Centro de masa

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Punto único donde la posición relativa ponderada de la masa distribuida suma a cero

Este juguete utiliza los principios del centro de masa para mantener el equilibrio al sentarse en un dedo.

En física, el centro de masa de una distribución de masa en el espacio (a veces denominado punto de equilibrio) es el único punto en cualquier momento dado donde el posición relativa ponderada de las sumas de masa distribuidas a cero. Este es el punto en el que se puede aplicar una fuerza para provocar una aceleración lineal sin una aceleración angular. Los cálculos en mecánica a menudo se simplifican cuando se formulan con respecto al centro de masa. Es un punto hipotético donde se puede suponer que toda la masa de un objeto está concentrada para visualizar su movimiento. En otras palabras, el centro de masa es la partícula equivalente de un objeto dado para la aplicación de las leyes de movimiento de Newton.

En el caso de un solo cuerpo rígido, el centro de masa está fijo en relación al cuerpo, y si el cuerpo tiene densidad uniforme, estará ubicado en el centroide. El centro de masa puede estar ubicado fuera del cuerpo físico, como ocurre a veces con objetos huecos o de forma abierta, como una herradura. En el caso de una distribución de cuerpos separados, como los planetas del Sistema Solar, el centro de masa puede no corresponder a la posición de ningún miembro individual del sistema.

El centro de masa es un punto de referencia útil para los cálculos en mecánica que implican masas distribuidas en el espacio, como el momento lineal y angular de cuerpos planetarios y la dinámica de cuerpos rígidos. En mecánica orbital, las ecuaciones de movimiento de los planetas se formulan como masas puntuales ubicadas en los centros de masa. El marco del centro de masa es un marco inercial en el que el centro de masa de un sistema está en reposo con respecto al origen del sistema de coordenadas.

Historia

El concepto de centro de gravedad o peso fue estudiado extensamente por el antiguo matemático, físico e ingeniero griego Arquímedes de Siracusa. Trabajó con supuestos simplificados sobre la gravedad que equivalen a un campo uniforme, llegando así a las propiedades matemáticas de lo que ahora llamamos el centro de masa. Arquímedes demostró que el par de torsión ejercido sobre una palanca por los pesos que descansan en varios puntos a lo largo de la palanca es el mismo que sería si todos los pesos se movieran a un solo punto: su centro de masa. En su obra Sobre los cuerpos flotantes, Arquímedes demostró que la orientación de un objeto flotante es la que hace que su centro de masa sea lo más bajo posible. Desarrolló técnicas matemáticas para encontrar los centros de masa de objetos de densidad uniforme de varias formas bien definidas.

Otros matemáticos antiguos que contribuyeron a la teoría del centro de masa incluyen a Héroe de Alejandría y Pappus de Alejandría. En el Renacimiento y la Edad Moderna, la obra de Guido Ubaldi, Francesco Maurolico, Federico Commandino, Evangelista Torricelli, Simon Stevin, Luca Valerio, Jean-Charles de la Faille, Paul Guldin, John Wallis, Christiaan Huygens, Louis Carré, Pierre Varignon, y Alexis Clairaut amplió aún más el concepto.

La segunda ley de Newton se reformula con respecto al centro de masa en la primera ley de Euler.

Definición

El centro de masa es el único punto en el centro de una distribución de masa en el espacio que tiene la propiedad de que los vectores de posición ponderados relativos a este punto suman cero. En analogía con las estadísticas, el centro de masa es la ubicación media de una distribución de masa en el espacio.

Un sistema de partículas

En el caso de un sistema de partículas $P i, i = 1, ..., n$ , cada uno con masa $m i$ que están ubicados en el espacio con coordenadas $r i, i = 1, ..., n$ , las coordenadas R del centro de masa cumplen la condición

{displaystyle sum _{i=1}^{n}m_{i}(mathbf {r} _{i}-mathbf {R})=mathbf {0}.}

Al resolver esta ecuación para R se obtiene la fórmula

{displaystyle mathbf {R} ={frac {1}{M}}sum _{i=1}^{n}m_{i}mathbf {r} _{i},}

{displaystyle M=sum _{i=1}^{n}m_{i}}

Un volumen continuo

Si la distribución de masa es continua con la densidad ρ(r) dentro de un sólido Q, entonces la integral de las coordenadas de posición ponderadas de los puntos en este volumen relativo al centro de masa R sobre el volumen V es cero, es decir

{displaystyle iiint _{Q}rho (mathbf {r})left(mathbf {r} -mathbf {R} right)dV=0.}

Resolver esta ecuación para las coordenadas R para obtener

{displaystyle mathbf {R} ={frac {1}{M}}iiint _{Q}rho (mathbf {r})mathbf {r} ,dV,}

Si una distribución de masa continua tiene densidad uniforme, lo que significa que ρ es constante, entonces el centro de masa es el mismo que el centroide del volumen.

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas R del centro de masa de un sistema de dos partículas, P₁ y P ₂, con masas m₁ y m₂ viene dado por

{displaystyle mathbf {R} ={frac {1}{m_{1}+m_{2}}}(m_{1}mathbf {r} _{1}+m_{2}mathbf {r} _{2}).}

Deje que el porcentaje de la masa total dividida entre estas dos partículas varíe de 100% P₁ y 0% P₂ hasta 50% P₁ y 50% P₂ hasta 0% P₁ y 100% P₂, entonces el centro de masa R se mueve a lo largo de la línea desde P₁ a P₂. Los porcentajes de masa en cada punto se pueden ver como coordenadas proyectivas del punto R en esta línea y se denominan coordenadas baricéntricas. Otra forma de interpretar el proceso aquí es el balanceo mecánico de momentos alrededor de un punto arbitrario. El numerador da el momento total que luego se equilibra con una fuerza total equivalente en el centro de masa. Esto se puede generalizar a tres puntos y cuatro puntos para definir coordenadas proyectivas en el plano y en el espacio, respectivamente.

Sistemas con condiciones de contorno periódicas

Para partículas en un sistema con condiciones de frontera periódicas, dos partículas pueden ser vecinas aunque estén en lados opuestos del sistema. Esto ocurre a menudo en simulaciones de dinámica molecular, por ejemplo, en las que se forman grupos en ubicaciones aleatorias y, a veces, los átomos vecinos cruzan el límite periódico. Cuando un grupo se extiende a ambos lados del límite periódico, un cálculo ingenuo del centro de masa será incorrecto. Un método generalizado para calcular el centro de masa de los sistemas periódicos es tratar cada coordenada, x e y y/o z, como si fuera estaban en un círculo en lugar de una línea. El cálculo toma la coordenada x de cada partícula y la asigna a un ángulo,

{displaystyle theta _{i}={frac {x_{i}}{x_{max }}}2pi }

x_maxx

{displaystyle x_{i}in [0,x_{max })}

{displaystyle (xi _{i},zeta _{i})}

x_{i}

{displaystyle {begin{aligned}xi _{i}&=cos(theta _{i})\zeta _{i}&=sin(theta _{i})end{aligned}}}

En el ${displaystyle (xizeta)}$ avión, estas coordenadas se encuentran en un círculo de radio 1. De la colección de $xi _{i}$ y $zeta _{i}$ valores de todas las partículas, los promedios ${overline {xi }}$ y ${overline {zeta }}$ se calculan.

{displaystyle {begin{aligned}{overline {xi }}&={frac {1}{M}}sum _{i=1}^{n}m_{i}xi _{i},\{overline {zeta }}&={frac {1}{M}}sum _{i=1}^{n}m_{i}zeta _{i},end{aligned}}}

M

Estos valores se vuelven a un nuevo ángulo, ${overline {theta }}$ , del cual el x coordinación del centro de masa se puede obtener:

{displaystyle {begin{aligned}{overline {theta }}&=operatorname {atan2} left(-{overline {zeta }},-{overline {xi }}right)+pi \x_{text{com}}&=x_{max }{frac {overline {theta }}{2pi }}end{aligned}}}

El proceso se puede repetir para todas las dimensiones del sistema para determinar el centro completo de masa. La utilidad del algoritmo es que permite a las matemáticas determinar dónde está el "mejor" centro de masa, en lugar de adivinar o utilizar el análisis de racimo para "desplegar" un grupo que atraviesa los límites periódicos. Si ambos valores promedio son cero, ${displaystyle left({overline {xi }},{overline {zeta }}right)=(0,0)}$ , entonces ${overline {theta }}$ no está definido. Este es un resultado correcto, porque sólo ocurre cuando todas las partículas están exactamente igualmente espaciadas. En esa condición, sus x las coordenadas son matemáticamente idénticas en un sistema periódico.

Centro de gravedad

Diagrama de un juguete educativo que equilibra en un punto: el centro de masa (C) se asienta debajo de su soporte (P)

El centro de gravedad de un cuerpo es el punto alrededor del cual desaparece el par resultante debido a las fuerzas de gravedad. Donde un campo de gravedad puede considerarse uniforme, el centro de masa y el centro de gravedad serán los mismos. Sin embargo, para los satélites en órbita alrededor de un planeta, en ausencia de otros pares que se apliquen a un satélite, la ligera variación (gradiente) en el campo gravitatorio entre el planeta más cercano (más fuerte) y más lejano (más débil) puede conducir a un par que tenderá a alinear el satélite de manera que su eje largo sea vertical. En tal caso, es importante hacer la distinción entre el centro de gravedad y el centro de masa. Cualquier desplazamiento horizontal entre los dos dará como resultado un par aplicado.

Es útil tener en cuenta que el centro de masa es una propiedad fija para un cuerpo rígido dado (por ejemplo, sin bamboleo ni articulación), mientras que el centro de gravedad puede, además, depender de su orientación en un no -campo gravitatorio uniforme. En el último caso, el centro de gravedad siempre estará ubicado algo más cerca del cuerpo de atracción principal en comparación con el centro de masa y, por lo tanto, cambiará su posición en el cuerpo de interés a medida que cambie su orientación.

En el estudio de la dinámica de aeronaves, vehículos y embarcaciones, las fuerzas y los momentos deben resolverse en relación con el centro de masa. Eso es cierto independientemente de si la gravedad misma es una consideración. Referirse al centro de masa como el centro de gravedad es una especie de coloquialismo, pero es de uso común y cuando los efectos del gradiente de gravedad son insignificantes, el centro de gravedad y el centro de masa son lo mismo y se usan indistintamente.

En física, los beneficios de usar el centro de masa para modelar una distribución de masa se pueden ver al considerar la resultante de las fuerzas de gravedad en un cuerpo continuo. Considere un cuerpo Q de volumen V con densidad ρ(r) en cada punto r en el volumen. En un campo de gravedad paralelo, la fuerza f en cada punto r viene dada por,

{displaystyle mathbf {f} (mathbf {r})=-dm,gmathbf {hat {k}} =-rho (mathbf {r}),dV,gmathbf {hat {k}}}

♪rg

{textstyle mathbf {hat {k}} }

Elija un punto de referencia R en el volumen y calcule la fuerza y el par resultantes en este punto,

{displaystyle mathbf {F} =iiint _{Q}mathbf {f} (mathbf {r}),dV=iiint _{Q}rho (mathbf {r}),dVleft(-gmathbf {hat {k}} right)=-Mgmathbf {hat {k}}}

{displaystyle mathbf {T} =iiint _{Q}(mathbf {r} -mathbf {R})times mathbf {f} (mathbf {r}),dV=iiint _{Q}(mathbf {r} -mathbf {R})times left(-grho (mathbf {r}),dV,mathbf {hat {k}} right)=left(iiint _{Q}rho (mathbf {r})left(mathbf {r} -mathbf {R} right)dVright)times left(-gmathbf {hat {k}} right).}

Si se elige el punto de referencia R de modo que sea el centro de masa, entonces

{displaystyle iiint _{Q}rho (mathbf {r})left(mathbf {r} -mathbf {R} right)dV=0,}

T = 0

Al seleccionar el centro de gravedad como punto de referencia para un cuerpo rígido, las fuerzas de gravedad no harán que el cuerpo gire, lo que significa que se puede considerar que el peso del cuerpo está concentrado en el centro de masa.

Momento lineal y angular

El momento lineal y angular de un conjunto de partículas se puede simplificar midiendo la posición y la velocidad de las partículas en relación con el centro de masa. Sea el sistema de partículas P_i, i = 1,..., n de masas m_i estar situado en las coordenadas r_i con velocidades v_i. Seleccione un punto de referencia R y calcule la posición relativa y los vectores de velocidad,

{displaystyle mathbf {r} _{i}=(mathbf {r} _{i}-mathbf {R})+mathbf {R}quad mathbf {v} _{i}={frac {d}{dt}}(mathbf {r} _{i}-mathbf {R})+mathbf {v}.}

El momento lineal total y el momento angular del sistema son

{displaystyle mathbf {p} ={frac {d}{dt}}left(sum _{i=1}^{n}m_{i}(mathbf {r} _{i}-mathbf {R})right)+left(sum _{i=1}^{n}m_{i}right)mathbf {v}}

{displaystyle mathbf {L} =sum _{i=1}^{n}m_{i}(mathbf {r} _{i}-mathbf {R})times {frac {d}{dt}}(mathbf {r} _{i}-mathbf {R})+left(sum _{i=1}^{n}m_{i}right)left[mathbf {R} times {frac {d}{dt}}(mathbf {r} _{i}-mathbf {R})+(mathbf {r} _{i}-mathbf {R})times mathbf {v} right]+left(sum _{i=1}^{n}m_{i}right)mathbf {R} times mathbf {v} }

Si se elige R como el centro de masa, estas ecuaciones se simplifican a

{displaystyle mathbf {p} =mmathbf {v}quad mathbf {L} =sum _{i=1}^{n}m_{i}(mathbf {r} _{i}-mathbf {R})times {frac {d}{dt}}(mathbf {r} _{i}-mathbf {R})+sum _{i=1}^{n}m_{i}mathbf {R} times mathbf {v} }

mpL

La ley de conservación de la cantidad de movimiento predice que para cualquier sistema que no esté sujeto a fuerzas externas, la cantidad de movimiento del sistema permanecerá constante, lo que significa que el centro de masa se moverá con velocidad constante. Esto se aplica a todos los sistemas con fuerzas internas clásicas, incluidos campos magnéticos, campos eléctricos, reacciones químicas, etc. Más formalmente, esto es cierto para cualquier fuerza interna que se cancela de acuerdo con la Tercera Ley de Newton.

Localización del centro de masa

Método de línea Plumb

La determinación experimental del centro de masa de un cuerpo hace uso de las fuerzas de gravedad sobre el cuerpo y se basa en el hecho de que el centro de masa es el mismo que el centro de gravedad en el campo de gravedad paralelo cerca del superficie de la tierra.

El centro de masa de un cuerpo con un eje de simetría y densidad constante debe estar sobre este eje. Así, el centro de masa de un cilindro circular de densidad constante tiene su centro de masa en el eje del cilindro. De la misma manera, el centro de masa de un cuerpo esféricamente simétrico de densidad constante está en el centro de la esfera. En general, para cualquier simetría de un cuerpo, su centro de masa será un punto fijo de esa simetría.

En dos dimensiones

Un método experimental para ubicar el centro de masa es suspender el objeto desde dos ubicaciones y dejar caer plomadas desde los puntos de suspensión. La intersección de las dos líneas es el centro de masa.

Es posible que la forma de un objeto ya esté determinada matemáticamente, pero puede ser demasiado complejo para usar una fórmula conocida. En este caso, uno puede subdividir la forma compleja en formas más simples y elementales, cuyos centros de masa son fáciles de encontrar. Si la masa total y el centro de masa se pueden determinar para cada área, entonces el centro de masa del todo es el promedio ponderado de los centros. Este método incluso puede funcionar para objetos con agujeros, que pueden contabilizarse como masas negativas.

Se puede utilizar un desarrollo directo del planímetro conocido como integral o integerómetro para establecer la posición del centroide o centro de masa de una forma bidimensional irregular. Este método se puede aplicar a una forma con un límite irregular, suave o complejo donde otros métodos son demasiado difíciles. Los constructores de barcos lo usaban regularmente para comparar el desplazamiento requerido y el centro de flotabilidad de un barco, y asegurarse de que no zozobrara.

En tres dimensiones

Un método experimental para localizar las coordenadas tridimensionales del centro de masa comienza apoyando el objeto en tres puntos y midiendo las fuerzas, F₁, F₂, y F₃ que resisten el peso del objeto, ${displaystyle mathbf {W} =-Wmathbf {hat {k}} }$ () $mathbf{hat{k}}$ es el vector de unidad en la dirección vertical). Vamos r₁, r₂, y r₃ ser las coordenadas de posición de los puntos de soporte, luego las coordenadas R del centro de masa satisfacer la condición de que el par resultante es cero,

{displaystyle mathbf {T} =(mathbf {r} _{1}-mathbf {R})times mathbf {F} _{1}+(mathbf {r} _{2}-mathbf {R})times mathbf {F} _{2}+(mathbf {r} _{3}-mathbf {R})times mathbf {F} _{3}=0,}

{displaystyle mathbf {R} times left(-Wmathbf {hat {k}} right)=mathbf {r} _{1}times mathbf {F} _{1}+mathbf {r} _{2}times mathbf {F} _{2}+mathbf {r} _{3}times mathbf {F} _{3}.}

Esta ecuación produce las coordenadas del centro de masa R* en el plano horizontal como,

{displaystyle mathbf {R} ^{*}=-{frac {1}{W}}mathbf {hat {k}} times (mathbf {r} _{1}times mathbf {F} _{1}+mathbf {r} _{2}times mathbf {F} _{2}+mathbf {r} _{3}times mathbf {F} _{3}).}

El centro de masa se encuentra en la línea vertical L, dada por

{displaystyle mathbf {L} (t)=mathbf {R} ^{*}+tmathbf {hat {k}}.}

Las coordenadas tridimensionales del centro de masa se determinan realizando este experimento dos veces con el objeto colocado de modo que estas fuerzas se midan en dos planos horizontales diferentes a través del objeto. El centro de masa será la intersección de las dos líneas L₁ y L₂ obtenidas de los dos experimentos.

Aplicaciones

Diseños de ingeniería

Aplicaciones de automoción

Los ingenieros intentan diseñar un automóvil deportivo de modo que su centro de masa esté más bajo para mejorar el manejo del automóvil, es decir, mantener la tracción mientras se ejecutan giros relativamente cerrados.

El perfil bajo característico del Humvee militar de EE. UU. se diseñó en parte para permitirle inclinarse más que los vehículos más altos sin volcarse, asegurando que su bajo centro de masa permanezca sobre el espacio delimitado por las cuatro ruedas, incluso en ángulos alejados de la horizontal

Aeronáutica

El centro de masa es un punto importante en una aeronave, que afecta significativamente la estabilidad de la aeronave. Para garantizar que la aeronave sea lo suficientemente estable para volar con seguridad, el centro de masa debe estar dentro de los límites especificados. Si el centro de masa está por delante del límite delantero, la aeronave será menos maniobrable, posiblemente hasta el punto de no poder girar para despegar o ensancharse para aterrizar. Si el centro de masa está detrás del límite de popa, la aeronave será más maniobrable, pero también menos estable y posiblemente lo suficientemente inestable como para que sea imposible volar. El brazo de momento del ascensor también se reducirá, lo que hace que sea más difícil recuperarse de una condición de parada.

Para helicópteros en vuelo estacionario, el centro de masa siempre está directamente debajo de la cabeza del rotor. En vuelo hacia adelante, el centro de masa se moverá hacia adelante para equilibrar el par de cabeceo negativo producido al aplicar el control cíclico para impulsar el helicóptero hacia adelante; en consecuencia, un helicóptero de crucero vuela "nariz abajo" en vuelo nivelado.

Astronomía

Dos cuerpos orbitando su barycenter (cruz roja)

El centro de masa juega un papel importante en la astronomía y la astrofísica, donde comúnmente se le conoce como el baricentro. El baricentro es el punto entre dos objetos donde se equilibran entre sí; es el centro de masa donde dos o más cuerpos celestes se orbitan entre sí. Cuando una luna gira alrededor de un planeta, o un planeta gira alrededor de una estrella, ambos cuerpos en realidad están girando alrededor de un punto que se encuentra alejado del centro del cuerpo primario (más grande). Por ejemplo, la Luna no orbita el centro exacto de la Tierra, sino un punto en una línea entre el centro de la Tierra y la Luna, aproximadamente a 1710 km (1062 millas) por debajo de la superficie de la Tierra, donde sus respectivas masas se equilibran.. Este es el punto alrededor del cual la Tierra y la Luna orbitan mientras viajan alrededor del Sol. Si las masas son más similares, por ejemplo, Plutón y Caronte, el baricentro caerá fuera de ambos cuerpos.

Aparejo y seguridad

Conocer la ubicación del centro de gravedad cuando se monta es crucial, lo que puede provocar lesiones graves o la muerte si se asume incorrectamente. Un centro de gravedad que esté en el punto de elevación o por encima de él probablemente provocará un incidente de vuelco. En general, cuanto más lejos esté el centro de gravedad por debajo del punto de recogida, más seguro será el ascensor. Hay otras cosas a considerar, como el cambio de cargas, la fuerza de la carga y la masa, la distancia entre los puntos de recogida y la cantidad de puntos de recogida. Específicamente, al seleccionar los puntos de elevación, es muy importante colocar el centro de gravedad en el centro y muy por debajo de los puntos de elevación.

Movimiento del cuerpo

En kinesiología y biomecánica, el centro de masa es un parámetro importante que ayuda a las personas a comprender su locomoción humana. Por lo general, el centro de masa de un ser humano se detecta con uno de dos métodos: el método del tablero de reacción es un análisis estático que involucra a la persona acostada sobre ese instrumento y el uso de su ecuación de equilibrio estático para encontrar su centro de masa; el método de segmentación se basa en una solución matemática basada en el principio físico de que la suma de los momentos de torsión de las secciones individuales del cuerpo, en relación con un eje específico, debe ser igual al momento de torsión de todo el sistema que constituye el cuerpo, medido en relación con el mismo eje.

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