Ceros y polos

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Concepto en análisis complejos

En el análisis complejo (una rama de las matemáticas), un polo es un cierto tipo de singularidad de una función de valor complejo de una variable compleja. En cierto sentido, es el tipo más simple de singularidad. Técnicamente, un punto $z 0$ es un polo de una función $f$ si es un cero de la función $1/ f$ y $1/ f$ es holomorfo en alguna vecindad de $z 0$ (es decir, complejo diferenciable en una vecindad de $z 0$ ).

Una función $f$ es meromórfica en un conjunto abierto $U$ si para cada punto $z$ de $U$ hay una vecindad de $z$ en la que $f$ o $1/ f$ es holomorfo.

Si $f$ es meromórfico en $U$ , entonces un cero de $f$ es un polo de $1/ f$ , y un polo de $f$ es un cero de $1/ f$ . Esto induce una dualidad entre ceros y polos, que es fundamental para el estudio de las funciones meromórficas. Por ejemplo, si una función es meromórfica en todo el plano complejo más el punto en el infinito, entonces la suma de las multiplicidades de sus polos es igual a la suma de las multiplicidades de sus ceros.

Definiciones

Una función de una variable compleja $z$ es holomorfa en un dominio abierto $U$ si es diferenciable con respecto a $z$ en cada punto de $U$ . De manera equivalente, es holomorfa si es analítica, es decir, si su serie de Taylor existe en cada punto de $U$ , y converge a la función en alguna vecindad del punto. Una función es meromórfica en $U$ si cada punto de $U$ tiene una vecindad tal que $f$ o $1/ f$ es holomorfo en él.

Un cero de una función meromórfica $f$ es un número complejo $z$ tal que $f (z) = 0. Un polo de f es un cero de 1/ f .$

Si $f$ es una función meromorfa en un barrio de un punto $z_{0}$ del plano complejo, entonces existe un entero $n$ tales que

{displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)}

es holomorfa y no cero en un barrio $z_{0}$ (esto es una consecuencia de la propiedad analítica). Si $n ■ 0$ , entonces $z_{0}$ es un polo de orden (o multiplicidad) $n$ de $f$ . Si $n 0$ , entonces $z_{0}$ es un cero de orden ${displaystyle |n|}$ de $f$ . Simple cero y polo simple son términos utilizados para ceros y polos de orden ${displaystyle |n|=1.}$ Grado a veces se utiliza sinónimo para ordenar.

Esta caracterización de ceros y polos implica que los ceros y los polos están aislados, es decir, cada cero o polo tiene una vecindad que no contiene ningún otro cero y polo.

Debido a que el orden de ceros y polos se define como un número no negativo $n$ y la simetría entre ellos, a menudo es útil considerar un polo de orden $n$ como un cero de orden $- n$ y un cero de orden $n$ como polo de orden $- n$ . En este caso, un punto que no es ni un polo ni un cero se considera un polo (o cero) de orden 0.

Una función meromórfica puede tener infinitos ceros y polos. Este es el caso de la función gamma (ver la imagen en el cuadro de información), que es meromórfica en todo el plano complejo y tiene un polo simple en cada entero no positivo. La función zeta de Riemann también es meromórfica en todo el plano complejo, con un solo polo de orden 1 en $z = 1$ . Sus ceros en el semiplano izquierdo son todos los enteros pares negativos, y la hipótesis de Riemann es la conjetura de que todos los demás ceros están a lo largo de $Re(z) = 1/2.$

En un barrio de un punto ${displaystyle z_{0},}$ una función meromorfa no cero $f$ es la suma de una serie Laurent con lo más finito parte principal (los términos con valores índice negativos):

{displaystyle f(z)=sum _{kgeq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},}

Donde $n$ es un entero, y ${displaystyle a_{-n}neq 0.}$ De nuevo, si $n ■ 0$ (la suma comienza con ${displaystyle a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}}$ , la parte principal tiene $n$ términos), uno tiene un polo de orden $n$ , y si $n \leq 0$ (la suma comienza con ${displaystyle a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}}$ , no hay parte principal), uno tiene un cero de orden ${displaystyle |n|}$ .

En el infinito

Una función ${displaystyle zmapsto f(z)}$ es meromorfo en el infinito si es meromorfo en algún barrio de la infinidad (que está fuera de algún disco), y hay un entero $n$ tales que

{displaystyle lim _{zto infty }{frac {f(z)}{z^{n}}}}

existe y es un número complejo distinto de cero.

En este caso, el punto de infinito es un polo de orden $n$ si $n ■ 0$ , y un cero de orden ${displaystyle |n|}$ si $n 0$ .

Por ejemplo, un polinomio de grado $n$ tiene un polo de grado $n$ en el infinito.

El plano complejo extendido por un punto en el infinito se llama esfera de Riemann.

Si $f$ es una función meromórfica en toda la esfera de Riemann, entonces tiene un número finito de ceros y polos, y la suma de los órdenes de sus polos es igual a la suma de los órdenes de sus ceros.

Toda función racional es meromórfica en toda la esfera de Riemann y, en este caso, la suma de los órdenes de los ceros o de los polos es el máximo de los grados del numerador y del denominador.

Ejemplos

Un polinomio del grado 9 tiene un poste de orden 9 en ∞, aquí trazado por el color de dominio de la esfera Riemann.

La función

f(z) = frac{3}{z}

es meromorfa en toda la esfera Riemann. Tiene un poste de orden 1 o un poste simple en

{displaystyle z=0,}

y un simple cero en el infinito.

La función

f(z) = frac{z+2}{(z-5)^2(z+7)^3}

es meromorfa en toda la esfera Riemann. Tiene un poste de orden 2 en

{displaystyle z=5,}

y un poste de orden 3 en

z = -7

. Tiene un simple cero

{displaystyle z=-2,}

y un cuádruple cero en el infinito.

La función

f(z) = frac{z-4}{e^z-1}

es meromorfa en todo el plano complejo, pero no en el infinito. Tiene postes de orden 1 en

{displaystyle z=2pi ni{text{ for }}nin mathbb {Z} }

. Esto se puede ver escribiendo la serie Taylor

e^z

alrededor del origen.

La función

f(z) = z

tiene un único polo en el infinito del orden 1, y un solo cero en el origen.

Todos los ejemplos anteriores excepto el tercero son funciones racionales. Para obtener una discusión general sobre los ceros y los polos de dichas funciones, consulte Gráfica de polos y ceros § Sistemas de tiempo continuo.

Función en una curva

El concepto de ceros y polos se extiende naturalmente a funciones en una curva compleja, que es una variedad analítica compleja de dimensión uno (sobre los números complejos). Los ejemplos más simples de tales curvas son el plano complejo y la superficie de Riemann. Esta extensión se realiza transfiriendo estructuras y propiedades a través de gráficos, que son isomorfismos analíticos.

Más precisamente, dejemos $f$ ser una función de una curva compleja $M$ a los números complejos. Esta función es holomorfa (resp. meromorphic) en un barrio de un punto $z$ de $M$ si hay un gráfico $phi$ tales que ${displaystyle fcirc phi ^{-1}}$ es holomorfa (resp. meromorfa) en un barrio ${displaystyle phi (z).}$ Entonces, $z$ es un polo o un cero de orden $n$ si lo mismo es verdad ${displaystyle phi (z).}$

Si la curva es compacta y la función $f$ es meromórfica en toda la curva, entonces el número de ceros y polos es finito, y la suma de los órdenes de los polos es igual a la suma de los órdenes de los ceros. Este es uno de los hechos básicos que están involucrados en el teorema de Riemann-Roch.

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