Cinta de Moebius

Una tira Möbius hecha con papel y cinta adhesiva

En matemáticas, una banda de Möbius, banda de Möbius o bucle de Möbius es una superficie que se puede formar uniendo los extremos de un tira de papel junto con un medio giro. Como objeto matemático, fue descubierto por Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858, pero ya había aparecido en mosaicos romanos del siglo III d.C. La cinta de Möbius es una superficie no orientable, lo que significa que dentro de ella uno no puede distinguir consistentemente los giros en sentido horario de los giros en sentido antihorario. Cada superficie no orientable contiene una tira de Möbius.

Como espacio topológico abstracto, la tira de Möbius se puede incrustar en el espacio euclidiano tridimensional de muchas maneras diferentes: un medio giro en el sentido de las agujas del reloj es diferente de un medio giro en el sentido contrario a las agujas del reloj, y también se puede incrustar con números impares de giros mayores a uno, o con una línea central anudada. Cualquier dos incrustaciones con el mismo nudo para la línea central y el mismo número y dirección de giros son topológicamente equivalentes. Todas estas incrustaciones tienen un solo lado, pero cuando se incrustan en otros espacios, la tira de Möbius puede tener dos lados. Tiene una única curva límite.

Varias construcciones geométricas de la cinta de Möbius le otorgan una estructura adicional. Puede ser barrida como una superficie reglada por un segmento de línea que gira en un plano giratorio, con o sin autocruces. Una tira de papel delgada con sus extremos unidos para formar una tira de Möbius puede doblarse suavemente como una superficie desarrollable o doblarse hasta quedar plana; las tiras de Möbius aplanadas incluyen el trihexaflexágono. La tira de Möbius sudanesa es una superficie mínima en una hiperesfera, y la tira de Möbius de Meeks es una superficie mínima que se corta a sí misma en el espacio euclidiano ordinario. Tanto la franja de Möbius sudanesa como otra franja de Moebius que se interseca a sí misma, la tapa cruzada, tienen un límite circular. Una tira de Möbius sin su límite, llamada tira de Möbius abierta, puede formar superficies de curvatura constante. Ciertos espacios altamente simétricos cuyos puntos representan líneas en el plano tienen la forma de una cinta de Möbius.

Las numerosas aplicaciones de las cintas de Möbius incluyen correas mecánicas que se desgastan uniformemente en ambos lados, montañas rusas de dos carriles cuyos vagones se alternan entre los dos carriles y mapas del mundo impresos de manera que las antípodas aparecen una frente a la otra. Las tiras de Möbius aparecen en moléculas y dispositivos con nuevas propiedades eléctricas y electromecánicas, y se han utilizado para probar resultados de imposibilidad en la teoría de la elección social. En la cultura popular, las tiras de Möbius aparecen en obras de arte de M. C. Escher, Max Bill y otros, y en el diseño del símbolo de reciclaje. Muchos conceptos arquitectónicos se han inspirado en la tira de Möbius, incluido el diseño del edificio para el Salón de la Fama de NASCAR. Artistas como Harry Blackstone Sr. y Thomas Nelson Downs han basado los trucos de magia escénica en las propiedades de la tira de Möbius. Los cánones de J. S. Bach se han analizado mediante cintas de Möbius. Muchas obras de ficción especulativa presentan tiras de Möbius; de manera más general, una estructura de trama basada en la tira de Möbius, de eventos que se repiten con un giro, es común en la ficción.

Historia

Mosaico del antiguo Sentinum que representa Aion con una tira Möbius

Bomba de cadena con cadena de transmisión Möbius, por Ismail al-Jazari (1206)

El descubrimiento de la cinta de Möbius como objeto matemático se atribuye de forma independiente a los matemáticos alemanes Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858. Sin embargo, se conocía mucho antes, tanto como objeto físico como en representaciones artísticas; en particular, se puede ver en varios mosaicos romanos del siglo III EC. En muchos casos, estos simplemente representan cintas enrolladas como límites. Cuando el número de espiras es impar, estas cintas son tiras de Möbius, pero para un número par de espiras son topológicamente equivalentes a anillos sin torcer. Por lo tanto, si la cinta es una tira de Möbius puede ser una coincidencia, más que una elección deliberada. En al menos un caso, se dibujó una cinta con diferentes colores en diferentes lados con un número impar de vueltas, lo que obligó a su artista a hacer un arreglo torpe en el punto donde los colores no no coincidían. Otro mosaico de la ciudad de Sentinum (representado) muestra el zodíaco, sostenido por el dios Aion, como una banda con un solo giro. No hay evidencia clara de que la unilateralidad de esta representación visual del tiempo celestial fuera intencional; podría haber sido elegido simplemente como una forma de hacer que todos los signos del zodíaco aparecieran en el lado visible de la tira. También se alega que algunas otras representaciones antiguas de los ourobouros o de decoraciones en forma de ocho representan tiras de Möbius, pero no está claro si tenían la intención de representar tiras planas de cualquier tipo.

Independientemente de la tradición matemática, los maquinistas saben desde hace mucho tiempo que las correas mecánicas se desgastan la mitad de rápido cuando forman tiras de Möbius, porque usan toda la superficie de la correa en lugar de solo la superficie interna de una correa sin torcer. Además, tal cinturón puede ser menos propenso a enrollarse de lado a lado. Una de las primeras descripciones escritas de esta técnica data de 1871, que es posterior a las primeras publicaciones matemáticas sobre la tira de Möbius. Mucho antes, una imagen de una bomba de cadena en una obra de Ismail al-Jazari de 1206 muestra una configuración de cinta de Möbius para su cadena de transmisión. Las costureras hicieron otro uso de esta superficie. en París (en una fecha no especificada): iniciaron a los novicios pidiéndoles que cosieran una tira de Möbius a modo de cuello en una prenda.

Propiedades

Un objeto 2D atravesando una vez alrededor de la tira Möbius regresa en forma reflejada

La tira de Möbius tiene varias propiedades curiosas. Es una superficie no orientable: si un objeto bidimensional asimétrico se desliza una vez alrededor de la tira, vuelve a su posición inicial como su imagen especular. En particular, una flecha curva que apunta en el sentido de las agujas del reloj (↻) volvería a ser una flecha que apunta en el sentido contrario a las agujas del reloj (↺), lo que implica que, dentro de la cinta de Möbius, es imposible definir de forma coherente lo que significa ser en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario. Es la superficie no orientable más simple: cualquier otra superficie no es orientable si y solo si tiene una tira de Möbius como un subconjunto. La cinta de Möbius tiene una sola cara. Un objeto tridimensional que se desliza una vez alrededor de la superficie de la tira no se refleja, sino que regresa al mismo punto de la tira en lo que localmente parece ser su otro lado, mostrando que ambas posiciones son en realidad parte de un solo lado.. Este comportamiento es diferente de las superficies familiares orientables en tres dimensiones, como las que se modelan con hojas planas de papel, pajitas cilíndricas para beber o bolas huecas, en las que un lado de la superficie no está conectado con el otro. Sin embargo, esta es una propiedad de su incrustación en el espacio más que una propiedad intrínseca de la cinta de Möbius en sí misma: existen otros espacios topológicos en los que la cinta de Möbius puede incrustarse para que tenga dos lados. Por ejemplo, si las caras delantera y trasera de un cubo se pegan entre sí con un reflejo de espejo de izquierda a derecha, el resultado es un espacio topológico tridimensional (el producto cartesiano de una tira de Möbius con un intervalo) en el que las mitades superior e inferior del cubo se pueden separar entre sí mediante una banda de Möbius de dos lados. En contraste con los discos, esferas y cilindros, para los cuales es Es posible incrustar simultáneamente un conjunto incontable de copias inconexas en un espacio tridimensional, solo un número contable de cintas de Möbius puede incrustarse simultáneamente.

Una ruta a lo largo del borde de una tira de Möbius, trazada hasta que regresa a su punto inicial en el borde, incluye todos los puntos límite de la tira de Möbius en una única curva continua. Para una tira de Möbius formada pegando y torciendo un rectángulo, tiene el doble de largo que la línea central de la tira. En este sentido, la tira de Möbius es diferente de un anillo sin torcer y es como un disco circular que tiene un solo límite. Una tira de Möbius en el espacio euclidiano no se puede mover ni estirar en su espejo. imagen; es un objeto quiral con diestros o zurdos. Las tiras de Möbius con números impares de medias vueltas mayores que uno, o que están anudadas antes de pegarlas, se distinguen como subconjuntos incrustados. del espacio tridimensional, a pesar de que todas son equivalentes como superficies topológicas bidimensionales. Más precisamente, dos cintas de Möbius están incrustadas de manera equivalente en el espacio tridimensional cuando sus líneas centrales determinan el mismo nudo y tienen el mismo número de giros que cada otro. Sin embargo, con un número par de giros, se obtiene una superficie topológica diferente, llamada anillo.

La cinta de Möbius se puede transformar continuamente en su línea central, haciéndola más estrecha mientras se fijan los puntos en la línea central. Esta transformación es un ejemplo de retracción por deformación, y su existencia significa que la tira de Möbius tiene muchas de las mismas propiedades que su línea central, que es topológicamente un círculo. En particular, su grupo fundamental es el mismo que el grupo fundamental de un círculo, un grupo cíclico infinito. Por lo tanto, los caminos en la cinta de Möbius que comienzan y terminan en el mismo punto se pueden distinguir topológicamente (hasta la homotopía) solo por el número de veces que dan la vuelta a la cinta.

Cortar la línea central produce una tira de dos caras (no Möbius)

Un solo corte fuera del centro separa una tira Möbius (purple) de una tira de dos caras

Cortar una tira de Möbius a lo largo de la línea central con un par de tijeras produce una tira larga con cuatro medias vueltas (en relación con un anillo o cilindro sin torcer) en lugar de dos tiras separadas. Dos de los medios giros provienen del hecho de que esta tira más delgada atraviesa dos veces el medio giro de la tira de Möbius original, y los otros dos provienen de la forma en que las dos mitades de la tira más delgada se enrollan entre sí. El resultado no es una cinta de Möbius, sino que es topológicamente equivalente a un cilindro. Cortar esta tira de doble torsión nuevamente a lo largo de su línea central produce dos tiras de doble torsión unidas. Si, en cambio, una tira de Möbius se corta a lo largo, un tercio de su ancho, produce dos tiras unidas. Uno de los dos es una tira de Möbius central y más delgada, mientras que el otro tiene dos medias vueltas. Estas formas interconectadas, formadas por rebanadas longitudinales de tiras de Möbius con diferentes anchos, son a veces llamado paradrómico anillos.

Subdivisión en seis regiones mutuamente adyacentes, ligadas por el gráfico de Tietze

Solución al problema de tres utilidades en una tira Möbius

La tira Möbius se puede cortar en seis regiones mutuamente adyacentes, mostrando que los mapas en la superficie de la tira Möbius a veces pueden requerir seis colores, en contraste con el teorema de cuatro colores para el avión. Seis colores siempre son suficientes. Este resultado es parte del teorema Ringel-Youngs, que indica cuántos colores cada superficie topológica necesidades. Los bordes y vértices de estas seis regiones forman el gráfico de Tietze, que es un gráfico dual en esta superficie para el gráfico completo de seis vértigos pero no se puede dibujar sin cruzar en un plano. Otra familia de gráficos que se pueden incrustar en la tira Möbius, pero no en el plano, son las escaleras Möbius, los límites de subdivisiones de la tira Möbius en la reunión de rectángulos Fin a extremo. Estos incluyen el gráfico de utilidad, un gráfico bipartito completo de seis vérex cuya incrustación en la tira Möbius muestra que, a diferencia del plano, el problema de las tres utilidades se puede resolver en un Möbius transparente strip. La característica Euler de la tira Möbius es cero, lo que significa que para cualquier subdivisión de la tira por vértices y bordes en regiones, los números ${displaystyle V}$, ${displaystyle E}$, y ${displaystyle F}$ de vértices, bordes y regiones satisfacen ${displaystyle V-E+F=0}$. Por ejemplo, el gráfico de Tietze tiene ${displaystyle 12}$ vertices, ${displaystyle 18}$ bordes, y ${displaystyle 6}$ regiones; ${displaystyle 12-18+6=0}$.

Construcciones

Hay muchas formas diferentes de definir superficies geométricas con la topología de la cinta de Möbius, lo que genera realizaciones con propiedades geométricas adicionales.

Barrer un segmento de línea

Una tira Möbius barrido por un segmento de línea giratoria en un plano giratorio

El conoide de Plücker es barrido por un movimiento diferente de un segmento de línea

Una forma de incrustar la tira de Möbius en el espacio euclidiano tridimensional es barrerla con un segmento de línea que gira en un plano, que a su vez gira alrededor de una de sus líneas. Para que la superficie barrida se encuentre consigo misma después de un medio giro, el segmento de línea debe girar alrededor de su centro a la mitad de la velocidad angular de la rotación del plano. Esto se puede describir como una superficie paramétrica definida por ecuaciones para las coordenadas cartesianas de sus puntos,

$${displaystyle {begin{aligned}x(u,v) {}{2}}cos {frac {u}right)cos uy(u,v) limit=left(1+{frac) {}{2}cos {frac}derecha)sin uz(u,v) consiguiendo={frac} {}{2}sin {frac} {u} {2}\\\fnK} {fn}}}\\\\\\\fn} {\fn}}}}\\\\\\\\fn}\\\\\\fnK\\fn}\\\\\fn}\\\\\fn}}\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\\\\fn}\\\\\fn}}\fn}}}\\\\\\\\\\fn}fn}fn}fn}\\\\\fn}\\\\\$$

${displaystyle 0leq u observado2pi}$

${displaystyle -1leq vleq 1}$,

${displaystyle u}$

${displaystyle v}$

${displaystyle xy}$

${displaystyle (0,0,0)}$.

Una línea o un segmento de línea barrido con un movimiento diferente, girando en un plano horizontal alrededor del origen a medida que se mueve hacia arriba y hacia abajo, forma el conoide o cilindroide de Plücker, una superficie reglada algebraica en forma de auto- cruzando la banda de Möbius. Tiene aplicaciones en el diseño de engranajes.

Superficies poliédricas y pliegues planos

Trihexaflexagon siendo flexionado

Una tira de papel puede formar una tira de Möbius aplanada en el plano plegándola en ${displaystyle 60^{circ }$ ángulos para que su línea central se encuentre a lo largo de un triángulo equilátero, y adjuntando los extremos. La tira más corta para la cual es posible consiste en tres triángulos equiláteros, doblados en los bordes donde se encuentran dos triángulos. Su relación de aspecto – la relación de la longitud de la tira a su ancho – es ${displaystyle {sqrt {3}approx 1.73}$, y el mismo método plegable funciona para cualquier aspecto más grande ratio. Para una tira de nueve triángulos equiláteros, el resultado es un trihexaflexagon, que se puede flexión para revelar diferentes partes de sus superficie. Para tiras demasiado cortas para aplicar este método directamente, se puede primero "acordonar" la tira en su amplia dirección de ida y vuelta utilizando un número uniforme de pliegues. Con dos pliegues, por ejemplo, un ${displaystyle 1times 1}$ se convertiría en una tira ${displaystyle 1times {tfrac {1}{3}}$ tira doblada cuya sección transversal está en la forma de una 'N' y permanecería una 'N' después de un medio-twist. La tira de acordeón más estrecha se puede plegar y unirse de la misma manera que una tira más larga lo sería.

Cintas de poliedral y Möbius de cinco vértices

La tira de Möbius también se puede incrustar como una superficie poliédrica en el espacio o plegarse planamente en el plano, con solo cinco caras triangulares que comparten cinco vértices. En este sentido, es más simple que el cilindro, que requiere seis triángulos y seis vértices, incluso cuando se representa de forma más abstracta como un complejo simplicial. Una tira de Möbius de cinco triángulos se puede representar de manera más simétrica mediante cinco de los diez triángulos equiláteros de un símplex regular de cuatro dimensiones. Esta tira de Möbius poliédrica de cuatro dimensiones es la única tira de Möbius ajustada, una que es completamente de cuatro dimensiones y para la cual todos los cortes por hiperplanos la separan en dos partes que son topológicamente equivalentes a discos o círculos.

Otras incrustaciones poliédricas de las tiras de Möbius incluyen una con cuatro cuadriláteros convexos como caras, otra con tres cuadriláteros no convexos caras y una que usa los vértices y el punto central de un cuadrilátero regular octaedro, con un límite triangular . Cada triangulación abstracta del plano proyectivo se puede incrustar en 3D como una tira poliédrica de Möbius con un límite triangular después de eliminar uno de sus caras; un ejemplo es el plano proyectivo de seis vértices obtenido al agregar un vértice a la tira de Möbius de cinco vértices, conectada por triángulos a cada uno de sus límites aristas.< /span> Sin embargo, no toda triangulación abstracta de la tira de Möbius puede representarse geométricamente, como una superficie poliédrica. Para que sea realizable, es necesario y suficiente que no haya dos disjuntos 3 ciclos no contráctiles en la triangulación.

Rectángulos incrustados suavemente

Una franja rectangular Möbius, hecha mediante la fijación de los extremos de un rectángulo de papel, se puede incrustar suavemente en el espacio tridimensional cada vez que su relación de aspecto es mayor que ${displaystyle {sqrt {3}approx 1.73}$, la misma relación que para la versión de triángulo equilátero de la Möbius strip. Esta incrustación triangular plana puede elevarse a una incrustación suave en tres dimensiones, en las que la tira se encuentra plana en tres planos paralelos entre tres rodillos cilíndricos, cada tangente a dos de los aviones. Matemáticamente, una hoja de papel ligeramente incrustada puede ser modelada como una superficie de desarrollo, que puede doblarse pero no puede estirar. A medida que su relación de aspecto disminuye hacia ${displaystyle {sqrt {3}}$, todas las incrustaciones lisas parecen acercarse a la misma triangular forma.

Los pliegues largos de una tira de Möbius plana con acordeón evitan que se forme una incrustación tridimensional en la que las capas se separan unos de otros y se doblan suavemente sin gruñir o estirarse lejos de la pliegues. En su lugar, a diferencia de la maleta plana, hay un límite inferior a la relación de aspecto de las tiras Möbius rectangulares lisas. Su relación de aspecto no puede ser inferior a la ${displaystyle pi /2approx 1.57}$, incluso si se permiten autointersecciones. Autointersecante suave Las tiras Möbius existen para cualquier relación de aspecto por encima de este Atado. Sin autointersecciones, la relación de aspecto debe estar en mínimo

$${fnK}}+4}{sqrt {2{sqrt {f}} {f}} {f} {sqrt {2{sqrt {\sqrt}}}}}}} {f}}} {f}} {f}} {f}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}f}}}}}}}f}f}}}}f}}}}f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}f}} {3}}}+2{sqrt {2{sqrt {3}}}approx 1.695.}$$

Para las relaciones de aspecto entre este límite y ${displaystyle {sqrt {3}}$, se desconoce si las incrustaciones lisas, sin intersección propia, existen. Si el requisito de la suavidad se relaja para permitir superficies continuamente diferenciables, el teorema Nash-Kuiper implica que cualquier dos bordes opuestos de cualquier rectángulo puede pegarse para formar una tira Möbius incrustada, no importa cuán pequeña sea la relación de aspecto se vuelve. El caso limitante, una superficie obtenida de una franja infinita del plano entre dos líneas paralelas, pegadas con la orientación opuesta, se llama la tira de Möbius sin límites o el verdadero paquete de línea tautológica. Aunque no tiene una lisa incrustación en espacio tridimensional, puede ser incrustada suavemente en Euclidean cuatridimensional espacio.

La forma de energía mínima de una cinta de Möbius lisa pegada a un rectángulo no tiene una descripción analítica conocida, pero se puede calcular numéricamente y ha sido objeto de mucho estudio en teoría de placas desde el trabajo inicial sobre este tema en 1930 por Michael Sadowsky. También es posible encontrar superficies algebraicas que contienen tiras de Möbius rectangulares desarrollables.

Hacer circular el límite

Dos tiras Möbius para formar una botella Klein

Una proyección de la banda sudanesa de Möbius

El borde, o límite, de una tira de Möbius es topológicamente equivalente a un círculo. En las formas comunes de la tira de Möbius, tiene una forma diferente a la de un círculo, pero no está anudada y, por lo tanto, toda la tira se puede estirar sin cruzarse para hacer que el borde sea perfectamente circular. Un ejemplo de este tipo se basa en la topología de la botella de Klein, una superficie de un solo lado sin límite que no se puede incrustar en un espacio tridimensional, pero se puede sumergir (permitiendo que la superficie se cruce a sí misma de ciertas formas restringidas). Una botella de Klein es la superficie que resulta cuando se pegan dos tiras de Möbius de borde a borde y, al invertir ese proceso, una botella de Klein se puede cortar a lo largo de un corte cuidadosamente elegido para producir dos Möbius tiras. Para una forma de la botella de Klein conocida como botella de Klein de Lawson, la curva a lo largo de la cual se corta se puede hacer circular, dando como resultado tiras de Möbius con bordes circulares .

La botella de Klein de Lawson es una superficie mínima autocruzada en la hiperesfera unitaria del espacio de 4 dimensiones, el conjunto de puntos de la forma

$${displaystyle (cos theta cos phisin theta cos phicos 2theta sin phisin 2theta sin phi)}$$

${displaystyle 0leq theta âTMapi0leq phi <2pi}$.

${displaystyle 0leqphi }$

${displaystyle mathrm {O} (2)}$,

Representación esquemática de una copa transversal con un fondo abierto, mostrando sus conjuntos de nivel. Esta superficie se cruza a lo largo del segmento de línea vertical.

La franja sudanesa de Möbius se extiende por todos los lados de su círculo limítrofe, inevitablemente si se quiere que la superficie evite cruzarse a sí misma. Otra forma de la tira de Möbius, llamada cross-cap o crosscap, también tiene un límite circular, pero por lo demás permanece en un solo lado del plano de esta círculo, haciéndolo más conveniente para adherir a orificios circulares en otras superficies. Para ello, se cruza a sí mismo. Se puede formar quitando un cuadrilátero de la parte superior de un hemisferio, orientando los bordes del cuadrilátero en direcciones alternas y luego pegando pares opuestos de estos bordes de manera consistente con esta orientación. Las dos partes de la superficie formada por los dos pares de bordes pegados se cruzan entre sí con un punto de pellizco como el de un paraguas Whitney en cada extremo del segmento de cruce, la misma topología estructura vista en el conoide de Plücker.

Superficies de curvatura constante

La tira de Möbius abierta es el interior relativo de una tira de Möbius estándar, formada al omitir los puntos en su borde límite. Se le puede dar una geometría riemanniana de curvatura gaussiana constante positiva, negativa o cero. Los casos de curvatura negativa y cero forman superficies geodésicas completas, lo que significa que todas las geodésicas ("líneas rectas" en la superficie) pueden extenderse indefinidamente en cualquier dirección.

Cero curvatura

Una tira abierta con curvatura cero se puede construir pegando los lados opuestos de una tira de plano entre dos líneas paralelas, descritas anteriormente como la línea tautológica paquete. La métrica resultante hace que la franja Möbius abierta en una superficie plana (geodésicamente) completa (es decir, con cero curvatura gausiana en todas partes). Esta es la métrica única en la tira Möbius, hasta el escalado uniforme, que es plana y completa. Es el espacio cociente de un avión por un reflejo de deslizamiento, y (junto con el plano, el cilindro, el torus y la botella Klein) es uno de sólo cinco bidimensionales completo Manifolds planos.

curvatura negativa

La tira abierta de Möbius también admite métrica completa de curvatura negativa constante. Una manera de ver esto es comenzar con el modelo de medio plano superior (Poincaré) del plano hiperbólico, una geometría de curvatura constante cuyas líneas están representadas en el modelo por semicírculos que cumplen con el ${displaystyle x}$-eje en ángulos rectos. Tome el subconjunto del medio plano superior entre cualquier dos semicírculos anidados, e identifique el semicírculo exterior con la inversión izquierda-derecha del semicírculo interior. El resultado es topológicamente una tira Möbius completa y no compacta con curvatura negativa constante. Es una superficie hiperbólica completa "no estándar" en el sentido de que contiene un medio plano hiperbólico completo (en realidad dos, en los lados opuestos del eje de la reflexión del rígido), y es uno de sólo 13 no estándar superficies. De nuevo, esto se puede entender como el cociente del plano hiperbólico por un deslizamiento reflexión.

curvatura positiva

Una franja Möbius de constante curvatura positiva no puede ser completa, ya que se sabe que las únicas superficies completas de constante curvatura positiva son la esfera y el plano proyectivo. Sin embargo, en un sentido es sólo un punto de distancia de ser una superficie completa, ya que la franja Möbius abierta es homeomorfa al plano proyector una vez perforado, la superficie obtenida eliminando cualquier punto del proyectoive avión.

Las superficies mínimas se describen con una curvatura media cero constante en lugar de una curvatura gaussiana constante. La tira sudanesa de Möbius se construyó como una superficie mínima delimitada por un gran círculo en una esfera de 3, pero también hay una única superficie mínima completa (sin límites) inmersa en el espacio euclidiano que tiene la topología de una tira abierta de Möbius. Se llama Meeks Möbius strip, después de su descripción de 1982 por William Hamilton Meeks, III. Aunque globalmente inestable como una superficie mínima, pequeños parches, delimitados por curvas no contráctiles dentro de la superficie, pueden formar tiras de Möbius incrustadas estables como superficies mínimas. Tanto la tira de Möbius de Meeks, y cada superficie mínima de dimensión superior con la topología de la cinta de Möbius, se puede construir utilizando soluciones al problema de Björling, que define una superficie mínima únicamente a partir de su curva límite y planos tangentes a lo largo de esta curva.

Espacios de líneas

A la familia de líneas en el plano se le puede dar la estructura de un espacio suave, con cada línea representada como un punto en este espacio. El espacio de líneas resultante es topológicamente equivalente a la banda abierta de Möbius. Una forma de ver esto es extender el plano euclidiano al plano proyectivo real agregando una línea más, la línea en el infinito Por dualidad proyectiva el espacio de líneas en el plano proyectivo es equivalente a su espacio de puntos, el propio plano proyectivo. Al eliminar la línea en el infinito, para producir el espacio de líneas euclidianas, se perfora este espacio de líneas. Por lo tanto, el espacio de líneas euclidianas es un plano proyectivo perforado, que es uno de las formas de la banda abierta de Möbius. El espacio de líneas en el plano hiperbólico se puede parametrizar mediante pares desordenados de puntos distintos en un círculo, los pares de puntos en el infinito de cada línea. Este espacio, de nuevo, tiene la topología de una banda de Möbius abierta.

Estos espacios de líneas son altamente simétricos. Las simetrías de las líneas euclidianas incluyen las transformaciones de afina, y las simetrías de las líneas hiperbólicas incluyen las Möbius transformaciones. Las transformaciones affine y las transformaciones Möbius forman 6 dimensiones Grupos de mentira, espacios topológicos con una estructura algebraica compatible que describe la composición de simetrías. Debido a que cada línea en el plano es simétrica a cada otra línea, la tira abierta Möbius es un espacio homogéneo, un espacio con simetrías que llevan cada punto a cada otro punto. Los espacios homogéneos de los grupos de Lie se llaman solvmanifolds, y la tira Möbius se puede utilizar como contraejemplo, mostrando que no todo solvmanifold es un nilmanifold, y que no todo solvmanifold se puede factorizar en un producto directo de un solvmanifold compacto con ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$. Estas simetrías también proporcionan otra manera de construir la propia tira Möbius, como una modelo de grupo de estos grupos de Lie. Un modelo de grupo consiste en un grupo Lie y un subgrupo estabilizador de su acción; contratar los cosets del subgrupo a puntos produce un espacio con la misma topología que el espacio homogéneo subyacente. En el caso de las simetrías de las líneas euroclidianas, el estabilizador del ${displaystyle x}$- eje consiste en todas las simetrías que llevan el eje a sí mismo. Cada línea ${displaystyle ell }$ corresponde a un conjunto, el conjunto de simetrías que mapa ${displaystyle ell }$ a la ${displaystyle x}$-Eje. Por lo tanto, el espacio cociente, un espacio que tiene un punto por conjunto y hereda su topología desde el espacio de las simetrías, es el mismo que el espacio de las líneas, y es de nuevo un Möbius abierto strip.

Aplicaciones

Flujo eléctrico en un resistor Möbius

Más allá de las aplicaciones ya comentadas de las tiras de Möbius para el diseño de correas mecánicas que se desgastan uniformemente en toda su superficie, y del conoide de Plücker para el diseño de engranajes, otras aplicaciones de las tiras de Möbius incluyen:

• Cintas de grafeno torcidas para formar tiras de Möbius con nuevas características electrónicas incluyendo magnetismo helicoidal
• Aromática Möbius, una propiedad de químicos orgánicos cuya estructura molecular forma un ciclo, con orbitales moleculares alineados a lo largo del ciclo en el patrón de una tira Möbius
• El resistor Möbius, una tira de material conductivo que cubre el lado único de una tira Möbius dieléctrica, de una manera que cancela su propia autoinductancia
• Resonadores con un diseño compacto y una frecuencia resonante que es la mitad de la de bobinas lineales de construcción idéntica
• Patrones de polarización en luz emergentes de un q-plate
• Una prueba de la imposibilidad de reglas continuas, anónimas y unánimes de agregación de dos partidos en la teoría de la elección social
• Möbius loop roller coasters, una forma de montaña rusa doble en la que las dos pistas se enrollan alrededor un número impar de veces, para que los carros regresen a la otra pista que la que comenzaron en
• Mapas del mundo proyectados sobre una franja Möbius con las propiedades convenientes que no hay límites este-oeste, y que el antípodo de cualquier punto en el mapa se puede encontrar en el otro lado impreso de la superficie en el mismo punto de la tira Möbius

Los científicos también han estudiado la energía de las películas de jabón con forma de tiras de Möbius, la síntesis química de moléculas con forma de tira de Möbius y la formación de tiras de Möbius a nanoescala más grandes usando origami de ADN.

En la cultura popular

Twist sin fin, Max Bill, 1956, del Middelheim Open Air Sculpture Museum

Las obras de arte bidimensionales que presentan la tira de Möbius incluyen una pintura sin título de 1947 de Corrado Cagli (conmemorada en un poema de Charles Olson) y dos grabados de M. C. Escher: Möbius Band I (1961), que representa tres peces planos plegados mordiéndose entre sí & # 39; cruz; y Möbius Band II (1963), que representa hormigas arrastrándose alrededor de una tira de Möbius en forma de lemniscata. También es un tema popular de la escultura matemática, incluidas las obras de Max Bill (Endless Ribbon, 1953), José de Rivera (Infinity, 1967) y Sebastián. En Immortality (1982) de John Robinson se usó una tira de Möbius anudada en forma de trébol.. Continuum (1976) de Charles O. Perry es una de varias piezas de Perry que explora variaciones de la tira de Möbius.

Símbolo de reciclaje

Logo Google Drive (2012–2014)

Logo IMPA en sello

Debido a su forma fácilmente reconocible, las tiras de Möbius son un elemento común del diseño gráfico. El conocido logotipo de tres flechas para el reciclaje, diseñado en 1970, se basa en la forma triangular suave de la banda de Möbius, al igual que el logotipo de la Expo ', de temática ambiental.;74. Algunas variaciones del símbolo de reciclaje usan una incrustación diferente con tres medias vueltas en lugar de una y la versión original del logotipo de Google Drive usaba una tira de Möbius de tres vueltas plegada plana., al igual que otros diseños similares. El Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) de Brasil utiliza una tira de Möbius suave y estilizada como logotipo, y tiene una gran escultura a juego de una tira de Möbius en exhibición en su edificio. La tira de Möbius también ha aparecido en la obra de arte para sellos postales de países como Brasil, Bélgica, los Países Bajos y Suiza.

NASCAR Hall of Fame entrance

Las tiras de Möbius han sido una inspiración frecuente para el diseño arquitectónico de edificios y puentes. Sin embargo, muchos de estos son proyectos o diseños conceptuales en lugar de objetos construidos, o extienden su interpretación de la cinta de Möbius más allá de su reconocimiento como una forma matemática o una parte funcional de la arquitectura. Un ejemplo es la Biblioteca Nacional de Kazajstán, para la que se planeó un edificio con la forma de una cinta de Möbius engrosada, pero se refinó con un diseño diferente después de que los arquitectos originales se retiraran del proyecto. Un edificio notable que incorpora una tira de Möbius es el Salón de la Fama de NASCAR, que está rodeado por una gran cinta retorcida de acero inoxidable que actúa como fachada y dosel, y evoca las formas curvas de las pistas de carreras. En menor escala, la Moebius Chair (2006) de Pedro Reyes es un banco de cortejo cuya base y laterales tienen forma de cinta de Möbius. Como una forma de matemáticas y artes de la fibra, las bufandas se han tejido en tiras de Möbius desde el trabajo de Elizabeth Zimmermann a principios de la década de 1980. En el diseño de alimentos, las tiras de Möbius se han utilizado para rebanar bagels, hacer bucles con tocino y crear nuevas formas para la pasta.

Aunque matemáticamente la tira de Möbius y la cuarta dimensión son conceptos puramente espaciales, a menudo se los ha invocado en la ficción especulativa como base para un ciclo temporal en el que las víctimas desprevenidas pueden quedar atrapadas. Ejemplos de este tropo incluyen Martin Gardner's "No-Sided Professor" (1946), Armin Joseph Deutsch's "A Subway Named Mobius" (1950) y la película Moebius (1996) basada en él. Todo un mundo con forma de cinta de Möbius es el escenario de 'El muro de las tinieblas' de Arthur C. Clarke. (1946), mientras que las cintas de Möbius convencionales se utilizan como ingeniosas invenciones en múltiples historias de William Hazlett Upson de la década de 1940. Se ha analizado que otras obras de ficción tienen una estructura similar a la tira de Möbius, en la que los elementos de la trama se repiten con un giro; estos incluyen a Marcel Proust 's En busca del tiempo perdido (1913–1927), Luigi Pirandello's Seis personajes en busca de un autor (1921), Frank Capra 's Es una vida maravillosa (1946), John Barth's Lost in the Funhouse (1968), Samuel R. Delany's Dhalgren (1975) y la película Donnie Darko (2001).

Uno de los cánones musicales de J. S. Bach, el quinto de 14 cánones (BWV 1087) descubierto en 1974 en la copia de Bach de las Variaciones Goldberg, presenta una simetría de deslizamiento-reflejo en que cada voz del canon repite, con notas invertidas, el mismo motivo de dos compases anteriores. Debido a esta simetría, se puede pensar que este canon tiene su partitura escrita en una cinta de Möbius. En teoría musical, los tonos que difieren en una octava generalmente se consideran notas equivalentes, y el espacio de las posibles notas forma un círculo, el círculo cromático. Debido a que la tira de Möbius es el espacio de configuración de dos puntos desordenados en un círculo, el espacio de todos los acordes de dos notas toma la forma de una tira de Möbius. Esta concepción, y las generalizaciones a más puntos, es una aplicación significativa de orbifolds a la teoría musical. Los grupos musicales modernos que toman su nombre de la tira de Möbius incluyen al trío estadounidense de rock electrónico Mobius Band y la banda noruega de rock progresivo Ring Van Möbius.

Las tiras de Möbius y sus propiedades se han utilizado en el diseño de magia escénica. Uno de esos trucos, conocido como las bandas afganas, utiliza el hecho de que la tira de Möbius sigue siendo una sola tira cuando se corta a lo largo. Se originó en la década de 1880 y fue muy popular en la primera mitad del siglo XX. Existen muchas versiones de este truco y han sido realizadas por ilusionistas famosos como Harry Blackstone Sr. y Thomas Nelson Downs.