Cero final
En matemáticas, los ceros finales son una secuencia de 0 en la representación decimal (o, más generalmente, en cualquier representación posicional) de un número, después de la cual no sigue ningún otro dígito.
Los ceros finales a la derecha de un punto decimal, como en 12.340, no afectan el valor de un número y pueden omitirse si lo único que interesa es su valor numérico. Esto es así incluso si los ceros se repiten infinitamente. Por ejemplo, en farmacia, los ceros finales se omiten de los valores de dosis para evitar lecturas erróneas. Sin embargo, los ceros finales pueden ser útiles para indicar la cantidad de cifras significativas, por ejemplo, en una medición. En un contexto como este, sería incorrecto "simplificar" un número eliminando los ceros finales.
La cantidad de ceros finales en un entero n de base b distinto de cero es igual al exponente de la potencia más alta de b que divide a n. Por ejemplo, 14000 tiene tres ceros finales y, por lo tanto, es divisible por 1000 = 103, pero no por 104. Esta propiedad es útil cuando se buscan factores pequeños en la factorización de enteros. Algunas arquitecturas informáticas tienen una operación de conteo de ceros finales en su conjunto de instrucciones para determinar de manera eficiente la cantidad de bits de ceros finales en una palabra de máquina.
Factorial
El número de ceros finales en la representación decimal de n!, el factorial de un entero no negativo n, es simplemente la multiplicidad del factor primo 5 en n!. Esto se puede determinar con este caso especial de la fórmula de De Polignac:
donde k debe elegirse de manera que
más precisamente
y denota la función de planta aplicada a a. Para n = 0, 1, 2, esto es
- 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6,... A027868 en el OEIS).
Por ejemplo, 53 > 32, y por lo tanto 32! = 263130836933693530167218012160000000 termina en
ceros. Si n < 5, la desigualdad se cumple con k = 0; en ese caso la suma está vacía, dando como resultado 0.
La fórmula cuenta en realidad la cantidad de factores 5 en n!, pero como hay al menos la misma cantidad de factores 2, esto es equivalente a la cantidad de factores 10, cada uno de los cuales da un cero más al final.
Definición
Se cumple la siguiente relación de recurrencia:
Esto se puede utilizar para simplificar el cálculo de los términos de la suma, que se puede detener tan pronto como q i llegue a cero. La condición 5k+1 > n es equivalente a q k+1 = 0.
Véase también
- Principales cero
- Número de registro
Referencias
- ^ Summarizado de Factoriales y Cero de Trailing
Enlaces externos
- ¿Por qué son importantes los ceros fraccionales? para algunos ejemplos de cuando los ceros rastreadores son significativos
- Número de ceros de seguimiento para cualquier programa factorial Python para calcular el número de ceros de seguimiento para cualquier factorial Archived 2017-02-22 en la máquina Wayback