Centro de poder (geometría)

En geometría, el centro de potencia de tres círculos, también llamado centro radical, es el punto de intersección de los tres ejes radicales de los pares de círculos. Si el centro radical se encuentra fuera de los tres círculos, entonces es el centro del círculo único (el círculo radical) que corta ortogonalmente a los tres círculos dados; la construcción de este círculo ortogonal corresponde al problema de Monge. Este es un caso especial del teorema de las tres cónicas.

Los tres ejes radicales se encuentran en un solo punto, el centro radical, por la siguiente razón. El eje radical de un par de círculos se define como el conjunto de puntos que tienen la misma potencia h con respecto a ambos círculos. Por ejemplo, para cada punto P en el eje radical de los círculos 1 y 2, las potencias de cada círculo son iguales, h₁ = h₂. De manera similar, para cada punto en el eje radical de los círculos 2 y 3, las potencias deben ser iguales, h₂ = h₃ . Por lo tanto, en el punto de intersección de estas dos líneas, las tres potencias deben ser iguales, h₁ = h₂ = h₃. Dado que esto implica que h₁ = h₃, este punto también debe estar en el eje radical de los círculos 1 y 3. Por tanto, los tres ejes radicales pasan por el mismo punto, el centro radical.

El centro radical tiene varias aplicaciones en geometría. Tiene un papel importante en una solución a Apollonius' problema publicado por Joseph Diaz Gergonne en 1814. En el diagrama de potencia de un sistema de círculos, todos los vértices del diagrama están ubicados en centros radicales de triples de círculos. El centro de Spieker de un triángulo es el centro radical de sus excírculos. También se han definido varios tipos de círculos radicales, como el círculo radical de los círculos de Lucas.