Cierre (topología)

En topología, el cierre de un subconjunto S de puntos en un espacio topológico consta de todos los puntos en S junto con todos los puntos límite de S. El cierre de S puede definirse de manera equivalente como la unión de S y su límite, y también como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen S. Intuitivamente, el cierre puede considerarse como todos los puntos que están en S o "cerca" S. Un punto que está en el cierre de S es un punto de cierre de S. La noción de cierre es en muchos sentidos dual a la noción de interior.

Definiciones

Punto de cierre

Para ${displaystyle S.$ como subconjunto de un espacio euclidiano, ${displaystyle x}$ es un punto de cierre ${displaystyle S.$ si cada bola abierta se centra en ${displaystyle x}$ contiene un punto ${displaystyle S.$ (Este punto puede ser ${displaystyle x}$ en sí mismo).

Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto ${displaystyle S.$ de un espacio métrico ${displaystyle X.}$ Totalmente expresado, por ${displaystyle X}$ como un espacio métrico con métrica ${displaystyle d,}$ ${displaystyle x}$ es un punto de cierre ${displaystyle S.$ si por cada ${displaystyle r]$ existe ${displaystyle sin S}$ tal que la distancia ${displaystyle d(x,s)$ ()${displaystyle x=s}$ está permitido). Otra manera de expresar esto es decir que ${displaystyle x}$ es un punto de cierre ${displaystyle S.$ si la distancia ${displaystyle d(x,S):=inf _{sin S}d(x,s)=0}$ Donde ${displaystyle inf}$ es el infimum.

Esta definición se generaliza en los espacios topológicos reemplazando la "bola abierta" o "ballo" por "neighbourhood". Vamos ${displaystyle S.$ ser un subconjunto de un espacio topológico ${displaystyle X.}$ Entonces... ${displaystyle x}$ es un punto de cierre o punto adherente de ${displaystyle S.$ si todos los barrios ${displaystyle x}$ contiene un punto ${displaystyle S.$ (de nuevo, ${displaystyle x=s}$ para ${displaystyle sin S}$ está permitido). Tenga en cuenta que esta definición no depende de si se requieren barrios abiertos.

Punto límite

La definición de un punto de cierre de un conjunto está estrechamente relacionada con la definición de un punto límite de un conjunto. La diferencia entre las dos definiciones es sutil pero importante, es decir, en la definición de un punto límite ${displaystyle x}$ de un conjunto ${displaystyle S.$, cada barrio de ${displaystyle x}$ debe contener un punto ${displaystyle S.$ de otros ${displaystyle x}$ en sí misma, es decir, cada barrio de ${displaystyle x}$ Obviamente ${displaystyle x}$ pero también debe tener un punto ${displaystyle S.$ que no es igual a ${displaystyle x}$ en orden ${displaystyle x}$ ser un punto límite ${displaystyle S.$. Un punto límite ${displaystyle S.$ tiene condiciones más estrictas que un punto de cierre ${displaystyle S.$ en las definiciones. El conjunto de todos los puntos límite de un conjunto ${displaystyle S.$ se llama conjunto de ${displaystyle S.$. Un punto límite de un conjunto también se llama Grupo temático o punto de acumulación del set.

Así, cada punto límite es un punto de cierre, pero no cada punto de cierre es un punto límite. Un punto de cierre que no es un punto límite es un punto aislado. En otras palabras, un punto ${displaystyle x}$ es un punto aislado ${displaystyle S.$ si es un elemento de ${displaystyle S.$ y hay un barrio ${displaystyle x}$ que no contiene otros puntos ${displaystyle S.$ que ${displaystyle x}$ en sí mismo.

Para un conjunto dado ${displaystyle S.$ y punto ${displaystyle x,}$ ${displaystyle x}$ es un punto de cierre ${displaystyle S.$ si ${displaystyle x}$ es un elemento ${displaystyle S.$ o ${displaystyle x}$ es un punto límite ${displaystyle S.$ (o ambas).

Cierre de un conjunto

El cierre de un subconjunto ${displaystyle S.$ de un espacio topológico ${displaystyle (X,tau),}$ denotado por ${displaystyle operatorname {cl} _{(X,tau)} S.$ o posiblemente por ${displaystyle operatorname {cl} ¿Qué?$ (si ${displaystyle tau }$ se entiende), donde si ambos ${displaystyle X}$ y ${displaystyle tau }$ son claros desde el contexto, entonces también puede ser denotado por ${displaystyle operatorname {cl} S,}$ ${displaystyle {soverline {S}},}$ o ${displaystyle S{} {}}$ (Además, ${displaystyle operatorname {cl}$ a veces se capitaliza ${displaystyle operatorname {Cl}$.) se puede definir utilizando cualquiera de las siguientes definiciones equivalentes:

1. ${displaystyle operatorname {cl} S.$ es el conjunto de todos los puntos de cierre de ${displaystyle S.}$
2. ${displaystyle operatorname {cl} S.$ es el conjunto ${displaystyle S.$ junto con todos sus puntos límite.
3. ${displaystyle operatorname {cl} S.$ es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen ${displaystyle S.}$
4. ${displaystyle operatorname {cl} S.$ es el conjunto cerrado más pequeño que contiene ${displaystyle S.}$
5. ${displaystyle operatorname {cl} S.$ es la unión de ${displaystyle S.$ y su frontera ${displaystyle partial (S).}$
6. ${displaystyle operatorname {cl} S.$ es el conjunto de todos ${displaystyle xin X}$ para el cual existe una red (valorada) ${displaystyle S.$ que converge en ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle (X,tau).}$

La clausura de un conjunto tiene las siguientes propiedades.

• ${displaystyle operatorname {cl} S.$ es un superset cerrado ${displaystyle S.$.
• El set ${displaystyle S.$ está cerrado si ${displaystyle S=operatorname {cl} S.$.
• Si ${displaystyle Ssubseteq T}$ entonces ${displaystyle operatorname {cl} S.$ es un subconjunto de ${displaystyle operatorname {cl} T.}$
• Si ${displaystyle A}$ es un conjunto cerrado, entonces ${displaystyle A}$ contiene ${displaystyle S.$ si ${displaystyle A}$ contiene ${displaystyle operatorname {cl} S.}$

A veces, la segunda o tercera propiedad anterior se toma como la definición del cierre topológico, que aún tiene sentido cuando se aplica a otros tipos de cierres (ver más abajo).

En un espacio de primera cuenta (como un espacio métrico), ${displaystyle operatorname {cl} S.$ es el conjunto de todos los límites de todas las secuencias convergentes de puntos en ${displaystyle S.}$ Para un espacio general topológico, esta declaración sigue siendo verdadera si se reemplaza la "secuencia" por "net" o "filtro" (como se describe en el artículo sobre filtros en topología).

Tenga en cuenta que estas propiedades también se cumplen si "cierre", "superconjunto", "intersección", "contiene/contiene", & #34;más pequeño" y "cerrado" se sustituyen por "interior", "subconjunto", "unión", "contenido en", "más grande" y "abierto". Para obtener más información sobre este asunto, consulte el operador de cierre a continuación.

Ejemplos

Considere una esfera en un espacio tridimensional. Implícitamente hay dos regiones de interés creadas por esta esfera; la esfera en sí y su interior (que se llama 3 bolas abiertas). Es útil distinguir entre el interior y la superficie de la esfera, por lo que distinguimos entre la bola 3 abierta (el interior de la esfera) y la bola 3 cerrada: el cierre de la bola 3 abierta que es el 3 bolas abiertas más la superficie (la superficie como la esfera misma).

En el espacio topológico:

• En cualquier espacio, ${displaystyle varnothing =operatorname {cl} varnothing }$. En otras palabras, el cierre del conjunto vacío ${displaystyle varnothing }$ es ${displaystyle varnothing }$ en sí mismo.
• En cualquier espacio ${displaystyle X.$ ${displaystyle X=operatorname {cl} X.}$

Dando ${displaystyle mathbb {R}$ y ${displaystyle mathbb {C}$ la topología estándar (métrica):

• Si ${displaystyle X}$ es el espacio euclidiano ${displaystyle mathbb {R}$ de números reales, entonces ${displaystyle operatorname {cl} _{X}(0,1)=[0,1]}$. En otras palabras., el cierre del conjunto ${displaystyle (0,1)}$ como subconjunto ${displaystyle X}$ es ${displaystyle [0,1]}$.
• Si ${displaystyle X}$ es el espacio euclidiano ${displaystyle mathbb {R}$, luego el cierre del conjunto ${displaystyle mathbb {Q}$ de números racionales es todo el espacio ${displaystyle mathbb {R}$ Decimos eso ${displaystyle mathbb {Q}$ es denso en ${displaystyle mathbb {R}$
• Si ${displaystyle X}$ es el plano complejo ${displaystyle mathbb {C} = 'mathbb {R} ^{2},}$ entonces ${displaystyle operatorname {cl} _{X}left({zin mathbb {C}: enseñanzas relacionadas con el tema)={zin mathbb {C}:$
• Si ${displaystyle S.$ es un subconjunto finito de un espacio euclidiano ${displaystyle X.$ entonces ${displaystyle operatorname {cl} S=S.$ (Para un espacio general topológico, esta propiedad es equivalente al axioma T1.)

Sobre el conjunto de números reales se pueden poner otras topologías en lugar de la estándar.

• Si ${displaystyle X=Mathbb {R}$ está dotado con la topología límite inferior, entonces ${displaystyle operatorname {cl} _{X}(0,1))=[0,1). }$
• Si uno lo considera ${displaystyle X=Mathbb {R}$ la topología discreta en la que cada conjunto está cerrado (abierto), entonces ${displaystyle operatorname {cl} _{X}(0,1))=(0,1). }$
• Si uno lo considera ${displaystyle X=Mathbb {R}$ la topología trivial en la que los únicos conjuntos cerrados (abiertos) son el conjunto vacío y ${displaystyle mathbb {R}$ entonces ${displaystyle operatorname {cl} _{X}(0,1)=mathbb {R}$

Estos ejemplos muestran que el cierre de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.

• En cualquier espacio discreto, ya que cada conjunto está cerrado (y también abierto), cada conjunto es igual a su cierre.
• En cualquier espacio indiscreto ${displaystyle X.$ ya que los únicos conjuntos cerrados son el conjunto vacío ${displaystyle X}$ en sí mismo, tenemos que el cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío, y para cada subconjunto no vacío ${displaystyle A}$ de ${displaystyle X.$ ${displaystyle operatorname {cl} A=X.$ En otras palabras, cada subconjunto no vacío de un espacio indiscreto es denso.

El cierre de un conjunto también depende del espacio que estamos tomando el cierre. Por ejemplo, si ${displaystyle X}$ es el conjunto de números racionales, con la topología relativa habitual inducida por el espacio euclidiano ${displaystyle mathbb {R}$ y si ${displaystyle S={qin mathbb {Q}:q^{2} título2,q título0},}$ entonces ${displaystyle S.$ está cerrado y abierto ${displaystyle mathbb {Q}$ porque tampoco ${displaystyle S.$ ni su complemento puede contener ${displaystyle {sqrt {2}}$, que sería el límite inferior ${displaystyle S.$, pero no puede estar ${displaystyle S.$ porque ${displaystyle {sqrt {2}}$ es irracional. Entonces, ${displaystyle S.$ no tiene un cierre bien definido debido a elementos de límites que no están ${displaystyle mathbb {Q}$. Sin embargo, si definimos ${displaystyle X}$ ser el conjunto de números reales y definir el intervalo de la misma manera entonces el cierre de ese intervalo está bien definido y sería el conjunto de todos números reales más grande que o igual a ${displaystyle {sqrt {2}}$.

Operadora de cierre

A operador de cierre en un set ${displaystyle X}$ es un mapeo del conjunto de energía ${displaystyle X.$ ${displaystyle {mathcal {}(X)}$, en sí mismo que satisface los axiomas de cierre del Kuratowski. Dado un espacio topológico ${displaystyle (X,tau)}$, el cierre topológico induce una función ${displaystyle operatorname {cl} _{X}:wp (X)to wp (X)}$ que se define mediante el envío de un subconjunto ${displaystyle Ssubseteq X}$ a ${displaystyle operatorname {cl} - Sí.$ donde la notación ${displaystyle {bis}}}$ o ${displaystyle S^{-}$ puede ser usado en su lugar. Por el contrario, si ${displaystyle mathbb {c}$ es un operador de cierre en un conjunto ${displaystyle X.$ entonces se obtiene un espacio topológico definiendo los conjuntos cerrados como exactamente esos subconjuntos ${displaystyle Ssubseteq X}$ que satisfacen ${displaystyle mathbb {c} (S)=S}$ (so complements in ${displaystyle X}$ de estos subconjuntos forman los conjuntos abiertos de la topología).

El operador de cierre ${displaystyle operatorname {cl} ¿Qué?$ es dual al operador interior, que es denotado por ${displaystyle operatorname {int} _{X},}$ en el sentido de que

${displaystyle operatorname {cl} _{X}S=Xsetminus operatorname {int} _{X}(Xsetminus S),}$

y también

${displaystyle operatorname {int} _{X}S=Xsetminus operatorname {cl} _{X}(Xsetminus S).}$

Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de cierre y los axiomas de cierre de Kuratowski se pueden traducir fácilmente en el lenguaje de los operadores de interiores reemplazando conjuntos con sus complementos en ${displaystyle X.}$

En general, el operador de cierre no se desplaza con las intersecciones. Sin embargo, en un espacio métrico completo se cumple el siguiente resultado:

Datos sobre los cierres

Un subconjunto ${displaystyle S.$ está cerrado ${displaystyle X}$ si ${displaystyle operatorname {cl} S=S.$ En particular:

• El cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío;
• El cierre ${displaystyle X}$ en sí mismo ${displaystyle X.}$
• El cierre de una intersección de conjuntos es siempre un subconjunto de (pero no debe ser igual a) la intersección de los cierres de los conjuntos.
• En una unión de finitos conjuntos, el cierre de la unión y la unión de los cierres son iguales; la unión de cero conjuntos es el conjunto vacío, por lo que esta declaración contiene la declaración anterior sobre el cierre del conjunto vacío como caso especial.
• El cierre de la unión de infinitamente muchos conjuntos no necesitan igual la unión de los cierres, pero siempre es un superconjunto de la unión de los cierres.
  • Así, así como la unión de dos conjuntos cerrados está cerrada, así también el cierre se distribuye sobre los sindicatos binarios: es decir, ${displaystyle operatorname {cl} _{X}(Scup T)=(operatorname {cl} _{X}S)cup (operatorname {cl} _{X}T).}$ Pero así como una unión de infinitamente muchos conjuntos cerrados no está necesariamente cerrado, así también el cierre no necesariamente se distribuye sobre los sindicatos infinitos: es decir, ${displaystyle operatorname {cl} ¿Por qué? I}S_{i}right)neq bigcup _{iin I}operatorname {cl} ¿Qué?$ es posible cuando ${displaystyle Yo...$ es infinito.

Si ${displaystyle Ssubseteq Tsubseteq X}$ y si ${displaystyle T}$ es un subespacio ${displaystyle X}$ (que significa que ${displaystyle T}$ está dotado con la topología subespacial que ${displaystyle X}$ induce en él), entonces ${displaystyle operatorname {cl} ¿Por qué?$ y el cierre de ${displaystyle S.$ computed in ${displaystyle T}$ es igual a la intersección ${displaystyle T}$ y el cierre de ${displaystyle S.$ computed in ${displaystyle X}$:

$${displaystyle operatorname {cl} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {cl} _{X}S.}$$

De ello se desprende que ${displaystyle Ssubseteq T}$ es un subconjunto denso ${displaystyle T}$ si ${displaystyle T}$ es un subconjunto de ${displaystyle operatorname {cl} _{X}S.}$ Es posible ${displaystyle operatorname {cl} # S=Tcap operatorname {cl} ¿Qué?$ ser un subconjunto adecuado ${displaystyle operatorname {cl} - Sí.$ por ejemplo, tomar ${displaystyle X=Mathbb {R}$ ${displaystyle S=(0,1),}$ y ${displaystyle T=(0,infty). }$

Si ${displaystyle S,Tsubseteq X}$ pero ${displaystyle S.$ no es necesariamente un subconjunto de ${displaystyle T}$ entonces sólo

$${displaystyle operatorname {cl} # Subseteq # ~Tcap operatorname {cl} ¿Qué?$$

${displaystyle X=Mathbb {R}$

${displaystyle T=(-infty0],}$

${displaystyle S=(0,infty)}$

${displaystyle T}$

${displaystyle X}$

${displaystyle operatorname {cl} ##### ########################################################################################################################################################################################################################################################### {cl} _{X}S}$

${displaystyle S.$

${displaystyle T}$

En consecuencia, si ${displaystyle {fnMithcal}}$ es cualquier cubierta abierta ${displaystyle X}$ y si ${displaystyle Ssubseteq X}$ es cualquier subconjunto entonces:

$${displaystyle operatorname {cl} - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$$

${displaystyle operatorname {cl} ¿Por qué? {cl} _{X}S}$

${displaystyle ¿Qué?$

${displaystyle ¿Qué?$

${displaystyle X}$

${displaystyle X}$

${displaystyle {fnMithcal}}$

${displaystyle X}$

${displaystyle Ssubseteq X}$

${displaystyle X}$

${displaystyle Ssubseteq X}$

${displaystyle X}$

${displaystyle X}$

${displaystyle {fnMithcal}}$

${displaystyle X}$

${displaystyle S.$

${displaystyle X}$

${displaystyle Scap U}$

${displaystyle U}$

${displaystyle Uin {mathcal {U}}$

Funciones y cierre

Continuidad

Una función ${displaystyle f:Xto Sí.$ entre los espacios topológicos es continuo si y sólo si el preimage de cada subconjunto cerrado del codomain está cerrado en el dominio; explícitamente, esto significa: ${displaystyle f^{-1}(C)}$ está cerrado ${displaystyle X}$ siempre ${displaystyle C}$ es un subconjunto cerrado ${displaystyle Sí.$

En cuanto al operador de cierre, ${displaystyle f:Xto Sí.$ es continuo si y sólo si para cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq X,}$

$${displaystyle fleft {cl} ¿Qué?$$

${displaystyle xin X}$

${displaystyle Asubseteq X,}$

${displaystyle f(x)}$

${displaystyle f(A)}$

${displaystyle Sí.$

${displaystyle x}$

${displaystyle Asubseteq X}$

${displaystyle xin operatorname {cl} _{X}A,}$

${displaystyle f}$

${displaystyle Asubseteq X,}$

${displaystyle f}$

${displaystyle A}$

${displaystyle f(A).}$

${displaystyle f}$

${displaystyle xin X}$

${displaystyle x}$

${displaystyle Asubseteq X,}$

${displaystyle f(x)}$

${displaystyle f(A).}$

Mapas cerrados

Una función ${displaystyle f:Xto Sí.$ es un (fuerte) mapa cerrado si y sólo si ${displaystyle C}$ es un subconjunto cerrado ${displaystyle X}$ entonces ${displaystyle f(C)}$ es un subconjunto cerrado ${displaystyle Sí.$ En cuanto al operador de cierre, ${displaystyle f:Xto Sí.$ es un (fuerte) mapa cerrado si y sólo si ${displaystyle operatorname {cl} _{Y}f(A)subseteq fleft(operatorname {cl} _{X}Aright)}$ para cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq X.}$ Equivalentemente, ${displaystyle f:Xto Sí.$ es un (fuerte) mapa cerrado si y sólo si ${displaystyle operatorname {cl} _{Y}f(C)subseteq f(C)}$ para cada subconjunto cerrado ${displaystyle Csubseteq X.}$

Interpretación categórica

Uno puede definir el operador de cierre en términos de flechas universales, como sigue.

La potencia de un conjunto ${displaystyle X}$ se puede realizar como una categoría de orden parcial ${displaystyle P}$ en los que los objetos son subconjuntos y los morfismos son mapas de inclusión ${displaystyle Ato B}$ siempre ${displaystyle A}$ es un subconjunto de ${displaystyle B.}$ Además, una topología ${displaystyle T}$ on ${displaystyle X}$ es una subcategoría de ${displaystyle P}$ con functor de inclusión ${displaystyle I:Tto P.}$ El conjunto de subconjuntos cerrados que contienen un subconjunto fijo ${displaystyle Asubseteq X}$ se puede identificar con la categoría de coma ${displaystyle (Adownarrow I).}$ Esta categoría —también un orden parcial— tiene un objeto inicial ${displaystyle operatorname {cl} A.}$ Así hay una flecha universal de ${displaystyle A}$ a ${displaystyle Yo...$ dada por la inclusión ${displaystyle Ato operatorname {cl} A.}$

Del mismo modo, desde cada conjunto cerrado que contiene ${displaystyle Xsetminus A}$ corresponde con un conjunto abierto contenido en ${displaystyle A}$ podemos interpretar la categoría ${displaystyle (Idownarrow Xsetminus A)}$ como conjunto de subconjuntos abiertos contenidos en ${displaystyle A,}$ con objeto terminal ${displaystyle operatorname {int} (A),}$ el interior de ${displaystyle A.}$

Todas las propiedades del cierre se pueden derivar de esta definición y algunas propiedades de las categorías anteriores. Además, esta definición hace precisa la analogía entre la clausura topológica y otros tipos de clausuras (por ejemplo, la clausura algebraica), ya que todas son ejemplos de flechas universales.