Chiliagón

En geometría, un chiliagon () o 1000 gon es un polígono con 1000 lados. Los filósofos suelen referirse a los chiliagons para ilustrar ideas sobre la naturaleza y el funcionamiento del pensamiento, el significado y la representación mental.

Chiliagón regular

Un quiliagón regular está representado por el símbolo de Schläfli {1000} y se puede construir como un gon 500 truncado, t{500}, o un gon 250 truncado dos veces, tt{250}, o un ttt{125} de 125 gon tres veces truncado.

La medida de cada ángulo interno en un Chile regular es 179°38'24"/${displaystyle {frac {499}{500}}$Rad. El área de un chiliágo regular con lados de longitud a es dado por

${displaystyle A=250a^{2}cot {frac {pi }simeq 79577.2,a^{2}$

Este resultado difiere del área de su círculo circunscrito en menos de 4 partes por millón.

Debido a que 1000 = 2³ × 5³, el número de lados no es un producto de números primos de Fermat distintos ni una potencia de dos. Por tanto, el quiliágono regular no es un polígono construible. De hecho, ni siquiera es construible con el uso de un trisector de ángulos, ya que el número de lados no es producto de números primos de Pierpont distintos ni producto de potencias de dos y tres. Por tanto, la construcción de un quiliágono requiere otras técnicas como la cuadratriz de Hipias, la espiral de Arquímedes u otras curvas auxiliares. Por ejemplo, primero se puede construir un ángulo de 9° con compás y regla, que luego se puede quintisectar (dividir en cinco partes iguales) dos veces usando una curva auxiliar para producir el ángulo de 21'36". ángulo interno requerido.

Aplicación filosófica

René Descartes utiliza el chiliagon como ejemplo en su Sexta Meditación para demostrar la diferencia entre intelección pura e imaginación. Dice que, cuando uno piensa en un quiliágono, “no imagina los mil lados ni los ve como si estuvieran presentes”; delante de él, como lo hace cuando uno imagina un triángulo, por ejemplo. La imaginación construye una "representación confusa" que no es diferente de lo que construye de un miriágono (un polígono de diez mil lados). Sin embargo, entiende claramente qué es un quiliágono, al igual que entiende qué es un triángulo, y es capaz de distinguirlo de un miriágono. Por lo tanto, el intelecto no depende de la imaginación, afirma Descartes, ya que es capaz de albergar ideas claras y distintas cuando la imaginación no puede hacerlo. El filósofo Pierre Gassendi, contemporáneo de Descartes, criticó esta interpretación, creyendo que si bien Descartes podía imaginar un chiliagon, no podía entenderlo: uno podía "percibir que la palabra 'chiliagon' significa una figura con mil ángulos [pero] ese es simplemente el significado del término, y no se sigue que comprendas los mil ángulos de la figura mejor de lo que te los imaginas."

Otros filósofos también hacen referencia al ejemplo de un chiliagon. David Hume señala que es "imposible para el ojo determinar que los ángulos de un quiliágono sean iguales a 1,996 ángulos rectos, o hacer cualquier conjetura que se acerque a esta proporción". Gottfried Leibniz comenta sobre el uso del chiliagon por John Locke, señalando que uno puede tener una idea del polígono sin tener una imagen del mismo, distinguiendo así ideas e imágenes. Immanuel Kant se refiere en cambio al eneacontahexágono (96-gon), pero responde a la misma pregunta planteada por Descartes.

Henri Poincaré utiliza el chiliagon como prueba de que "la intuición no se basa necesariamente en la evidencia de los sentidos"; porque "no podemos representarnos un quiliágono y, sin embargo, razonamos por intuición sobre polígonos en general, que incluyen el quiliágono como un caso particular."

Inspirándose en el ejemplo del chiliagon de Descartes, Roderick Chisholm y otros filósofos del siglo XX han utilizado ejemplos similares para plantear puntos similares. La "gallina moteada" de Chisholm, que no necesita tener un número determinado de motas para ser imaginada con éxito, es quizás la más famosa de ellas.

Simetría

El quiliagón regular tiene simetría diédrica Dih₁₀₀₀, orden 2000, representada por 1000 líneas de reflexión. Dih₁₀₀₀ tiene 15 subgrupos diédricos: Dih₅₀₀, Dih₂₅₀, Dih₁₂₅, Dih_{200< /sub>, Dih100, Dih50, Dih25, Dih40, Dih20< /sub>, Dih10, Dih5, Dih8, Dih4, Dih2< /sub> y Dih1. También tiene 16 simetrías cíclicas más como subgrupos: Z1000, Z500, Z250, Z125, Z200, Z100, Z50, Z25, Z40, Z20, Z10, Z5, Z8, Z4, Z2 y Z1, donde Zn representa la simetría rotacional de radianes π/n.}

John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. Da d (diagonal) con líneas especulares que pasan por los vértices, p con líneas especulares que pasan por los bordes (perpendicular), i con líneas especulares que pasan por ambos vértices. y aristas, y g para simetría rotacional. a1 no etiqueta simetría.

Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad para definir quiliágonos irregulares. Sólo el subgrupo g1000 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas.

Chiliagrama

Un chiliagrama es un polígono estelar de 1000 lados. Hay 199 formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli de la forma {1000/n}, donde n es un número entero entre 2 y 500 que es coprimo de 1000. En los casos restantes también hay 300 figuras de estrellas regulares.

Por ejemplo, el polígono de estrella regular {1000/499} está construido por 1000 aristas casi radiales. Cada vértice de una estrella tiene un ángulo interno de 0,36 grados.

{1000/499}

Zona central con patrones moiré