Centros de gravedad en campos no uniformes

En física, el centro de gravedad de un cuerpo material es un punto que se puede usar para una descripción resumida de las interacciones gravitatorias. En un campo gravitacional uniforme, el centro de masa sirve como centro de gravedad. Esta es una muy buena aproximación para cuerpos más pequeños cerca de la superficie de la Tierra, por lo que no hay una necesidad práctica de distinguir el "centro de gravedad" desde el "centro de masa" en la mayoría de las aplicaciones, como la ingeniería y la medicina.

En un campo no uniforme, los efectos gravitatorios, como la energía potencial, la fuerza y el par, ya no se pueden calcular utilizando solo el centro de masa. En particular, un campo gravitacional no uniforme puede producir un par en un objeto, incluso alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. El centro de gravedad busca explicar este efecto. Formalmente, un centro de gravedad es un punto de aplicación de la fuerza gravitatoria resultante sobre el cuerpo. Tal punto puede no existir, y si existe, no es único. Se puede definir aún más un centro de gravedad único aproximando el campo como paralelo o esféricamente simétrico.

El concepto de un centro de gravedad a diferencia del centro de masa rara vez se usa en aplicaciones, incluso en mecánica celeste, donde los campos no uniformes son importantes. Dado que el centro de gravedad depende del campo externo, su movimiento es más difícil de determinar que el movimiento del centro de masa. El método común para tratar con pares gravitacionales es una teoría de campo.

Centro de masa

Una forma de definir el centro de gravedad de un cuerpo es como el único punto en el cuerpo, si existe, que cumpla con el siguiente requisito: no hay torsión alrededor del punto para cualquier posicionamiento del cuerpo en el campo de fuerza en que se coloca. Este centro de gravedad existe solo cuando la fuerza es uniforme, en cuyo caso coincide con el centro de masa. Este enfoque se remonta a Arquímedes.

Centros de gravedad en un campo

Cuando un cuerpo se ve afectado por un campo gravitatorio externo no uniforme, a veces se puede definir un centro de gravedad relativo a ese campo que actuará como un punto donde se aplica la fuerza gravitatoria. Libros de texto como The Feynman Lectures on Physics caracterizan el centro de gravedad como un punto en el que no hay torsión. En otras palabras, el centro de gravedad es un punto de aplicación de la fuerza resultante. Bajo esta formulación, el centro de gravedad r_cg se define como un punto que satisface la ecuación

${displaystyle mathbf {r} _{mathrm {cg} }times mathbf {F} ={boldsymbol {}}}$

donde F y τ son la fuerza total y torque en el cuerpo debido a la gravedad.

Una complicación relacionada con r_cg es que su ecuación definitoria generalmente no tiene solución. Si F y τ no son ortogonales, entonces no hay solución; la fuerza de gravedad no tiene resultante y no puede ser reemplazada por una sola fuerza en ningún punto. Hay algunos casos especiales importantes en los que F y τ están garantizados ser ortogonal, como si todas las fuerzas se encuentran en un solo plano o están alineadas con un solo punto.

Si la ecuación tiene solución, hay otra complicación: sus soluciones no son únicas. En cambio, hay infinitas soluciones; el conjunto de todas las soluciones se conoce como línea de acción de la fuerza. Esta línea es paralela al peso F. En general, no hay forma de elegir un punto en particular como el único centro de gravedad. Todavía se puede elegir un solo punto en algunos casos especiales, como si el campo gravitatorio es paralelo o esféricamente simétrico. Estos casos se consideran a continuación.

Campos paralelos

Parte de la falta de homogeneidad en un campo gravitatorio puede modelarse mediante un campo variable pero paralelo: g(r) = g(r)n, donde n es un vector unitario constante. Aunque un campo gravitatorio no uniforme no puede ser exactamente paralelo, esta aproximación puede ser válida si el cuerpo es lo suficientemente pequeño. Entonces, el centro de gravedad puede definirse como un cierto promedio ponderado de las ubicaciones de las partículas que componen el cuerpo. Mientras que el centro de masa promedia sobre la masa de cada partícula, el centro de gravedad promedia sobre el peso de cada partícula:

${displaystyle mathbf {r} _{mathrm {cg} }={frac {1}{W}sum} ¿Qué?$

donde w_i es el peso (escalar) del iésima partícula y W es el (escalar) peso total de todas las partículas. Esta ecuación siempre tiene una solución única y, en la aproximación de campo paralelo, es compatible con el requisito de par.

Una ilustración común se refiere a la Luna en el campo de la Tierra. Usando la definición de promedio ponderado, la Luna tiene un centro de gravedad que está más bajo (más cerca de la Tierra) que su centro de masa, porque su parte inferior está más fuertemente influenciada por la gravedad de la Tierra. Esto eventualmente llevó a que la Luna siempre mostrara la misma cara, un fenómeno conocido como bloqueo de marea.

Campos esféricamente simétricos

Si el campo gravitacional externo es esféricamente simétrico, entonces es equivalente al campo de una masa puntual M en el centro de simetría r. En este caso, el centro de gravedad se puede definir como el punto en el que la fuerza total sobre el cuerpo viene dada por la Ley de Newton:

${displaystyle {frac {Mathbf {r} {m}-mathbf {r}} {m}} {mtbf {r}}} {fnMitbf} ¿Qué? }-Mathbf {r} Silencio.$

donde G es la constante gravitacional y m es la masa del cuerpo. Siempre que la fuerza total sea distinta de cero, esta ecuación tiene una solución única y satisface el requisito de torsión. Una característica conveniente de esta definición es que si el cuerpo es esféricamente simétrico, entonces r_cg se encuentra en su centro de masa. En general, a medida que aumenta la distancia entre r y el cuerpo, el centro de gravedad se acerca al centro de masa.

Otra forma de ver esta definición es considerar el campo gravitatorio del cuerpo; entonces r_cg es la fuente aparente de atracción gravitatoria para un observador ubicado en < b>r. Por esta razón, r_cg a veces se denomina centro de gravedad de M relativo al punto r.

Uso

Los centros de gravedad definidos anteriormente no son puntos fijos en el cuerpo; más bien, cambian a medida que cambia la posición y la orientación del cuerpo. Esta característica hace que sea difícil trabajar con el centro de gravedad, por lo que el concepto tiene poca utilidad práctica.

Cuando es necesario considerar un par gravitacional, es más fácil representar la gravedad como una fuerza que actúa en el centro de masa, más un par dependiente de la orientación. Este último se aborda mejor tratando el potencial gravitacional como un campo.