Cáustico (óptica)

En óptica, una cáustica o red cáustica es la envoltura de rayos de luz que han sido reflejados o refractados por una superficie u objeto curvo, o la proyección de esa envoltura de rayos sobre otra superficie. La cáustica es una curva o superficie a la que cada uno de los rayos de luz es tangente, definiendo un límite de una envoltura de rayos como una curva de luz concentrada. En algunos casos, las cáusticas pueden verse como manchas de luz o sus bordes brillantes, formas que a menudo tienen singularidades en las cúspides.

Explicación

La concentración de luz, especialmente la del sol, puede quemar. La palabra cáustica, de hecho, proviene del griego καυστός, quemado, a través del latín causticus, quemar.

Una situación común en la que las cáusticas son visibles es cuando la luz incide sobre un vaso. El vidrio proyecta una sombra, pero también produce una región curva de luz brillante. En circunstancias ideales (incluidos rayos perfectamente paralelos, como si procedieran de una fuente puntual en el infinito), se puede producir una mancha de luz con forma de nefroide. Las cáusticas ondulantes se forman comúnmente cuando la luz brilla a través de ondas en una masa de agua.

Otra cáustica familiar es el arcoíris. La dispersión de la luz por las gotas de lluvia hace que diferentes longitudes de onda de luz se refracten en arcos de diferentes radios, produciendo el arco.

Gráficos por ordenador

En gráficos por computadora, la mayoría de los sistemas de renderizado modernos admiten cáusticas. Algunos de ellos incluso admiten cáusticos volumétricos. Esto se logra trazando los posibles caminos de un haz de luz, teniendo en cuenta la refracción y la reflexión. El mapeo de fotones es una implementación de esto. Las cáusticas volumétricas también se pueden lograr mediante el trazado de trayectoria volumétrica. Algunos sistemas gráficos por computadora funcionan mediante "trazado de rayos directos" en el que los fotones se modelan como si provinieran de una fuente de luz y rebotaran en el entorno de acuerdo con reglas. Las cáusticas se forman en las regiones donde suficientes fotones golpean una superficie, lo que hace que sea más brillante que el área promedio de la escena. El “trazado de rayos hacia atrás” funciona de manera inversa, comenzando en la superficie y determinando si hay un camino directo a la fuente de luz. Aquí se pueden encontrar algunos ejemplos de cáusticas con trazado de rayos 3D.

El enfoque de la mayoría de los sistemas de gráficos por computadora es la estética más que la precisión física. Esto es especialmente cierto cuando se trata de gráficos en tiempo real en juegos de computadora donde se utilizan principalmente texturas genéricas precalculadas en lugar de cálculos físicamente correctos.

Ingeniería cáustica

La ingeniería cáustica describe el proceso de resolución del problema inverso a los gráficos por computadora. Es decir, dada una imagen concreta, determinar una superficie cuya luz refractada o reflejada forma esta imagen.

En la versión discreta de este problema, la superficie se divide en varias microsuperficies que se suponen suaves, es decir, la luz reflejada/refractada por cada microsuperficie forma una cáustica gaussiana. Cáustica gaussiana significa que cada microsuperficie obedece a una distribución gaussiana. Luego se obtienen la posición y orientación de cada una de las microsuperficies mediante una combinación de integración de Poisson y recocido simulado.

Ha habido muchos enfoques diferentes para abordar el problema continuo. Un enfoque utiliza una idea de la teoría del transporte llamada transporte óptimo para encontrar un mapeo entre los rayos de luz entrantes y la superficie objetivo. Después de obtener dicho mapeo, la superficie se optimiza adaptándola iterativamente utilizando la ley de refracción de Snell.

Diseño de patrones cáusticos basados en transporte óptimo

Principio básico

Controlar el patrón cáustico es un problema bastante desafiante ya que cambios muy pequeños en la superficie afectarán significativamente la calidad del patrón, ya que las direcciones de los rayos de luz pueden verse interferidas por otros rayos de luz cuando se cruzan con el material y se refractan a través de él. Esto dará lugar a un patrón disperso y discontinuo. Para abordar este problema, el basado en transporte óptimo es uno de los métodos propuestos existentes para controlar el patrón cáustico redirigiendo las direcciones de la luz a medida que se propaga a través de la superficie de un determinado material transparente. Esto se hace resolviendo un problema de optimización inversa basado en el transporte óptimo. Dada una imagen de referencia de un objeto/patrón, el objetivo es formular la descripción matemática de la superficie del material a través de la cual la luz se refracta y converge al patrón similar de la imagen de referencia. Esto se hace reorganizando/recalculando la intensidad de la luz inicial hasta alcanzar el mínimo del problema de optimización.

Diseñar canalización

Aquí, considerando solo la cáustica refractiva, el objetivo se puede determinar de la siguiente manera (principio similar para la cáustica reflectante con diferente salida):

Entrada: imagen del patrón que se obtendrá después de propagar luces a través del material, dada la posición de la fuente de luz.

Salida: geometría cáustica en el receptor (superficie sólida plana, por ejemplo: suelo, pared, etc...)

Para lograr el patrón objetivo, la superficie por donde la luz se refracta y sale al entorno exterior debe fabricarse con cierta forma para lograr el patrón deseado en el otro lado del material.

Como se mencionó, dada una imagen de entrada, este proceso producirá un patrón cáustico similar al de salida. En principio, hay dos etapas principales y cada una incluye dos subetapas:

• 

  Problema de transporte óptimo
  1. Compute Target Light Distribution
  2. Mapping de la distribución inicial a la distribución de objetivos
• Optimización de la superficie de destino
  1. Compute Representación Normal de Superficie
  2. Refinamiento de superficie

Resolver el problema de transporte óptimo

Como la refracción se produce a través de una superficie transparente, por ejemplo los patrones que aparecen bajo la superficie del agua clara, se pueden observar 3 fenómenos principales:

• Puntos muy brillantes (intensidad de luz condensada) (llamado singularidad)
• Objetos similares a curvas que conectan los puntos
• Regiones con baja intensidad de luz

Para realizar el cálculo, se introducen las siguientes 3 cantidades para describir las características geométricas del patrón: singularidad de puntos ${\displaystyle ¿Qué?$ (medición de la intensidad de la luz en cierto punto de luz altamente concentrado), singularidad curva ${\displaystyle ¿Qué?$ (medición de la intensidad de la luz alrededor de una curva de luz) y medida de radiación ${\displaystyle \Phi _{I}$ (medida intensidad en una determinada zona de luz poco concentrada). Poniéndolos en conjunto, la función siguiente define la medida total de flujo radiante ${\displaystyle \Phi _{T}$ en una determinada sección Ω en la superficie de destino:

${\displaystyle \Phi _{T}(\Omega)=\textstyle \sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ }\Phi _{p} {i}(\Omega)+\sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ }\Phi _{c} {j}(\Omega)+\Phi _{I}(\Omega)\displaystyle }$

Después de este paso, hay dos medidas existentes del flujo radiante de la fuente ${\displaystyle ¿Qué?$ (distribución uniforme, por inicialización) y el objetivo ${\displaystyle \Phi _{T}$ (computado en paso anterior). Lo que queda por calcular es la asignación de la fuente a la meta. Para hacer esto, hay varias cantidades a definir. En primer lugar, dos intensidades de luz evaluadas por probabilidades: ${\displaystyle \mu _{S}}$ (intensidad de la luz evaluada dividiendo ${\displaystyle ¿Qué?$ por el flujo de la región sindical entre ${\displaystyle ¿Qué?$ y ${\displaystyle \Phi _{T}$), ${\displaystyle \mu _{T}$ (intensidad de la luz evaluada dividiendo ${\displaystyle \Phi _{T}$ por el flujo de la región sindical entre ${\displaystyle ¿Qué?$ y ${\displaystyle \Phi _{T}$) se definen. En segundo lugar, la malla fuente se genera como múltiples sitios ${\displaystyle s_{i}\in (\Phi _{S}\cup \Phi _{T})}$, que es más tarde deformado. Siguiente, un diagrama de potencia ${\displaystyle P_{w}$ (un conjunto de ${\displaystyle ¿Qué?$ células de poder) se define en este conjunto de sitios ${\displaystyle S_{i}$ ponderado por un vector de peso ${\displaystyle \omega }$. Finalmente, el objetivo es decidir si qué células de poder van a moverse. Considerando todo ${\displaystyle x}$ vertices en la superficie, encontrando el minimizador ${\displaystyle \omega _{min}$ de la siguiente función convex producirá el diagrama de potencia emparejado para el objetivo:

${\displaystyle f(\omega)=\sum ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?$

Optimización de la superficie objetivo

Después de resolver el problema de transporte óptimo, se logran los vértices. Sin embargo, esto no da ninguna información sobre cómo debería ser la superficie final. Para lograr la superficie de destino deseada dada la luz de rayos entrantes ${\displaystyle ♪♪$, rayos de luz salientes ${\displaystyle ♪♪$ y diagrama de potencia desde el paso anterior, la representación normal de la superficie puede ser calculada según la ley de Snell como:

${\displaystyle n=d_{I}+{\eta x \over \lVert ♪ {I}+\eta ♪♪ Vert }=d_{I}+{\eta x \over\lVert d_{I}+\eta {(x_{R}-x) \over Silencio. Vert$

dónde,

${\displaystyle \eta }$: coeficiente de refracción

${\displaystyle x_{R}$: posición de destino obtenida de la solución de un problema de transporte óptimo

A medida que se obtiene la representación normal, el refinamiento de la superficie se logra minimizando la siguiente función de energía compuesta:

${\displaystyle {\underset {x}{\fnMicrosoft}\,\fnMiega \,\cdot [E_{int},\,E_{dir},\,E_{flux},\,E_{reg},\,E_{bar}}}}}}$

¿Dónde?

${\displaystyle E_{int}=\sum _{v\in M_{T}\l Vert n_{o}-n\r Vert _{2} {2}$ es la energía de integración que alinea el vértice normal ${\displaystyle n_{o}$ obtenido del Transporte Optimal con las normales de destino ${\displaystyle n}$ obtenido de la computación de la ley de Snell arriba.

${\displaystyle E_{dir}=\sum _{v\in M_{T}\l Vert x-{\textbf {proj}_{(x_{S},\,d_{I})}(x)\r Vert _{2} {2}$ como malla generada en el paso Solving Optimal Transport no puede adaptarse a las agudas instancias de las discontinuidades, esta energía es penalizar los vértices para no cambiar significativamente de los rayos de luz entrantes.

${\displaystyle E_{flux}=\sum _{t\in M_{T}\l Vert \Phi _{T}(t)-\Phi _{S}(t_{s})\rVert _{2}^{2}}$ es la energía que mide el flujo sobre el triángulo ${\displaystyle t}$ en la malla.

${\displaystyle E_{reg=\l Vert {\textbf {L}{\textbf {X}\rVert _{2} {2}}$ es la energía que regulariza la forma de los triángulos para mantener su forma de pozo.

${\displaystyle E_{bar}=\sum _{v\in Vert max(0,-log(1-n_{R}.(x-x_{R})+d_{TH})\rVert ^{2}$ es la energía barrera para asegurar que la superficie no deforma más allá de un determinado umbral de distancia ${\displaystyle ♪♪$.

Diferente diseño de patrón caustico de renderización inversa

Principio básico

Los gráficos inversos son un método para observar los datos de una imagen e inferir todas las propiedades posibles, incluida la geometría 3D, la iluminación, los materiales y el movimiento, para generar una imagen realista. En los gráficos por computadora convencionales, para representar una imagen con la apariencia y los efectos deseados, se le asignan todas las propiedades/características relevantes. Esto podría describirse como el método directo. Por el contrario, en el diseño cáustico, las propiedades y características de los objetos (especialmente la superficie del material) no son triviales. La restricción dada es la imagen de destino a obtener. Por tanto, el objetivo es obtener sus propiedades y características observando e infiriendo la imagen objetivo. Este puede considerarse el método inverso/hacia atrás.

La siguiente es la función de pérdida básica que explica cómo optimizar los parámetros:

${\displaystyle L(c)=\lVert f(c)-I\rVert ^{2}$

dónde,

L()c): función de pérdida, error cuadrado de la imagen renderizada y el objetivo

c: contiene elementos que pueden influir en la imagen generada

I: imagen objetivo

Tubería diseñada

Al principio, se diseña el patrón objetivo y se calcula el pase hacia adelante para obtener el patrón sintético. Se compara con el patrón objetivo y se pierde. La objeción es dejar que el patrón sintético sea lo más similar posible al patrón objetivo. Y luego haga la propagación hacia atrás para obtener las propiedades optimizadas que se deben usar en la fabricación de cáusticos.

Elementos que contribuyen a la imagen generada

• (Aspecto)${\displaystyle A}$): la apariencia de superficie por píxel se modela como producto de textura imitada y brillo por píxel.
• Geometría${\displaystyle V}$): asumir una escena 3D para ser aproximada por triángulos, parametizada por vértices ${\displaystyle V}$.
• Cámara${\displaystyle C}$): longitud focal, punto de vista, el centro de la cámara.

Podría haber más elementos, por ejemplo albedo y coeficiente de refracción.

Marco diferenciado general

Introduzca U como una variable intermedia que indique las posiciones de las coordenadas de los vértices proyectadas en 2D. El gradiente de estas propiedades se puede derivar indirectamente mediante la regla de la cadena.

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} F}{\partial V}={\frac {\partial f}{\partial U}\times {\frac {\partial U}{\partial U}{\partial V}}$

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} F}{\partial V}={\frac {\partial f}{\partial A}\times {\frac {\partial A}{\partial V}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial ### {\frac {\partial f}\times {\frac {\partial U}{\partial U}{\partial U} {\partial C}$

Después de aplicar el descenso gradiente estocástico, el óptimo ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle C}$ podría lograrse. Posteriormente, estas cantidades se utilizan para tallar o fresar el material para generar el patrón de destino.

Implementación

Un enfoque común es utilizar la capacidad de realizar operaciones diferenciales en varios marcos/bibliotecas de autodiferenciación de aprendizaje profundo, como: Tensorflow, PyTorch, Theano.

Un enfoque más es hacer uso del marco OpenDR para construir un modelo de gráficos directos y obtener automáticamente derivadas con respecto a los parámetros del modelo para su optimización. A medida que se obtienen las propiedades de optimización, se puede generar la imagen de destino. OpenDR proporciona un método de optimización local que puede incorporarse a marcos de programación probabilística. Esto se puede utilizar para resolver el problema de la cáustica.

Fabricación

Una vez que el patrón cáustico se haya diseñado computacionalmente, los datos procesados se enviarán a la etapa de fabricación para obtener el producto final. El enfoque más común es la fabricación sustractiva (mecanizado).

Se pueden utilizar varios materiales dependiendo de la calidad deseada, el esfuerzo que requiere su fabricación y el método de fabricación disponible.

• Materiales refractivos comunes: acrílico, policarbonato, polietileno, vidrio, diamante
• Materiales reflectantes comunes: acero, hierro, aluminio, oro, plata, titanio, níquel

El diseño de patrones cáusticos tiene muchas aplicaciones en el mundo real, por ejemplo en:

• Luminaires
• Joyería
• Arquitectura
• Producción de vidrio decorativo