Cinemática

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La cinemática es un subcampo de la física, desarrollado en la mecánica clásica, que describe el movimiento de puntos, cuerpos (objetos) y sistemas de cuerpos (grupos de objetos) sin considerar las fuerzas que hacen que se muevan. La cinemática, como campo de estudio, a menudo se denomina "geometría del movimiento" y, en ocasiones, se considera una rama de las matemáticas.Un problema de cinemática comienza describiendo la geometría del sistema y declarando las condiciones iniciales de cualquier valor conocido de posición, velocidad y/o aceleración de puntos dentro del sistema. Luego, utilizando argumentos de la geometría, se puede determinar la posición, la velocidad y la aceleración de cualquier parte desconocida del sistema. El estudio de cómo actúan las fuerzas sobre los cuerpos cae dentro de la cinética, no de la cinemática. Para más detalles, véase dinámica analítica.

La cinemática se utiliza en astrofísica para describir el movimiento de los cuerpos celestes y las colecciones de dichos cuerpos. En ingeniería mecánica, robótica y biomecánica, la cinemática se utiliza para describir el movimiento de sistemas compuestos por partes unidas (sistemas de enlaces múltiples), como un motor, un brazo robótico o el esqueleto humano.

Las transformaciones geométricas, también llamadas transformaciones rígidas, se utilizan para describir el movimiento de componentes en un sistema mecánico, simplificando la derivación de las ecuaciones de movimiento. También son fundamentales para el análisis dinámico.

El análisis cinemático es el proceso de medir las cantidades cinemáticas utilizadas para describir el movimiento. En ingeniería, por ejemplo, el análisis cinemático se puede usar para encontrar el rango de movimiento de un mecanismo dado y trabajar a la inversa, usando la síntesis cinemática para diseñar un mecanismo para un rango de movimiento deseado. Además, la cinemática aplica la geometría algebraica al estudio de la ventaja mecánica de un sistema o mecanismo mecánico.

Etimología del término

El término cinemática es la versión inglesa de la cinématique de AM Ampère, que construyó a partir del griego κίνημα kinema (" movimiento, movimiento"), derivado a su vez de κινεῖν kinein ("mover").

Kinematic y cinématique están relacionados con la palabra francesa cinéma, pero ninguno se deriva directamente de ella. Sin embargo, comparten una palabra raíz en común, ya que cinéma proviene de la forma abreviada de cinématographe, "proyector de imágenes en movimiento y cámara", una vez más de la palabra griega para movimiento y del griego γρᾰ́φω grapho ("escribir").

Cinemática de la trayectoria de una partícula en un marco de referencia no giratorio

La cinemática de partículas es el estudio de la trayectoria de las partículas. La posición de una partícula se define como el vector de coordenadas desde el origen de un marco de coordenadas hasta la partícula. Por ejemplo, considere una torre a 50 m al sur de su casa, donde el marco de coordenadas está centrado en su casa, de modo que el este está en la dirección del eje x y el norte está en la dirección del eje y, entonces la coordenada vector a la base de la torre es r = (0 m, −50 m, 0 m). Si la torre tiene 50 m de altura y esta altura se mide a lo largo del eje z, entonces el vector de coordenadas hasta la parte superior de la torre es r = (0 m, −50 m, 50 m).

En el caso más general, se utiliza un sistema de coordenadas tridimensional para definir la posición de una partícula. Sin embargo, si la partícula está obligada a moverse dentro de un plano, un sistema de coordenadas bidimensional es suficiente. Todas las observaciones en física están incompletas sin ser descritas con respecto a un marco de referencia.

El vector de posición de una partícula es un vector dibujado desde el origen del marco de referencia hasta la partícula. Expresa tanto la distancia del punto desde el origen como su dirección desde el origen. En tres dimensiones, el vector de posición ${ estilo de visualización { bf {r}}}$ se puede expresar como

{displaystyle mathbf {r} =(x,y,z)=x{hat {mathbf {i} }}+y{hat {mathbf {j} }}+z{hat {mathbf {k} }},}

donde $X$ , $y$ , y $z$ son las coordenadas cartesianas y ${displaystyle {sombrero {mathbf {i} }}}$ , ${displaystyle {sombrero {mathbf {j} }}}$ y ${sombrero {{mathbf k}}}$ son los vectores unitarios a lo largo de los ejes $X$ de coordenadas $y$ , y $z$ , respectivamente. La magnitud del vector de posición ${ estilo de visualización izquierda | mathbf {r} derecha |}$ da la distancia entre el punto $mathbf{r}$ y el origen.

{displaystyle |mathbf {r} |={sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}

Los cosenos directores del vector de posición proporcionan una medida cuantitativa de la dirección. En general, el vector de posición de un objeto dependerá del marco de referencia; marcos diferentes conducirán a valores diferentes para el vector de posición.

La trayectoria de una partícula es una función vectorial del tiempo, ${ matemáticas {r}} (t)$ que define la curva trazada por la partícula en movimiento, dada por

{displaystyle mathbf {r} (t)=x(t){sombrero {mathbf {i} }}+y(t){sombrero {mathbf {j} }}+z(t){ sombrero {mathbf {k} }},}

donde $x(t)$ , $y(t)$ y $z(t)$ describen cada coordenada de la posición de la partícula en función del tiempo.

Velocidad y rapidez

La velocidad de una partícula es una cantidad vectorial que describe la magnitud y la dirección del movimiento de la partícula. Más matemáticamente, la tasa de cambio del vector de posición de un punto, con respecto al tiempo, es la velocidad del punto. Considere la relación formada al dividir la diferencia de dos posiciones de una partícula por el intervalo de tiempo. Esta relación se denomina velocidad promedio en ese intervalo de tiempo y se define como

{displaystyle mathbf {v} _{rm {promedio}}={frac {Delta mathbf {r} }{Delta t}},}

donde ${ estilo de visualización Delta mathbf {r}}$ es el cambio en el vector de posición durante el intervalo de tiempo $Delta t$ . En el límite en que el intervalo de tiempo tiende $Delta t$ a cero, la velocidad media tiende a la velocidad instantánea, definida como la derivada temporal del vector de posición,

{displaystyle mathbf {v} =lim _{Delta tto 0}{frac {Delta mathbf {r} }{Delta t}}={frac {dmathbf {r} } {dt}}={dot {mathbf {r} }}={dot {x}}{hat {mathbf {i} }}+{dot {y}}{hat {mathbf { j} }}+{dot {z}}{sombrero {mathbf {k} }},}

donde el punto denota una derivada con respecto al tiempo (por ejemplo, ${displaystyle {dot {x}}=dx/dt}$ ). Por lo tanto, la velocidad de una partícula es la tasa de cambio de su posición en el tiempo. Además, esta velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula en cada posición a lo largo de su camino. Tenga en cuenta que en un marco de referencia no giratorio, las derivadas de las direcciones de las coordenadas no se consideran ya que sus direcciones y magnitudes son constantes.

La rapidez de un objeto es la magnitud de su velocidad. Es una cantidad escalar:

{displaystyle v=|mathbf {v} |={frac {ds}{dt}},}

donde $s$ es la longitud del arco medida a lo largo de la trayectoria de la partícula. Esta longitud de arco siempre debe aumentar a medida que se mueve la partícula. Por lo tanto, ${ estilo de visualización ds/dt}$ es no negativa, lo que implica que la velocidad tampoco es negativa.

Aceleración

El vector de velocidad puede cambiar en magnitud y en dirección o en ambos a la vez. Por lo tanto, la aceleración explica tanto la tasa de cambio de la magnitud del vector de velocidad como la tasa de cambio de dirección de ese vector. El mismo razonamiento que se usa con respecto a la posición de una partícula para definir la velocidad, se puede aplicar a la velocidad para definir la aceleración. La aceleración de una partícula es el vector definido por la tasa de cambio del vector velocidad. La aceleración promedio de una partícula durante un intervalo de tiempo se define como la relación.

{displaystyle {overline {mathbf {a} }}={frac {Delta mathbf {v} }{Delta t}},}

donde Δ v es la diferencia en el vector de velocidad y Δ t es el intervalo de tiempo.

La aceleración de la partícula es el límite de la aceleración promedio cuando el intervalo de tiempo se aproxima a cero, que es la derivada del tiempo,

{displaystyle mathbf {a} =lim _{Delta tto 0}{frac {Delta mathbf {v} }{Delta t}}={frac {dmathbf {v} } {dt}}={dot {mathbf {v} }}={dot {v}}_{x}{hat {mathbf {i} }}+{dot {v}}_{y }{sombrero {mathbf {j} }}+{dot {v}}_{z}{sombrero {mathbf {k} }}}

{displaystyle mathbf {a} ={ddot {mathbf {r} }}={ddot {x}}{hat {mathbf {i} }}+{ddot {y}}{hat {mathbf {j} }}+{ddot {z}}{sombrero {mathbf {k} }}}

Por lo tanto, la aceleración es la primera derivada del vector de velocidad y la segunda derivada del vector de posición de esa partícula. Tenga en cuenta que en un marco de referencia no giratorio, las derivadas de las direcciones de las coordenadas no se consideran ya que sus direcciones y magnitudes son constantes.

La magnitud de la aceleración de un objeto es la magnitud | un | de su vector aceleración. Es una cantidad escalar:

{displaystyle |mathbf {a} |=|{dot {mathbf {v} }}|={frac {dv}{dt}},}

Vector de posición relativa

Un vector de posición relativa es un vector que define la posición de un punto con respecto a otro. Es la diferencia de posición de los dos puntos. La posición de un punto A con respecto a otro punto B es simplemente la diferencia entre sus posiciones

{displaystyle mathbf {r}_{A/B}=mathbf {r}_{A}-mathbf {r}_{B}}

que es la diferencia entre las componentes de sus vectores de posición.

Si el punto A tiene componentes de posición ${displaystyle mathbf {r} _{A}=left(x_{A},y_{A},z_{A}right)}$

Si el punto B tiene componentes de posición ${ estilo de visualización mathbf {r} _ {B} = izquierda (x_ {B}, y_ {B}, z_ {B} derecha)}$

entonces la posición del punto A con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes: ${displaystyle mathbf {r}_{A/B}=mathbf {r}_{A}-mathbf {r}_{B}=left(x_{A}-x_{B},y_{ A}-y_{B},z_{A}-z_{B}right)}$

Velocidad relativa

La velocidad de un punto con respecto a otro es simplemente la diferencia entre sus velocidades

{displaystyle mathbf {v}_{A/B}=mathbf {v}_{A}-mathbf {v}_{B}}

que es la diferencia entre las componentes de sus velocidades.

Si el punto A tiene componentes de velocidad ${displaystyle mathbf {v} _{A}=left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}right)}$ y el punto B tiene componentes de velocidad, ${displaystyle mathbf {v} _{B}=left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}right)}$ entonces la velocidad del punto A relativa al punto B es la diferencia entre sus componentes: ${displaystyle mathbf {v}_{A/B}=mathbf {v}_{A}-mathbf {v}_{B}=left(v_{A_{x}}-v_{B_{ x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}right)}$

Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse calculando la derivada temporal del vector de posición relativa r _B/A.

En el caso de que la velocidad esté cerca de la velocidad de la luz c (generalmente dentro del 95 %), en la relatividad especial se utiliza otro esquema de velocidad relativa llamado rapidez, que depende de la relación entre v y c.

Aceleración relativa

La aceleración de un punto C con respecto a otro punto B es simplemente la diferencia entre sus aceleraciones.

{displaystyle mathbf {a}_{C/B}=mathbf {a}_{C}-mathbf {a}_{B}}

que es la diferencia entre las componentes de sus aceleraciones.

Si el punto C tiene componentes de aceleración ${displaystyle mathbf {a} _{C}=left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}right)}$ y el punto B tiene componentes de aceleración, ${displaystyle mathbf {a} _{B}=left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}right)}$ entonces la aceleración del punto C con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes: ${displaystyle mathbf {a}_{C/B}=mathbf {a}_{C}-mathbf {a}_{B}=left(a_{C_{x}}-a_{B_{ x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}right)}$

Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse calculando la segunda derivada temporal del vector de posición relativa r _B/A.

Suponiendo que se conocen las condiciones iniciales de la posición, $mathbf {r} _{0}$ y la velocidad $mathbf {v} _{0}$ en el tiempo $t=0$ , la primera integración produce la velocidad de la partícula en función del tiempo.

{displaystyle mathbf {v} (t)=mathbf {v} _{0}+int _{0}^{t}mathbf {a} ,dtau =mathbf {v}_{ 0}+mathbf {a} t.}

Una segunda integración produce su camino (trayectoria),

{displaystyle mathbf {r} (t)=mathbf {r}_{0}+int_{0}^{t}mathbf {v} (tau),dtau =mathbf { r} _{0}+int _{0}^{t}left(mathbf {v}_{0}+mathbf {a} tau right)dtau =mathbf {r} _ {0}+mathbf {v} _{0}t+{tfrac {1}{2}}mathbf {a} t^{2}.}

Se pueden derivar relaciones adicionales entre desplazamiento, velocidad, aceleración y tiempo. Como la aceleración es constante,

{displaystyle mathbf {a} ={frac {Delta mathbf {v} }{Delta t}}={frac {mathbf {v} -mathbf {v}_{0}}{t }}}

se puede sustituir en la ecuación anterior para dar:

{displaystyle mathbf {r} (t)=mathbf {r} _{0}+left({frac {mathbf {v} +mathbf {v}_{0}}{2}} derecha)t.}

Se puede tener una relación entre la velocidad, la posición y la aceleración sin una dependencia explícita del tiempo resolviendo la aceleración promedio para el tiempo y sustituyendo y simplificando

{displaystyle t={frac {mathbf {v} -mathbf {v} _{0}}{mathbf {a} }}}

{displaystyle left(mathbf {r} -mathbf {r} _{0}right)cdot mathbf {a} =left(mathbf {v} -mathbf {v} _{0} right)cdot {frac {mathbf {v} +mathbf {v} _{0}}{2}},}

donde $cdot$ denota el producto escalar, que es apropiado ya que los productos son escalares en lugar de vectores.

{displaystyle 2left(mathbf {r} -mathbf {r} _{0}right)cdot mathbf {a} =|mathbf {v} |^{2}-|mathbf {v } _{0}|^{2}.}

El producto escalar se puede reemplazar por el coseno del ángulo α entre los vectores (consulte Interpretación geométrica del producto escalar para obtener más detalles) y los vectores por sus magnitudes, en cuyo caso:

{displaystyle 2left|mathbf {r} -mathbf {r} _{0}right|left|mathbf {a} right|cos alpha =|mathbf {v} |^{ 2}-|mathbf {v} _{0}|^{2}.}

En el caso de aceleración siempre en la dirección del movimiento y la dirección del movimiento debe ser positiva o negativa, el ángulo entre los vectores (α) es 0, entonces ${ estilo de visualización cos 0 = 1}$ , y

{displaystyle |mathbf {v} |^{2}=|mathbf {v} _{0}|^{2}+2izquierda|mathbf {a} derecha|izquierda|mathbf {r } -mathbf {r} _{0}derecho|.}

Esto se puede simplificar usando la notación para las magnitudes de los vectores ${displaystyle |mathbf {a} |=a,|mathbf {v} |=v,|mathbf {r} -mathbf {r} _{0}|=Delta r}$ donde $Delta r$ puede tomarse cualquier trayectoria curvilínea a medida que se aplica la aceleración tangencial constante a lo largo de esa trayectoria, por lo que

{displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2aDelta r.}

Esto reduce las ecuaciones paramétricas de movimiento de la partícula a una relación cartesiana de velocidad versus posición. Esta relación es útil cuando se desconoce el tiempo. También sabemos que ${estilo de texto Delta r=int v,dt}$ o $Delta r$ es el área bajo una gráfica de velocidad-tiempo.

Podemos tomar $Delta r$ sumando el área superior y el área inferior. El área inferior es un rectángulo, y el área de un rectángulo es $Acdot B$ donde $A$ es el ancho y $B$ es la altura. En este caso ${ estilo de visualización A = t}$ y ${displaystyle B=v_{0}}$ (tenga en cuenta que $A$ aquí es diferente de la aceleración $a$ ). Esto significa que el área inferior es ${displaystyle tv_{0}}$ . Ahora encontremos el área superior (un triángulo). El área de un triángulo es ${textstyle {frac {1}{2}}BH}$ donde $B$ está la base y $H$ es la altura. En este caso, ${ estilo de visualización B = t}$ y ${displaystyle H=en}$ o ${textstyle A={frac {1}{2}}BH={frac {1}{2}}att={frac {1}{2}}en^{2}={frac {en ^{2}}{2}}}$ . Sumar ${displaystyle v_{0}t}$ y da como ${textstyle {frac {a^{2}}{2}}}$ resultado la ecuación $Delta r$ da como resultado la ecuación ${textstyle Delta r=v_{0}t+{frac {at^{2}}{2}}}$ . Esta ecuación es aplicable cuando la velocidad final ves desconocido.

Trayectorias de partículas en coordenadas cilíndrico-polares

A menudo es conveniente formular la trayectoria de una partícula r (t) = (x (t), y (t), z (t)) usando coordenadas polares en el plano X – Y. En este caso, su velocidad y aceleración toman una forma conveniente.

Recuerde que la trayectoria de una partícula P está definida por su vector de coordenadas r medido en un marco de referencia fijo F. A medida que la partícula se mueve, su vector de coordenadas r (t) traza su trayectoria, que es una curva en el espacio, dada por:

donde i, j y k son los vectores unitarios a lo largo de los ejes X, Y y Z del marco de referencia F, respectivamente.

Considere una partícula P que se mueve solo en la superficie de un cilindro circular r (t) = constante, es posible alinear el eje Z del marco fijo F con el eje del cilindro. Entonces, el ángulo θ alrededor de este eje en el plano X – Y se puede usar para definir la trayectoria como,

{displaystyle mathbf {r} (t)=Rcos(theta (t)){hat {mathbf {i} }}+Rsin(theta (t)){hat {mathbf {j} }}+z(t){sombrero {mathbf {k} }}}

donde la distancia constante desde el centro se denota como R, y θ = θ (t) es una función del tiempo.

Las coordenadas cilíndricas para r (t) se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios radial y tangencial,

{displaystyle mathbf {e} _{r}=cos(theta (t)){hat {mathbf {i} }}+sin(theta (t)){hat {mathbf { j} }},quad mathbf {e} _{theta }=-sin(theta (t)){hat {mathbf {i} }}+cos(theta (t)){ sombrero {mathbf {j} }}.}

y su tiempo se deriva del cálculo elemental:

{displaystyle {frac {d}{dt}}mathbf {e} _{r}={dot {mathbf {e} }}_{r}={dot {theta }}mathbf { e} _{theta}}

{displaystyle {frac {d}{dt}}{dot {mathbf {e} }}_{r}={ddot {mathbf {e} }}_{r}={ddot { theta }}mathbf {e} _{theta }-{dot {theta }}mathbf {e} _{r}}

{displaystyle {frac {d}{dt}}mathbf {e} _{theta }={dot {mathbf {e} }}_{theta }=-{dot {theta }} mathbf {e} _{r}}

{displaystyle {frac {d}{dt}}{dot {mathbf {e} }}_{theta }={ddot {mathbf {e} }}_{theta }=-{ ddot {theta}}mathbf {e}_{r}-{dot {theta}}^{2}mathbf {e}_{theta}.}

Usando esta notación, r (t) toma la forma,

{displaystyle mathbf {r} (t)=Rmathbf {e} _{r}+z(t){sombrero {mathbf {k} }}.}

En general, la trayectoria r (t) no está restringida a permanecer sobre un cilindro circular, por lo que el radio R varía con el tiempo y la trayectoria de la partícula en coordenadas cilíndrico-polares se convierte en:

{displaystyle mathbf {r} (t)=R(t)mathbf {e} _{r}+z(t){hat {mathbf {k} }}.}

Donde R, θ y z podrían ser funciones de tiempo continuamente diferenciables y la notación de función se elimina por simplicidad. El vector velocidad v _P es la derivada temporal de la trayectoria r (t), lo que produce:

{displaystyle mathbf {v} _{P}={frac {d}{dt}}left(Rmathbf {e} _{r}+z{hat {mathbf {k} }} derecha)={dot {R}}mathbf {e} _{r}+R{dot {mathbf {e} }}_{r}+{dot {z}}{hat {mathbf {k} }}={dot {R}}mathbf {e} _{r}+R{dot {theta }}mathbf {e}_{theta }+{dot {z}} {sombrero {mathbf {k} }}.}

De manera similar, la aceleración a _P, que es la derivada temporal de la velocidad v _P, está dada por:

{displaystyle mathbf {a} _{P}={frac {d}{dt}}left({dot {R}}mathbf {e} _{r}+R{dot {theta }}mathbf {e} _{theta }+{dot {z}}{hat {mathbf {k} }}right)=left({ddot {R}}-R{dot { theta }}^{2}right)mathbf {e} _{r}+left(R{ddot {theta }}+2{dot {R}}{dot {theta } }right)mathbf {e} _{theta }+{ddot {z}}{hat {mathbf {k} }}.}

El término ${displaystyle -R{dot {theta }}^{2}mathbf {e} _{r}}$ actúa hacia el centro de curvatura de la trayectoria en ese punto de la trayectoria, se denomina comúnmente aceleración centrípeta. El término ${displaystyle 2{dot {R}}{dot {theta }}mathbf {e} _{theta }}$ se llama aceleración de Coriolis.

Radio constante

Si la trayectoria de la partícula está restringida para descansar sobre un cilindro, entonces el radio R es constante y los vectores de velocidad y aceleración se simplifican. La velocidad de v _P es la derivada temporal de la trayectoria r (t),

{displaystyle mathbf {v} _{P}={frac {d}{dt}}left(Rmathbf {e} _{r}+z{hat {mathbf {k} }} derecha)=R{dot {theta }}mathbf {e} _{theta }+{dot {z}}{hat {mathbf {k} }}.}

Trayectorias circulares planas

Un caso especial de trayectoria de una partícula en un cilindro circular ocurre cuando no hay movimiento a lo largo del eje Z:

{displaystyle mathbf {r} (t)=Rmathbf {e} _{r}+z_{0}{hat {mathbf {k} }},}

donde R y z ₀ son constantes. En este caso, la velocidad v _P viene dada por:

{displaystyle mathbf {v} _{P}={frac {d}{dt}}left(Rmathbf {e} _{r}+z_{0}{hat {mathbf {k} }}right)=R{dot {theta }}mathbf {e}_{theta}=Romega mathbf {e}_{theta},}

donde ${displaystyle omega ={dot {theta }}}$ es la velocidad angular del vector unitario e _θ alrededor del eje z del cilindro.

La aceleración a _P de la partícula P viene dada ahora por:

{displaystyle mathbf {a} _{P}={frac {d}{dt}}left(R{dot {theta }}mathbf {e}_{theta}right)=- R{punto {theta}}^{2}mathbf {e}_{r}+R{ddot {theta}}mathbf {e}_{theta}.}

Los componentes

{displaystyle a_{r}=-R{dot {theta }}^{2},quad a_{theta }=R{ddot {theta }},}

se denominan, respectivamente, las componentes radial y tangencial de la aceleración.

La notación para la velocidad angular y la aceleración angular a menudo se define como

{displaystyle omega ={dot {theta }},quad alpha ={ddot {theta }},}

por lo que las componentes de aceleración radial y tangencial para trayectorias circulares también se escriben como

{displaystyle a_{r}=-Romega ^{2},quad a_{theta }=Ralpha.}

Trayectorias puntuales en un cuerpo que se mueve en el plano

El movimiento de los componentes de un sistema mecánico se analiza adjuntando un marco de referencia a cada parte y determinando cómo se mueven los diversos marcos de referencia entre sí. Si la rigidez estructural de las partes es suficiente, entonces se puede despreciar su deformación y se pueden usar transformaciones rígidas para definir este movimiento relativo. Esto reduce la descripción del movimiento de las diversas partes de un sistema mecánico complicado a un problema de descripción de la geometría de cada parte y la asociación geométrica de cada parte en relación con otras partes.

La geometría es el estudio de las propiedades de las figuras que permanecen iguales mientras el espacio se transforma de varias maneras; más técnicamente, es el estudio de las invariantes bajo un conjunto de transformaciones. Estas transformaciones pueden provocar el desplazamiento del triángulo en el plano, dejando sin cambios el ángulo del vértice y las distancias entre los vértices. La cinemática a menudo se describe como geometría aplicada, donde el movimiento de un sistema mecánico se describe utilizando las transformaciones rígidas de la geometría euclidiana.

Las coordenadas de los puntos en un plano son vectores bidimensionales en R (espacio bidimensional). Las transformaciones rígidas son aquellas que conservan la distancia entre dos puntos cualesquiera. El conjunto de transformaciones rígidas en un espacio n -dimensional se denomina grupo euclidiano especial en R y se denota SE(n).

Desplazamientos y movimiento

La posición de un componente de un sistema mecánico en relación con otro se define introduciendo un marco de referencia, digamos M, en uno que se mueve en relación con un marco fijo, F, en el otro. La transformación rígida, o desplazamiento, de M con respecto a F define la posición relativa de los dos componentes. Un desplazamiento consiste en la combinación de una rotación y una traslación.

El conjunto de todos los desplazamientos de M con respecto a F se denomina espacio de configuración de M. Una curva suave de una posición a otra en este espacio de configuración es un conjunto continuo de desplazamientos, denominado movimiento de M con respecto a F. El movimiento de un cuerpo consta de un conjunto continuo de rotaciones y traslaciones.

Representación matricial

La combinación de una rotación y traslación en el plano R se puede representar mediante un cierto tipo de matriz de 3×3 conocida como transformada homogénea. La transformada homogénea 3×3 se construye a partir de una matriz de rotación A (φ) de 2×2 y el vector de traslación 2×1 d = (d _x, d _y), como:

{displaystyle [T(phi,mathbf {d})]={begin{bmatrix}A(phi)&mathbf {d} \mathbf {0} &1end{bmatrix}}={ begin{bmatrix}cos phi &-sin phi &d_{x}\sin phi &cos phi &d_{y}\0&0&1end{bmatrix}}.}

Estas transformadas homogéneas realizan transformaciones rígidas en los puntos del plano z = 1, es decir, en puntos con coordenadas r = (x, y, 1).

En particular, deje que r defina las coordenadas de los puntos en un marco de referencia M coincidentes con un marco fijo F. Entonces, cuando el origen de M es desplazado por el vector de traslación d relativo al origen de F y rotado por el ángulo φ relativo al eje x de F, las nuevas coordenadas en F de los puntos en M están dadas por:

{displaystyle mathbf {P} =[T(phi,mathbf {d})]mathbf {r} ={begin{bmatrix}cos phi &-sin phi &d_{x}\ sin phi &cos phi &d_{y}\0&0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix}}.}

Las transformaciones homogéneas representan transformaciones afines. Esta formulación es necesaria porque una traslación no es una transformación lineal de R. Sin embargo, al usar geometría proyectiva, de modo que R se considere un subconjunto de R, las traslaciones se convierten en transformaciones lineales afines.

Traducción pura

Si un cuerpo rígido se mueve de manera que su marco de referencia M no gira (θ = 0) en relación con el marco fijo F, el movimiento se denomina traslación pura. En este caso, la trayectoria de cada punto del cuerpo es un desplazamiento de la trayectoria d (t) del origen de M, es decir:

{displaystyle mathbf {r} (t)=[T(0,mathbf {d} (t))]mathbf {p} =mathbf {d} (t)+mathbf {p}.}

Así, para cuerpos en traslación pura, la velocidad y la aceleración de cada punto P del cuerpo están dadas por:

{displaystyle mathbf {v} _{P}={dot {mathbf {r} }}(t)={dot {mathbf {d} }}(t)=mathbf {v}_{ O},quad mathbf {a} _{P}={ddot {mathbf {r} }}(t)={ddot {mathbf {d} }}(t)=mathbf {a} _ {O},}

donde el punto denota la derivada con respecto al tiempo y v _O y a _O son la velocidad y la aceleración, respectivamente, del origen del marco móvil M. Recuerde que el vector de coordenadas p en M es constante, por lo que su derivada es cero.

Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo

La cinemática rotacional o angular es la descripción de la rotación de un objeto. En lo que sigue, la atención se restringe a la simple rotación alrededor de un eje de orientación fija. El eje z se ha elegido por conveniencia.

Posición

Esto permite la descripción de una rotación como la posición angular de un marco de referencia plano M relativo a un F fijo sobre este eje z compartido. Las coordenadas p = (x, y) en M están relacionadas con las coordenadas P = (X, Y) en F por la ecuación matricial:

{displaystyle mathbf {P} (t)=[A(t)]mathbf {p},}

dónde

{displaystyle [A(t)]={begin{bmatrix}cos(theta (t))&-sin(theta (t))\sin(theta (t))&cos (theta (t))end{bmatriz}},}

es la matriz de rotación que define la posición angular de M relativa a F en función del tiempo.

Velocidad

Si el punto p no se mueve en M, su velocidad en F viene dada por

{displaystyle mathbf {v} _{P}={dot {mathbf {P} }}=[{dot {A}}(t)]mathbf {p}.}

Es conveniente eliminar las coordenadas p y escribir esto como una operación sobre la trayectoria P (t),

{displaystyle mathbf {v} _{P}=[{dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]mathbf {P} =[Omega ]mathbf {P },}

donde la matriz

{displaystyle [Omega ]={begin{bmatrix}0&-omega \omega &0end{bmatrix}},}

se conoce como la matriz de velocidad angular de M relativa a F. El parámetro ω es la derivada temporal del ángulo θ, es decir:

{displaystyle omega ={frac {dtheta}{dt}}.}

Aceleración

La aceleración de P (t) en F se obtiene como la derivada temporal de la velocidad,

{displaystyle mathbf {A} _{P}={ddot {P}}(t)=[{dot {Omega }}]mathbf {P} +[Omega ]{dot {mathbf {PAGS} }},}

que se convierte

{displaystyle mathbf {A} _{P}=[{dot {Omega }}]mathbf {P} +[Omega ][Omega ]mathbf {P},}

dónde

{displaystyle [{dot {Omega }}]={begin{bmatrix}0&-alpha \alpha &0end{bmatrix}},}

es la matriz de aceleración angular de M en F, y

{ estilo de visualización alfa = { frac {d ^ {2} theta }{ dt ^ {2}}}.}

La descripción de la rotación involucra estas tres cantidades:

Posición angular: la distancia orientada desde un origen seleccionado en el eje de rotación hasta un punto de un objeto es un vector r (t) que ubica el punto. El vector r (t) tiene alguna proyección (o, equivalentemente, alguna componente) r _⊥ (t) en un plano perpendicular al eje de rotación. Entonces, la posición angular de ese punto es el ángulo θ desde un eje de referencia (típicamente el eje x positivo) al vector r _⊥ (t) en un sentido de rotación conocido (típicamente dado por la regla de la mano derecha).
Velocidad angular: la velocidad angular ω es la velocidad a la que cambia la posición angular θ con respecto al tiempo t: ${displaystyle omega ={frac {dtheta}{dt}}}$ La velocidad angular está representada en la Figura 1 por un vector Ω que apunta a lo largo del eje de rotación con magnitud ω y sentido determinado por la dirección de rotación dada por la regla de la mano derecha.
Aceleración angular: la magnitud de la aceleración angular α es la velocidad a la que cambia la velocidad angular ω con respecto al tiempo t: ${displaystyle alpha ={frac {domega}{dt}}}$

Las ecuaciones de la cinemática de traslación se pueden extender fácilmente a la cinemática de rotación plana para una aceleración angular constante con intercambios de variables simples:

{displaystyle omega_{mathrm {f} }=omega_{mathrm {i} }+alpha t!}

{displaystyle theta_{mathrm {f} }-theta_{mathrm {i} }=omega_{mathrm {i} }t+{tfrac {1}{2}}alpha t^ {2}}

{displaystyle theta_{mathrm {f} }-theta_{mathrm {i} }={tfrac {1}{2}}(omega_{mathrm {f} }+omega _ { matemáticas {i} }) t}

{displaystyle omega_{mathrm {f} }^{2}=omega_{mathrm {i} }^{2}+2alpha (theta_{mathrm {f} }-theta _ {mathrm {i} }).}

Aquí θ _i y θ _f son, respectivamente, las posiciones angulares inicial y final, ω _i y ω _f son, respectivamente, las velocidades angulares inicial y final, y α es la aceleración angular constante. Aunque la posición en el espacio y la velocidad en el espacio son vectores verdaderos (en términos de sus propiedades bajo rotación), al igual que la velocidad angular, el ángulo en sí mismo no es un vector verdadero.

Trayectorias puntuales en el movimiento del cuerpo en tres dimensiones

Fórmulas importantes en cinemática definen la velocidad y la aceleración de los puntos en un cuerpo en movimiento a medida que trazan trayectorias en el espacio tridimensional. Esto es particularmente importante para el centro de masa de un cuerpo, que se usa para derivar ecuaciones de movimiento usando la segunda ley de Newton o las ecuaciones de Lagrange.

Posición

Para definir estas fórmulas, el movimiento de un componente B de un sistema mecánico está definido por el conjunto de rotaciones [A(t)] y traslaciones d (t) ensambladas en la transformación homogénea [T(t)]=[A (t), d (t)]. Si p son las coordenadas de un punto P en B medidas en el marco de referencia móvil M, entonces la trayectoria de este punto trazada en F está dada por:

{displaystyle mathbf {P} (t)=[T(t)]mathbf {p} ={begin{bmatrix}mathbf {P} \1end{bmatrix}}={begin{bmatrix }A(t)&mathbf {d} (t)\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}mathbf {p} \1end{bmatrix}}.}

Esta notación no distingue entre P = (X, Y, Z, 1) y P = (X, Y, Z), lo que es de esperar que quede claro en el contexto.

Esta ecuación para la trayectoria de P se puede invertir para calcular el vector de coordenadas p en M como:

{displaystyle mathbf {p} =[T(t)]^{-1}mathbf {P} (t)={begin{bmatrix}mathbf {p} \1end{bmatrix}}= {begin{bmatrix}A(t)^{text{T}}&-A(t)^{text{T}}mathbf {d} (t)\0&1end{bmatrix}}{ begin{bmatrix}mathbf {P} (t)\1end{bmatrix}}.}

Esta expresión utiliza el hecho de que la transpuesta de una matriz de rotación es también su inversa, es decir:

{displaystyle [A(t)]^{text{T}}[A(t)]=I.!}

Velocidad

La velocidad del punto P a lo largo de su trayectoria P (t) se obtiene como la derivada temporal de este vector de posición,

{displaystyle mathbf {v} _{P}=[{dot {T}}(t)]mathbf {p} ={begin{bmatrix}mathbf {v} _{P}\0 end{bmatrix}}=left({frac {d}{dt}}{begin{bmatrix}A(t)&mathbf {d} (t)\0&1end{bmatrix}}right) {begin{bmatrix}mathbf {p} \1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{dot {A}}(t)&{dot {mathbf {d} }}(t)\0&0end{bmatriz}}{begin{bmatriz}mathbf {p} \1end{bmatriz}}.}

El punto denota la derivada con respecto al tiempo; como p es constante, su derivada es cero.

Esta fórmula se puede modificar para obtener la velocidad de P operando sobre su trayectoria P (t) medida en el marco fijo F. Sustituyendo la transformada inversa por p en la ecuación de velocidad se obtiene:

{displaystyle {begin{alineado}mathbf {v}_{P}&=[{dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}mathbf {P} (t)\[4pt]&={begin{bmatrix}mathbf {v} _{P}\0end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{dot {A}}&{dot {mathbf {d} }}\0&0end{bmatrix}}{begin{bmatrix}A&mathbf {d} \0&1end{bmatrix}}^{-1}{begin{bmatrix} mathbf {P} (t)\1end{bmatrix}}\[4pt]&={begin{bmatrix}{dot {A}}&{dot {mathbf {d} }}\ 0&0end{bmatrix}}A^{-1}{begin{bmatrix}1&-mathbf {d} \0&Aend{bmatrix}}{begin{bmatrix}mathbf {P} (t) 1end{bmatrix}}\[4pt]&={begin{bmatrix}{dot {A}}A^{-1}&-{dot {A}}A^{-1} mathbf {d} +{dot {mathbf {d} }}\0&0end{bmatrix}}{begin{bmatrix}mathbf {P} (t)\1end{bmatrix}}\ [4pt]&={begin{bmatrix}{dot {A}}A^{text{T}}&-{dot {A}}A^{text{T}}mathbf {d} +{punto {mathbf {d} }}\0&0end{bmatrix}}{begin{bmatrix}mathbf {P} (t)\1end{bmatrix}}\[6pt]mathbf {v} _{P}&=[S] mathbf {P}.end{alineado}}}

La matriz [ S ] viene dada por:

{displaystyle [S]={begin{bmatrix}Omega &-Omega mathbf {d} +{dot {mathbf {d} }}\0&0end{bmatrix}}}

dónde

{displaystyle [Omega ]={dot {A}}A^{text{T}},}

es la matriz de velocidad angular.

Multiplicando por el operador [ S ], la fórmula para la velocidad v _P toma la forma:

{displaystyle mathbf {v} _{P}=[Omega ](mathbf {P} -mathbf {d})+{dot {mathbf {d} }}=omega times mathbf { R} _{P/O}+mathbf {v} _{O},}

donde el vector ω es el vector de velocidad angular obtenido a partir de las componentes de la matriz [Ω]; el vector

{displaystyle mathbf {R} _{P/O}=mathbf {P} -mathbf {d},}

es la posición de P con respecto al origen O del marco móvil M; y

{displaystyle mathbf {v} _{O}={dot {mathbf {d} }},}

es la velocidad del origen O.

Aceleración

La aceleración de un punto P en un móvil B se obtiene como la derivada temporal de su vector velocidad:

{displaystyle mathbf {A} _{P}={frac {d}{dt}}mathbf {v} _{P}={frac {d}{dt}}left([S] mathbf {P} right)=[{dot {S}}]mathbf {P} +[S]{dot {mathbf {P} }}=[{dot {S}}]mathbf { P} +[S][S]mathbf {P}.}

Esta ecuación se puede expandir primero calculando

{displaystyle [{dot {S}}]={begin{bmatrix}{dot {Omega }}&-{dot {Omega }}mathbf {d} -Omega {dot { mathbf {d} }}+{ddot {mathbf {d} }}\0&0end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{dot {Omega }}&-{dot {Omega }}mathbf {d} -Omega mathbf {v} _{O}+mathbf {A} _{O}\0&0end{bmatriz}}}

{displaystyle [S]^{2}={begin{bmatrix}Omega &-Omega mathbf {d} +mathbf {v}_{O}\0&0end{bmatrix}}^{2 }={begin{bmatrix}Omega ^{2}&-Omega ^{2}mathbf {d} +Omega mathbf {v} _{O}\0&0end{bmatrix}}.}

La fórmula para la aceleración A _P ahora se puede obtener como:

{displaystyle mathbf {A} _{P}={dot {Omega }}(mathbf {P} -mathbf {d})+mathbf {A} _{O}+Omega ^{2 }(mathbf {P} -mathbf {d}),}

{displaystyle mathbf {A} _{P}=alpha times mathbf {R} _{P/O}+omega times omega times mathbf {R} _{P/O}+ matemáticasbf {A} _ {O},}

donde α es el vector de aceleración angular obtenido a partir de la derivada de la matriz de velocidad angular;

es el vector de posición relativa (la posición de P relativa al origen O del marco móvil M); y

{displaystyle mathbf {A} _{O}={ddot {mathbf {d} }}}

es la aceleración del origen del marco móvil M.

Restricciones cinemáticas

Las restricciones cinemáticas son restricciones sobre el movimiento de los componentes de un sistema mecánico. Se puede considerar que las restricciones cinemáticas tienen dos formas básicas, (i) restricciones que surgen de bisagras, deslizadores y juntas de leva que definen la construcción del sistema, llamadas restricciones holonómicas, y (ii) restricciones impuestas sobre la velocidad del sistema, como la restricción de filo de cuchillo de los patines de hielo en un plano, o rodar sin deslizar un disco o esfera en contacto con un plano, que se denominan restricciones no holonómicas. Los siguientes son algunos ejemplos comunes.

Acoplamiento cinemático

Un acoplamiento cinemático restringe exactamente los 6 grados de libertad.

Rodando sin resbalar

Un objeto que rueda contra una superficie sin resbalar obedece a la condición de que la velocidad de su centro de masa sea igual al producto vectorial de su velocidad angular con un vector desde el punto de contacto hasta el centro de masa:

{displaystyle {boldsymbol {v}}_{G}(t)={boldsymbol {Omega }}times {boldsymbol {r}}_{G/O}.}

Para el caso de un objeto que no se inclina ni gira, esto se reduce a $v=romega$ .

Cordón inextensible

Este es el caso donde los cuerpos están conectados por una cuerda idealizada que permanece en tensión y no puede cambiar de longitud. La restricción es que la suma de las longitudes de todos los segmentos de la cuerda es la longitud total y, en consecuencia, la derivada temporal de esta suma es cero. Un problema dinámico de este tipo es el péndulo. Otro ejemplo es un tambor que gira por la atracción de la gravedad sobre un peso que cae unido al borde por la cuerda inextensible. Un problema de equilibrio (es decir, no cinemático) de este tipo es la catenaria.

Pares cinemáticos

Reuleaux llamó pares cinemáticos a las conexiones ideales entre los componentes que forman una máquina. Distinguió entre pares superiores de los que se decía que tenían contacto lineal entre los dos eslabones y pares inferiores que tenían contacto de área entre los eslabones. J. Phillips muestra que hay muchas formas de construir pares que no se ajustan a esta clasificación simple.

Par inferior

Un par inferior es una articulación ideal, o restricción holonómica, que mantiene el contacto entre un punto, una línea o un plano en un cuerpo sólido (tridimensional) en movimiento con un punto, una línea o un plano correspondiente en el cuerpo sólido fijo. Existen los siguientes casos:

Un par giratorio, o articulación articulada, requiere que una línea, o eje, en el cuerpo en movimiento permanezca colineal con una línea en el cuerpo fijo, y un plano perpendicular a esta línea en el cuerpo en movimiento mantenga contacto con un plano perpendicular similar. en el cuerpo fijo. Esto impone cinco restricciones al movimiento relativo de los eslabones, que por lo tanto tiene un grado de libertad, que es rotación pura alrededor del eje de la articulación.
Una articulación prismática, o deslizante, requiere que una línea, o eje, en el cuerpo en movimiento permanezca colineal con una línea en el cuerpo fijo, y un plano paralelo a esta línea en el cuerpo en movimiento mantenga contacto con un plano paralelo similar en el cuerpo fijo. Esto impone cinco restricciones al movimiento relativo de los eslabones, que por lo tanto tiene un grado de libertad. Este grado de libertad es la distancia del deslizamiento a lo largo de la línea.
Una junta cilíndrica requiere que una línea, o eje, en el cuerpo móvil permanezca colineal con una línea en el cuerpo fijo. Es una combinación de una articulación giratoria y una articulación deslizante. Esta articulación tiene dos grados de libertad. La posición del cuerpo en movimiento se define tanto por la rotación como por el deslizamiento a lo largo del eje.
Una junta esférica, o rótula, requiere que un punto del cuerpo móvil mantenga contacto con un punto del cuerpo fijo. Esta articulación tiene tres grados de libertad.
Una junta plana requiere que un plano en el cuerpo en movimiento mantenga contacto con un plano en el cuerpo fijo. Esta articulación tiene tres grados de libertad.

Pares superiores

En términos generales, un par superior es una restricción que requiere una curva o superficie en el cuerpo móvil para mantener el contacto con una curva o superficie en el cuerpo fijo. Por ejemplo, el contacto entre una leva y su seguidor es un par superior llamado junta de leva. De manera similar, el contacto entre las curvas envolventes que forman los dientes engranados de dos engranajes son juntas de leva.

Cadenas cinemáticas

Los cuerpos rígidos ("eslabones") conectados por pares cinemáticos ("articulaciones") se conocen como cadenas cinemáticas. Los mecanismos y los robots son ejemplos de cadenas cinemáticas. El grado de libertad de una cadena cinemática se calcula a partir del número de eslabones y el número y tipo de juntas utilizando la fórmula de movilidad. Esta fórmula también se puede utilizar para enumerar las topologías de las cadenas cinemáticas que tienen un grado de libertad determinado, lo que se conoce como síntesis de tipos en el diseño de máquinas.

Ejemplos

Los eslabones planos de un grado de libertad ensamblados a partir de N eslabones y j bisagras o juntas deslizantes son:

N = 2, j = 1: un enlace de dos barras que es la palanca;
N = 4, j = 4: el enlace de cuatro barras;
N = 6, j = 7: un enlace de seis barras. Este debe tener dos enlaces ("enlaces ternarios") que soporten tres articulaciones. Hay dos topologías distintas que dependen de cómo se conectan los dos enlaces ternarios. En la topología de Watt, los dos enlaces ternarios tienen una junta común; en la topología de Stephenson, los dos enlaces ternarios no tienen una unión común y están conectados por enlaces binarios.
N = 8, j = 10: enlace de ocho barras con 16 topologías diferentes;
N = 10, j = 13: enlace de diez barras con 230 topologías diferentes;
N = 12, j = 16: enlace de doce barras con 6856 topologías.

Para cadenas más grandes y sus topologías de enlace, consulte RP Sunkari y LC Schmidt, "Structural lysis of planar kinematic chains by adapting a Mckay-type something", Mechanism and Machine Theory #41, págs. 1021–1030 (2006).

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