Ciclo límite

En matemáticas, en el estudio de sistemas dinámicos con espacio de fase bidimensional, un ciclo límite es una trayectoria cerrada en el espacio de fase que tiene la propiedad de que al menos otra trayectoria entra en espiral como el tiempo se acerca al infinito o cuando el tiempo se acerca al infinito negativo. Este comportamiento se presenta en algunos sistemas no lineales. Los ciclos límite se han utilizado para modelar el comportamiento de muchos sistemas oscilatorios del mundo real. El estudio de los ciclos límite fue iniciado por Henri Poincaré (1854-1912).

Definición

Consideramos un sistema dinámico bidimensional de la forma Error al analizar (SVG (MathML se puede habilitar mediante el complemento del navegador): respuesta no válida ("La extensión Math no puede conectarse a Restbase.") del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {displaystyle x'(t)=V(x(t))} dónde

V:R2→ → R2{displaystyle V:Mathbb {R} {2}to mathbb {R} } {2}

x()t){displaystyle x(t)}

R2{displaystyle mathbb {R} {2}}

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x()t+t0)=x()t){displaystyle x(t+t_{0})=x(t)}

t▪ ▪ R{displaystyle tin mathbb {R}

R2{displaystyle mathbb {R} {2}}

Propiedades

Según el teorema de la curva de Jordan, cada trayectoria cerrada divide el plano en dos regiones, el interior y el exterior de la curva.

Dado un ciclo límite y una trayectoria en su interior que se acerca al ciclo límite para el tiempo aproximándose +JUEGO JUEGO {displaystyle +infty }, entonces hay un vecindario alrededor del ciclo límite tal que Todos trayectorias en el interior que comienzan en el barrio acercan el ciclo límite para el tiempo aproximándose +JUEGO JUEGO {displaystyle +infty }. La declaración correspondiente sostiene una trayectoria en el interior que se acerca al ciclo límite para el tiempo aproximándose − − JUEGO JUEGO {displaystyle -infty }, y también para trayectorias en el exterior acercando el ciclo límite.

Ciclos límite estable, inestable y semiestable

En el caso en el que todas las trayectorias vecinas se acercan al ciclo límite a medida que el tiempo se acerca al infinito, se denomina ciclo límite estable o atractivo (ciclo límite ω). Si, en cambio, todas las trayectorias vecinas se acercan a él a medida que el tiempo se acerca al infinito negativo, entonces se trata de un ciclo límite inestable (ciclo límite α). Si hay una trayectoria vecina que entra en espiral hacia el ciclo límite cuando el tiempo se acerca al infinito, y otra que entra en espiral hacia él cuando el tiempo se acerca al infinito negativo, entonces es un ciclo límite semiestable. También hay ciclos límite que no son ni estables, inestables ni semiestables: por ejemplo, una trayectoria vecina puede acercarse al ciclo límite desde el exterior, pero al interior del ciclo límite se acerca una familia de otros ciclos (que no 39;no serán ciclos límite).

Los ciclos límite estables son ejemplos de atractores. Implican oscilaciones autosostenidas: la trayectoria cerrada describe el comportamiento periódico perfecto del sistema, y cualquier pequeña perturbación de esta trayectoria cerrada hace que el sistema regrese a ella, haciendo que el sistema se adhiera al ciclo límite.

Encontrar ciclos límite

Cada trayectoria cerrada contiene dentro de su interior un punto estacionario del sistema, es decir, un punto p{displaystyle p} Donde V.()p)=0{displaystyle V'(p)=0}. El teorema Bendixson-Dulac y el teorema Poincaré-Bendixson predicen la ausencia o existencia, respectivamente, de ciclos límite de sistemas dinámicos no lineales bidimensionales.

Problemas abiertos

Encontrar ciclos límite, en general, es un problema muy difícil. El número de ciclos límite de una ecuación diferencial polinomio en el plano es el objeto principal de la segunda parte del 16o problema de Hilbert. Se desconoce, por ejemplo, si existe algún sistema x.=V()x){displaystyle x'=V(x)} en el plano donde ambos componentes V{displaystyle V} son polinomios cuadráticos de las dos variables, tales que el sistema tiene más de 4 ciclos límite.

Aplicaciones

Los ciclos límite son importantes en muchas aplicaciones científicas donde se modelan sistemas con oscilaciones autosostenidas. Algunos ejemplos incluyen:

• oscilaciones del ciclo límite aerodinámico
• El modelo Hodgkin-Huxley para potenciales de acción en neuronas.
• El modelo Sel'kov de glucólisis.
• Las oscilaciones diarias en expresión génica, niveles hormonales y temperatura corporal de los animales, que forman parte del ritmo circadiano, aunque esto se contradice con evidencias más recientes.
• La migración de células cancerosas al confiar microambiente sigue oscilaciones de ciclo límite.
• Algunos circuitos eléctricos no lineales presentan oscilaciones de ciclo límite, que inspiraron el modelo original Van der Pol.
• El control de la respiración y la hematopoiesis, como aparece en las ecuaciones Mackey-Glass.