Cero agudo

En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos, 0^# (cero sostenido, también 0#) es el conjunto de fórmulas verdaderas sobre indiscernibles y orden-indiscernibles en el universo construible de Gödel. A menudo se codifica como un subconjunto de los números enteros (usando la numeración de Gödel), o como un subconjunto de los conjuntos hereditariamente finitos, o como un número real. Su existencia es indemostrable en ZFC, la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos, pero se deriva de un gran axioma cardinal adecuado. Se introdujo por primera vez como un conjunto de fórmulas en la tesis de Silver de 1966, luego publicada como Silver (1971), donde se denotaba con Σ, y redescubierta por Solovay (1967, p.52), quien la consideraba como un subconjunto de los números naturales e introdujo la notación O^# (con una letra O mayúscula; esto luego cambió al numeral '0').

En términos generales, si 0^# existe, entonces el universo V de conjuntos es mucho más grande que el universo L de conjuntos construibles, mientras que si no existe, entonces el universo de todos los conjuntos se aproxima mucho a los conjuntos construibles.

Definición

Zero sharp fue definido por Silver y Solovay como sigue. Considere el lenguaje de la teoría de conjuntos con símbolos constantes extra c₁, c₂Por cada entero positivo. Entonces 0^# se define como el conjunto de números de Gödel de las verdaderas oraciones sobre el universo constructible, con c_i interpretado como el cardenal incontable א א i{displaystyle aleph _{i}. (Aquí) א א i{displaystyle aleph _{i} medios א א i{displaystyle aleph _{i} en el universo completo, no el universo constructible.)

Si hay en V un conjunto incontable de indiscernibles de orden Plata en el universo construible L, entonces 0^# es el conjunto de Números de Gödel de fórmulas θ de la teoría de conjuntos tales que

L⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⊨ ⊨ Silencio Silencio ()⋅ ⋅ 1,⋅ ⋅ 2,...⋅ ⋅ n){displaystyle L_{omega _{omega }models theta (omega _{1},omega _{2},omega _{n})}

donde ω₁,... ω_ω son los "pequeños" ordinales iniciales incontables en V, pero tienen todas las propiedades cardinales grandes consistentes con V=L relativo a L.

Hay una sutileza en esta definición: por el teorema de indefinibilidad de Tarski, en general, no es posible definir la verdad de una fórmula de la teoría de conjuntos en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Para resolver esto, Silver y Solovay asumieron la existencia de un cardenal grande adecuado, como un cardenal Ramsey, y demostraron que con esta suposición adicional es posible definir la verdad de las afirmaciones sobre el universo construible. Más generalmente, la definición de 0^# funciona siempre que haya un conjunto incontable de indiscernibles para alguna L_α, y la frase "0^# existe" se usa como una forma abreviada de decir esto.

Hay varias variaciones menores de la definición de 0^#, que no suponen una diferencia significativa en sus propiedades. Hay muchas opciones diferentes de numeración de Gödel, y 0^# depende de esta elección. En lugar de ser considerado como un subconjunto de los números naturales, también es posible codificar 0^# como un subconjunto de fórmulas de un lenguaje, o como un subconjunto de los conjuntos hereditariamente finitos, o como un número real. número.

Declaraciones que implican existencia

La condición sobre la existencia de un cardenal Ramsey que implica que existe 0^# puede debilitarse. La existencia de ω₁-cardinales de Erdős implica la existencia de 0^#. Esto está cerca de ser lo mejor posible, porque la existencia de 0^# implica que en el universo construible hay un cardinal α-Erdős para todos los α contables, por lo que dichos cardenales no pueden usarse para probar la existencia de 0^#.

La conjetura de Chang implica la existencia de 0^#.

Declaraciones equivalentes a existencia

Kunen demostró que 0^# existe si y solo si existe una incrustación elemental no trivial para el universo construible de Gödel L en sí mismo.

Donald A. Martin y Leo Harrington han demostrado que la existencia de 0^# es equivalente a la determinación de los juegos analíticos lightface. De hecho, la estrategia para un juego analítico lightface universal tiene el mismo grado de Turing que 0^#.

Se deduce del teorema de cobertura de Jensen que la existencia de 0^# es equivalente a que ω_ω sea un cardinal regular en el universo construible L .

Silver demostró que la existencia de un conjunto incontable de indiscernibles en el universo construible es equivalente a la existencia de 0^#.

Consecuencias de la existencia y la no existencia

Su existencia implica que todo cardinal incontable en el universo de teoría de conjuntos V es un indiscernible en L y satisface todos los grandes axiomas cardinales que se realizan en L (como ser totalmente inefable). De ello se deduce que la existencia de 0^# contradice el axioma de constructibilidad: V = L.

Si existe 0^#, entonces es un ejemplo de un Δ¹
₃ conjunto de enteros. En cierto sentido, esta es la posibilidad más simple para un conjunto no construible, ya que todo Σ¹
₂ y Π¹
₂ conjuntos de los enteros son construibles.

Por otro lado, si 0^# no existe, entonces el universo construible L es el modelo central, es decir, el modelo interno canónico que se aproxima al gran estructura cardinal del universo considerado. En ese caso, el lema de cobertura de Jensen se cumple:

Para cada conjunto incontable x de ordinals hay un constructible Sí. tales que x ⊂ Sí. y Sí. tiene la misma cardinalidad x.

Este resultado profundo es debido a Ronald Jensen. Usar forzando es fácil ver que la condición de que x es incontable no puede ser eliminado. Por ejemplo, considere Namba forcing, que conserva ⋅ ⋅ 1{displaystyle omega ¿Qué? y colapsos ⋅ ⋅ 2{displaystyle omega _{2} a un ordinal de cofinalidad ⋅ ⋅ {displaystyle omega }. Vamos G{displaystyle G. ser un ⋅ ⋅ {displaystyle omega }- cofinal de secuencia en ⋅ ⋅ 2L{displaystyle omega ¿Qué? y genéricos L. Entonces no hay lugar L de L- tamaño más pequeño que ⋅ ⋅ 2L{displaystyle omega ¿Qué? (que es incontable V, desde ⋅ ⋅ 1{displaystyle omega ¿Qué? se conserva) puede cubrir G{displaystyle G., desde ⋅ ⋅ 2{displaystyle omega _{2} es un cardenal regular.

Otros objetos punzantes

Si x es cualquier conjunto, entonces x^# se define de manera análoga a 0^# excepto que se usa L[x] en lugar de L. Consulte la sección sobre constructibilidad relativa en el universo construible.