Cierre (matemáticas)

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Operación en los subconjuntos de un conjunto

En matemáticas, un subconjunto de un conjunto dado es cerrado bajo una operación del conjunto más grande si al realizar esa operación en los miembros del subconjunto siempre se produce un miembro de ese subconjunto. Por ejemplo, los números naturales son cerrados en la suma, pero no en la resta: 1 − 2 no es un número natural, aunque tanto el 1 como el 2 lo son.

Del mismo modo, se dice que un subconjunto está cerrado bajo una colección de operaciones si está cerrado bajo cada una de las operaciones individualmente.

El cierre de un subconjunto es el resultado de un operador de cierre aplicado al subconjunto. El cierre de un subconjunto bajo algunas operaciones es el superconjunto más pequeño que se cierra bajo estas operaciones. A menudo se le llama intervalo (por ejemplo, intervalo lineal) o conjunto generado.

Definiciones

Sea $S$ un conjunto equipado con uno o varios métodos para producir elementos de estilo $S$ de otros elementos de $S$ . Un subconjunto $X$ de $S$ se dice que está cerrado bajo estos métodos, si, cuando todos los elementos de entrada están en $X$ , entonces todos los resultados posibles también están en $X$ . A veces, también se puede decir que $X$ tiene la propiedad de cierre.

La propiedad principal de conjuntos cerrados, que resulta inmediatamente de la definición, es que cada intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Sigue eso por cada subconjunto $Y$ de $S$ , hay un subconjunto cerrado más pequeño $X$ de $S$ tales que $Ysubseteq X$ (es la intersección de todos los subconjuntos cerrados que contienen $Y$ ). Dependiendo del contexto, $X$ se llama cierre de $Y$ o el conjunto generado o abarcado por $Y$ .

Los conceptos de conjuntos cerrados y cierre se extienden a menudo a cualquier propiedad de subconjuntos que estén estables bajo intersección; es decir, cada intersección de subconjuntos que tienen la propiedad también tiene la propiedad. Por ejemplo, en ${displaystyle mathbb {C} ^{n},}$ a Conjunto cerrado de Zariski, también conocido como un conjunto algebraico, es el conjunto de los ceros comunes de una familia de polinomios, y el cierre Zariski de un conjunto $V$ de puntos es el conjunto álgebraico más pequeño que contiene $V$ .

En estructuras algebraicas

Una estructura algebraica es un conjunto equipado con operaciones que satisfacen algunos axiomas. Estos axiomas pueden ser identidades. Algunos axiomas pueden contener cuantificadores existenciales ${displaystyle exists;}$ en este caso vale la pena añadir algunas operaciones auxiliares para que todos los axiomas se conviertan en identidades o fórmulas puramente cuantificadas universalmente. Ver estructura algebraica para detalles.

En este contexto, dada una estructura algebraica $S$ , una subestructura de $S$ es un subconjunto que se cierra bajo todas las operaciones de $S$ , incluida la operaciones auxiliares necesarias para evitar los cuantificadores existenciales. Una subestructura es una estructura algebraica del mismo tipo que $S$ . De ello se deduce que, en un ejemplo específico, cuando se prueba la proximidad, no hay necesidad de verificar los axiomas para probar que una subestructura es una estructura del mismo tipo.

Dado un subconjunto $X$ de una estructura algebraica $S$ , el cierre de $X$ es la subestructura más pequeña del estilo $S$ que se cierra bajo todas las operaciones de $S$ . En el contexto de las estructuras algebraicas, este cierre generalmente se denomina subestructura generada o ampliada por $X$ , y uno dice que $X$ es un conjunto generador de la subestructura.

Por ejemplo, un grupo es un conjunto con una operación asociativa, a menudo llamada multiplicación, con un elemento de identidad, de modo que cada elemento tiene un elemento inverso. Aquí, las operaciones auxiliares son la operación nula que da como resultado el elemento identidad y la operación unaria de inversión. Un subconjunto de un grupo que se cierra bajo la multiplicación y la inversión también se cierra bajo la operación nula (es decir, contiene la identidad) si y solo si no está vacío. Entonces, un subconjunto no vacío de un grupo que se cierra bajo la multiplicación y la inversión es un grupo que se llama subgrupo. El subgrupo generado por un solo elemento, es decir, el cierre de este elemento, se denomina grupo cíclico.

En álgebra lineal, el cierre de un subconjunto no vacío de un espacio vectorial (en operaciones de espacio vectorial, es decir, suma y multiplicación escalar) es la extensión lineal de este subconjunto. Es un espacio vectorial por el resultado general anterior, y se puede demostrar fácilmente que es el conjunto de combinaciones lineales de elementos del subconjunto.

Se pueden dar ejemplos similares para casi todas las estructuras algebraicas, a veces con alguna terminología específica. Por ejemplo, en un anillo conmutativo, el cierre de un solo elemento bajo operaciones ideales se llama ideal principal.

En topología

En topología y ramas relacionadas, la operación relevante está tomando límites. El cierre topológico de un conjunto es el operador de cierre correspondiente. Los axiomas de cierre de Kuratowski caracterizan a este operador.

Relaciones binarias

Una relación binaria en un conjunto $A$ se puede definir como un subconjunto $R$ de ${displaystyle Atimes A,}$ el conjunto de los pares ordenados de elementos de $A$ . La notación $xRy$ es comúnmente utilizado para ${displaystyle (x,y)in R.}$ Muchas propiedades o operaciones sobre relaciones pueden utilizarse para definir los cierres. Algunos de los más comunes siguen:

Reflexividad: A relation $R$ en el set $A$ es reflexivo si ${displaystyle (x,x)in R}$ para todos ${displaystyle xin A.}$ Como cada intersección de las relaciones reflexivas es reflexiva, esto define un cierre. El cierre reflexivo de una relación $R$ Así es. ${displaystyle Rcup {(x,x)mid xin A}.}$
Simmetría: La simetría es la operación inadvertida $Atimes A$ que mapas $(x,y)$ a ${displaystyle (y,x).}$ Una relación simétrica si está cerrado bajo esta operación, y el cierre simétrico de una relación $R$ es su cierre bajo esta relación.
Transitividad: La transitividad se define por la operación binaria parcial en $Atimes A$ que mapas $(x,y)$ y $(y,z)$ a ${displaystyle (x,z).}$ Una relación transitoria si está cerrado bajo esta operación, y el cierre transitivo de una relación es su cierre bajo esta operación.

Un preorden es una relación reflexiva y transitiva. De ello se deduce que la clausura transitiva reflexiva de una relación es el preorden más pequeño que la contiene. De manera similar, el cierre simétrico transitivo reflexivo o cierre de equivalencia de una relación es la relación de equivalencia más pequeña que la contiene.

Otros ejemplos

En la teoría materno, el cierre de X es el superset más grande de X que tiene el mismo rango X.
El cierre transitivo de un conjunto.
El cierre algebraico de un campo.
El cierre integral de un dominio integral en un campo que lo contiene.
El radical de un ideal en un anillo comunicativo.
En geometría, el casco convexo de un conjunto S de puntos es el conjunto convexo más pequeño de los cuales S es un subconjunto.
En los idiomas oficiales, el cierre de Kleene de un idioma puede describirse como el conjunto de cuerdas que se pueden hacer concatenando cero o más cadenas de ese idioma.
En teoría de grupo, el cierre conyugal o el cierre normal de un conjunto de elementos de grupo es el subgrupo normal más pequeño que contiene el conjunto.
En el análisis matemático y en la teoría de probabilidad, el cierre de una colección de subconjuntos de X bajo el número de operaciones de conjunto se llama el álgebra σ generado por la colección.

Operadora de cierre

(feminine)

En las secciones anteriores, los cierres se consideran para subconjuntos de un conjunto determinado. Los subconjuntos de un conjunto forman un conjunto parcialmente ordenado (poset) para su inclusión. Los operadores de cierre permiten generalizar el concepto de cierre a cualquier conjunto parcialmente ordenado.

Dada una pose $S$ cuyo orden parcial se denota $\leq$ , a operador de cierre on $S$ es una función ${displaystyle C:Sto S}$ eso es creciente () ${displaystyle xleq C(x)}$ para todos $xin S$ ), idempotente ( ${displaystyle C(C(x))=C(x)}$ ), y monotónico ( ${displaystyle xleq yimplies C(x)leq C(y)}$ ).

Equivalentemente, una función de $S$ a $S$ es un operador de cierre si ${displaystyle xleq C(y)iff C(x)leq C(y)}$ para todos ${displaystyle x,yin S.}$

Un elemento $S$ es cerrado si es su propio cierre, es decir, si ${displaystyle x=C(x).}$ Por idempotencia, un elemento está cerrado si y sólo si es el cierre de algún elemento de $S$ .

Un ejemplo de un operador de cierre que no opera en subconjuntos es la función de techo, que mapea cada número real $x$ al entero más pequeño que no sea menor que $x$ .

Operadora de cierre vs. conjuntos cerrados

(feminine)

Un cierre en los subconjuntos de un conjunto dado puede ser definido por un operador de cierre o por un conjunto de conjuntos cerrados que es estable bajo la intersección e incluye el conjunto dado. Estas dos definiciones son equivalentes.

De hecho, las propiedades definitorias de un operador de cierre $C$ implica que una intersección de conjuntos cerrados está cerrada: si ${textstyle X=bigcap X_{i}}$ es una intersección de conjuntos cerrados, entonces $C(X)$ debe contener $X$ y estar contenidos en cada ${displaystyle X_{i}.}$ Esto implica ${displaystyle C(X)=X}$ por definición de la intersección.

Por el contrario, si se dan conjuntos cerrados y cada intersección de conjuntos cerrados está cerrada, entonces se puede definir un operador de cierre $C$ tales que $C(X)$ es la intersección de los conjuntos cerrados que contienen $X$ .

Esta equivalencia sigue siendo válida para conjuntos parcialmente ordenados con la propiedad de mayor límite inferior, si uno reemplaza "conjuntos cerrados" por "elementos cerrados" y "intersección" por el "mayor límite inferior".

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