_{0}e^{-{frac {t}{RC}}},,}

Did you mean:

where V₀ is the capacitor voltage at time <int = 0.

El tiempo requerido para que el voltaje caiga a $V 0 / e$ se denomina constante de tiempo RC y está dada por,

{displaystyle tau =RC,.}

En esta fórmula, $τ$ se mide en segundos, $R$ en ohmios y $C$ en faradios.

Impedancia compleja

La impedancia compleja, $Z C$ (en ohmios) de un capacitor con capacitancia $C$ (en faradios) es

Z_C = frac{1}{sC}

La frecuencia compleja $s$ es, en general, un número complejo,

{displaystyle s=sigma +jomega ,,}

dónde

$j$ representa la unidad imaginaria: $j 2 = 1 -$ ,
$σ$ es la constante de decadencia exponencial (en nepers por segundo), y
$\cdot$ es la frecuencia angular sinusoidal (en radians por segundo).

Estado estacionario sinusoidal

El estado estable sinusoidal es un caso especial en el que el voltaje de entrada consiste en un sinusoide puro (sin desintegración exponencial). Como resultado, $sigma =0$ y la impedancia se convierte

{displaystyle Z_{C}={frac {1}{jomega C}}=-{frac {j}{omega C}},.}

Circuito en serie

Al ver el circuito como un divisor de voltaje, el voltaje a través del capacitor es:

{displaystyle V_{C}(s)={frac {frac {1}{Cs}}{R+{frac {1}{Cs}}}}V_{mathrm {in} }(s)={frac {1}{1+RCs}}V_{mathrm {in} }(s)}

y el voltaje a través de la resistencia es:

{displaystyle V_{R}(s)={frac {R}{R+{frac {1}{Cs}}}}V_{mathrm {in} }(s)={frac {RCs}{1+RCs}}V_{mathrm {in} }(s),.}

Funciones de transferencia

La función de transferencia del voltaje de entrada al voltaje a través del capacitor es

{displaystyle H_{C}(s)={frac {V_{C}(s)}{V_{mathrm {in} }(s)}}={frac {1}{1+RCs}},.}

Del mismo modo, la función de transferencia de la entrada al voltaje a través de la resistencia es

{displaystyle H_{R}(s)={frac {V_{R}(s)}{V_{rm {in}}(s)}}={frac {RCs}{1+RCs}},.}

Polos y ceros

Ambas funciones de transferencia tienen un solo polo ubicado en

{displaystyle s=-{frac {1}{RC}},.}

Además, la función de transferencia para el voltaje a través de la resistencia tiene un cero ubicado en el origen.

Ganancia y fase

La magnitud de las ganancias entre los dos componentes es

{displaystyle G_{C}={big |}H_{C}(jomega){big |}=left|{frac {V_{C}(jomega)}{V_{mathrm {in} }(jomega)}}right|={frac {1}{sqrt {1+left(omega RCright)^{2}}}}}

{displaystyle G_{R}={big |}H_{R}(jomega){big |}=left|{frac {V_{R}(jomega)}{V_{mathrm {in} }(jomega)}}right|={frac {omega RC}{sqrt {1+left(omega RCright)^{2}}}},,}

y los ángulos de fase son

{displaystyle phi _{C}=angle H_{C}(jomega)=tan ^{-1}left(-omega RCright)}

{displaystyle phi _{R}=angle H_{R}(jomega)=tan ^{-1}left({frac {1}{omega RC}}right),.}

Estas expresiones juntas se pueden sustituir en la expresión habitual del fasor que representa la salida:

{displaystyle {begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{mathrm {in} }e^{jphi _{C}}\V_{R}&=G_{R}V_{mathrm {in} }e^{jphi _{R}},.end{aligned}}}

Actual

La corriente en el circuito es la misma en todas partes ya que el circuito está en serie:

{displaystyle I(s)={frac {V_{mathrm {in} }(s)}{R+{frac {1}{Cs}}}}={frac {Cs}{1+RCs}}V_{mathrm {in} }(s),.}

Respuesta de impulso

La respuesta de impulso para cada voltaje es la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia correspondiente. Representa la respuesta del circuito a un voltaje de entrada que consiste en un impulso o función delta de Dirac.

La respuesta de impulso para el voltaje del capacitor es

{displaystyle h_{C}(t)={frac {1}{RC}}e^{-{frac {t}{RC}}}u(t)={frac {1}{tau }}e^{-{frac {t}{tau }}}u(t),,}

donde $u (t)$ es la función de paso de Heaviside y $τ = RC$ es la constante de tiempo.

Del mismo modo, la respuesta de impulso para el voltaje de la resistencia es

{displaystyle h_{R}(t)=delta (t)-{frac {1}{RC}}e^{-{frac {t}{RC}}}u(t)=delta (t)-{frac {1}{tau }}e^{-{frac {t}{tau }}}u(t),,}

Did you mean:

where δ(t) is the Dirac delta function

Consideraciones en el dominio de la frecuencia

Estas son expresiones en el dominio de la frecuencia. El análisis de ellos mostrará qué frecuencias pasan y rechazan los circuitos (o filtros). Este análisis se basa en una consideración de lo que sucede con estas ganancias a medida que la frecuencia se vuelve muy grande y muy pequeña.

Did you mean:

As → ∞:

{displaystyle G_{C}to 0quad {mbox{and}}quad G_{R}to 1,.}

Did you mean:

As ω → 0:

{displaystyle G_{C}to 1quad {mbox{and}}quad G_{R}to 0,.}

Esto muestra que, si la salida se toma a través del capacitor, las frecuencias altas se atenúan (cortocircuitan a tierra) y las frecuencias bajas pasan. Por lo tanto, el circuito se comporta como un filtro de paso bajo. Sin embargo, si la salida se toma a través de la resistencia, las altas frecuencias pasan y las bajas frecuencias se atenúan (ya que el condensador bloquea la señal cuando su frecuencia se acerca a 0). En esta configuración, el circuito se comporta como un filtro de paso alto.

El rango de frecuencias que pasa el filtro se denomina ancho de banda. El punto en el que el filtro atenúa la señal a la mitad de su potencia sin filtrar se denomina frecuencia de corte. Esto requiere que la ganancia del circuito se reduzca a

{displaystyle G_{C}=G_{R}={frac {1}{sqrt {2}}}}

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene

{displaystyle omega _{mathrm {c} }={frac {1}{RC}}quad {mbox{or}}quad f_{mathrm {c} }={frac {1}{2pi RC}}}

que es la frecuencia que el filtro atenuará a la mitad de su potencia original.

Claramente, las fases también dependen de la frecuencia, aunque este efecto es menos interesante en general que las variaciones de ganancia.

Did you mean:

As ω → 0:

{displaystyle phi _{C}to 0quad {mbox{and}}quad phi _{R}to 90^{circ }={frac {pi }{2}}{mbox{ radians}},.}

Did you mean:

As → ∞:

{displaystyle phi _{C}to -90^{circ }=-{frac {pi }{2}}{mbox{ radians}}quad {mbox{and}}quad phi _{R}to 0,.}

Entonces, en CC (0 Hz), el voltaje del capacitor está en fase con el voltaje de la señal, mientras que el voltaje de la resistencia lo adelanta 90°. A medida que aumenta la frecuencia, la tensión del condensador llega a tener un retraso de 90° con respecto a la señal y la tensión de la resistencia llega a estar en fase con la señal.

Consideraciones en el dominio del tiempo

Esta sección se basa en el conocimiento de $e$ , la constante logarítmica natural.

La forma más sencilla de derivar el comportamiento en el dominio del tiempo es usar las transformadas de Laplace de las expresiones para $V C$ y $V R$ dados anteriormente. Esto transforma efectivamente $jω \to s$ . Suponiendo una entrada de paso (es decir, $V in = 0$ antes de $t = 0$ y luego $V in = V$ después):

{displaystyle {begin{aligned}V_{mathrm {in} }(s)&=Vcdot {frac {1}{s}}\V_{C}(s)&=Vcdot {frac {1}{1+sRC}}cdot {frac {1}{s}}\V_{R}(s)&=Vcdot {frac {sRC}{1+sRC}}cdot {frac {1}{s}},.end{aligned}}}

Las expansiones en fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace producen:

{displaystyle {begin{aligned}V_{C}(t)&=Vleft(1-e^{-{frac {t}{RC}}}right)\V_{R}(t)&=Ve^{-{frac {t}{RC}}},.end{aligned}}}

Estas ecuaciones son para calcular el voltaje a través del capacitor y la resistencia respectivamente mientras el capacitor se está cargando; para la descarga, las ecuaciones son viceversa. Estas ecuaciones se pueden reescribir en términos de carga y corriente usando las relaciones $C = Q / V$ y $V = IR$ (ver ley de Ohm).

Por lo tanto, el voltaje en el capacitor tiende a $V$ a medida que pasa el tiempo, mientras que el voltaje en la resistencia tiende a 0, como se muestra en las figuras. Esto está de acuerdo con el punto intuitivo de que el capacitor se cargará desde el voltaje de suministro a medida que pasa el tiempo y eventualmente se cargará por completo.

Estas ecuaciones muestran que un circuito RC en serie tiene una constante de tiempo, generalmente indicada como $τ = RC$ siendo el tiempo toma el voltaje a través del componente para subir (a través del capacitor) o bajar (a través de la resistencia) dentro de $1 / e$ de su valor final. Es decir, $τ$ es el tiempo que tarda $V C$ para alcanzar $V (1 - 1 / e)$ y $V R$ para llegar a $V (1 / e)$ .

La tasa de cambio es una fraccional $1 - 1 / e$ por $τ$ . Por lo tanto, al pasar de $t = Nτ$ a $t = (N + 1) τ$ , el voltaje se habrá desplazado aproximadamente un 63,2 % desde su nivel en $t = Nτ$ hacia su valor final. Por lo tanto, el condensador se cargará aproximadamente al 63,2 % después de $τ$ , y esencialmente se cargará por completo (99,3 %) después de aproximadamente $5 τ$ . Cuando la fuente de voltaje se reemplaza con un cortocircuito, con el capacitor completamente cargado, el voltaje a través del capacitor cae exponencialmente con $t$ de $V$ hacia 0. El condensador se descargará aproximadamente al 36,8 % después de $τ$ , y esencialmente completamente descargado (0,7 %) después de aproximadamente $5 τ$ . Tenga en cuenta que la corriente, $I$ , en el circuito se comporta como lo hace el voltaje a través de la resistencia, a través de la Ley de Ohm.

Estos resultados también pueden obtenerse resolviendo las ecuaciones diferenciales que describen el circuito:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {V_{mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{frac {dV_{C}}{dt}}\V_{R}&=V_{mathrm {in} }-V_{C},.end{aligned}}}

La primera ecuación se resuelve usando un factor de integración y la segunda se sigue fácilmente; las soluciones son exactamente las mismas que las obtenidas mediante transformadas de Laplace.

Integrador

Considere la salida a través del condensador a una frecuencia alta, es decir,

{displaystyle omega gg {frac {1}{RC}},.}

Esto significa que el condensador no tiene tiempo suficiente para cargar y por lo tanto su tensión es muy pequeña. Así, el voltaje de entrada equivale aproximadamente al voltaje a través del resistor. Para ver esto, considere la expresión $I$ dado anteriormente:

{displaystyle I={frac {V_{mathrm {in} }}{R+{frac {1}{jomega C}}}},,}

pero tenga en cuenta que la condición de frecuencia descrita significa que

{displaystyle omega Cgg {frac {1}{R}},,}

entonces

{displaystyle Iapprox {frac {V_{mathrm {in} }}{R}}}

Did you mean:

which is just Ohm 's Law.

Ahora,

{displaystyle V_{C}={frac {1}{C}}int _{0}^{t}I,dt,,}

entonces

{displaystyle V_{C}approx {frac {1}{RC}}int _{0}^{t}V_{mathrm {in} },dt,,}

Did you mean:

which is an integrator across the capacitor.

Diferenciador

Considere la salida a través de la resistencia a una frecuencia baja, es decir,

{displaystyle omega ll {frac {1}{RC}},.}

Esto significa que el capacitor tiene tiempo para cargarse hasta que su voltaje sea casi igual al voltaje de la fuente. Considerando la expresión para $I$ nuevamente, cuando

{displaystyle Rll {frac {1}{omega C}},,}

entonces

{displaystyle {begin{aligned}I&approx {frac {V_{mathrm {in} }}{frac {1}{jomega C}}}\V_{mathrm {in} }&approx {frac {I}{jomega C}}=V_{C},.end{aligned}}}

Ahora,

{displaystyle {begin{aligned}V_{R}&=IR=C{frac {dV_{C}}{dt}}R\V_{R}&approx RC{frac {dV_{in}}{dt}},,end{aligned}}}

Did you mean:

which is a differentiator across the resistor.

Se puede lograr una integración y una diferenciación más precisas colocando resistencias y condensadores según corresponda en el circuito de entrada y retroalimentación de los amplificadores operacionales (consulte integrador de amplificador operacional y diferenciador de amplificador operacional).

Circuito en paralelo

El circuito RC en paralelo es generalmente menos interesante que el circuito en serie. Esto se debe en gran parte a que el voltaje de salida $V out$ es igual al voltaje de entrada $V in$ — como resultado, este circuito no actúa como un filtro en la señal de entrada a menos que sea alimentado por una fuente de corriente.

Con impedancias complejas:

{displaystyle {begin{aligned}I_{R}&={frac {V_{mathrm {in} }}{R}}\I_{C}&=jomega CV_{mathrm {in} },.end{aligned}}}

Esto muestra que la corriente del condensador está desfasada 90° con respecto a la corriente de la resistencia (y de la fuente). Alternativamente, se pueden usar las ecuaciones diferenciales gobernantes:

{displaystyle {begin{aligned}I_{R}&={frac {V_{mathrm {in} }}{R}}\I_{C}&=C{frac {dV_{mathrm {in} }}{dt}},.end{aligned}}}

Cuando se alimenta de una fuente de corriente, la función de transferencia de un circuito RC en paralelo es:

{displaystyle {frac {V_{mathrm {out} }}{I_{mathrm {in} }}}={frac {R}{1+sRC}},.}

Síntesis

A veces se requiere sintetizar un circuito RC a partir de una función racional dada en s. Para que la síntesis sea posible en elementos pasivos, la función debe ser una función real positiva. Para sintetizar como un circuito RC, todas las frecuencias críticas (polos y ceros) deben estar en el eje real negativo y alternar entre polos y ceros con igual número de cada uno. Además, la frecuencia crítica más cercana al origen debe ser un polo, suponiendo que la función racional represente una impedancia en lugar de una admitancia.

La síntesis se puede lograr con una modificación de la síntesis de Foster o la síntesis de Cauer que se utilizan para sintetizar circuitos LC. En el caso de la síntesis de Cauer, resultará una red en escalera de resistencias y capacitores.

Contenido relacionado

Más resultados...