Cero de una función

Un gráfico de la función #⁡ ⁡ ()x){displaystyle cos(x)} para x{displaystyle x} dentro [− − 2π π ,2π π ]{displaystyle left[-2pi2pi2pi}, con ceros a − − 3π π 2,− − π π 2,π π 2{displaystyle -{tfrac {3pi }{2},;-{tfrac {pi} }{2},;{tfrac {pi} } {2}}, y 3π π 2,{displaystyle {tfrac {3fnfnfnfnMicrosoft {cccccccccc\cccccccccc\cccccccc\cc\\\\\\cc\\cc\\\\\c\\\ccc\\\cc\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\c\\\c\\\c\\cc\\\\ } {2}},} marcado en rojo.

En matemáticas, a cero (también a veces se llama root) de una función real, compleja, o generalmente valorada por vectores f{displaystyle f}, es un miembro x{displaystyle x} del dominio del f{displaystyle f} tales que f()x){displaystyle f(x)} desaparecidos a x{displaystyle x}; es decir, la función f{displaystyle f} alcanza el valor de 0 a x{displaystyle x}, o equivalentemente, x{displaystyle x} es la solución a la ecuación f()x)=0{displaystyle f(x)=0}. Un "cero" de una función es así un valor de entrada que produce una salida de 0.

A root de un polinomio es un cero de la función polinomio correspondiente. El teorema fundamental del álgebra muestra que cualquier polinomio no cero tiene una serie de raíces en la mayoría de su grado, y que el número de raíces y el grado son iguales cuando uno considera las raíces complejas (o más generalmente, las raíces en una extensión algebraicamente cerrada) contado con sus multiplicidades. Por ejemplo, el polinomio f{displaystyle f} de grado dos, definido por f()x)=x2− − 5x+6{displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6} tiene las dos raíces (o ceros) que son 2 y 3.

f()2)=22− − 5× × 2+6=0yf()3)=32− − 5× × 3+6=0.{displaystyle f(2)=2^{2}-5times 2+6=0{text{ and }f(3)=3^{2}-5times 3+6=0}

Si la función mapea números reales a números reales, entonces sus ceros son los x{displaystyle x}-coordinados de los puntos donde su gráfico cumple con el eje x. Un nombre alternativo para tal punto ()x,0){displaystyle (x,0)} en este contexto x{displaystyle x}- Intercepto.

Solución de una ecuación

Cada ecuación en lo desconocido x{displaystyle x} puede ser reescrito como

f()x)=0{displaystyle f(x)=0}

reagrupando todos los términos en el lado izquierdo. Se sigue que las soluciones de tal ecuación son exactamente los ceros de la función f{displaystyle f}. En otras palabras, un "cero de una función" es precisamente una "solución de la ecuación obtenida equiparando la función a 0", y el estudio de ceros de funciones es exactamente el mismo que el estudio de soluciones de ecuaciones.

Raíces de polinomios

Todo polinomio real de grado impar tiene un número impar de raíces reales (contando multiplicidades); asimismo, un polinomio real de grado par debe tener un número par de raíces reales. En consecuencia, los polinomios impares reales deben tener al menos una raíz real (porque el número entero impar más pequeño es 1), mientras que los polinomios pares pueden no tener ninguna. Este principio se puede probar con referencia al teorema del valor intermedio: dado que las funciones polinómicas son continuas, el valor de la función debe cruzar cero, en el proceso de cambiar de negativo a positivo o viceversa (lo que siempre sucede con las funciones impares).

Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que cada polinomio de grado n{displaystyle n} tiene n{displaystyle n} raíces complejas, contadas con sus multiplicidades. Las raíces no reales de los polinomios con coeficientes reales vienen en pares conjugados. Las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes de un polinomio a sumas y productos de sus raíces.

Cálculo de raíces

Calcular raíces de funciones, por ejemplo, funciones polinómicas, con frecuencia requiere el uso de técnicas especializadas o de aproximación (por ejemplo, el método de Newton). Sin embargo, algunas funciones polinómicas, incluidas todas aquellas de grado no superior a 4, pueden tener todas sus raíces expresadas algebraicamente en términos de sus coeficientes (para obtener más información, consulte la solución algebraica).

Puesta a cero

En varias áreas de matemáticas, el cero de una función es el conjunto de todos sus ceros. Más precisamente, si f:X→ → R{displaystyle f:Xto mathbb {R} es una función de valor real (o, más generalmente, una función que toma valores en algún grupo aditivo), su conjunto cero es f− − 1()0){displaystyle f^{-1}(0)}, la imagen inversa de {}0}{displaystyle {0}} dentro X{displaystyle X}.

Bajo la misma hipótesis en el codominio de la función, un conjunto de nivel de una función f{displaystyle f} es el conjunto cero de la función f− − c{displaystyle f-c} para algunos c{displaystyle c} en el codominio de f.{displaystyle f.}

El conjunto cero de un mapa lineal también se conoce como su núcleo.

El cozero set de la función f:X→ → R{displaystyle f:Xto mathbb {R} es el complemento del conjunto cero de f{displaystyle f} (es decir, el subconjunto de X{displaystyle X} on which f{displaystyle f} no es cero).

Aplicaciones

En geometría algebraica, la primera definición de una variedad algebraica es a través de cero conjuntos. Específicamente, un conjunto algebraico afine es la intersección de los cero conjuntos de varios polinomios, en un anillo polinomio k[x1,...... ,xn]{displaystyle kleft[x_{1},ldotsx_{n}right] sobre un campo. En este contexto, a veces se llama un conjunto cero cero locus.

En análisis y geometría, cualquier subconjunto cerrado de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} es el conjunto cero de una función lisa definida en todo Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}. Esto se extiende a cualquier doble suave como corolario de paracompactitud.

En la geometría diferencial, cero conjuntos se utilizan con frecuencia para definir los múltiples. Un caso especial importante es el caso de que f{displaystyle f} es una función suave desde Rp{displaystyle mathbb {R} } {p} a Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}. Si cero es un valor regular f{displaystyle f}, entonces el cero conjunto de f{displaystyle f} es un conjunto suave de la dimensión m=p− − n{displaystyle m=p-n} por el teorema de valor regular.

Por ejemplo, la unidad m{displaystyle m}- Esfera en Rm+1{displaystyle mathbb {R} {m+1} es el conjunto cero de la función de valor real f()x)=.. x.. 2− − 1{displaystyle f(x)=Vert xVert ^{2}-1}.