Categoría preaditiva

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Categoría matemática cuyo hom establece grupos abelianos

En matemáticas, específicamente en teoría de categorías, una categoría preaditiva es otro nombre para una categoría-Ab, es decir, una categoría que se enriquece sobre la categoría de grupos abelianos, Ab. Es decir, una categoría Ab C es una categoría tal que todo hom-set Hom(A,B) en C tiene la estructura de un grupo abeliano, y la composición de morfismos es bilineal, en el sentido que la composición de morfismos se distribuye sobre la operación de grupo. En fórmulas:

{displaystyle fcirc (g+h)=(fcirc g)+(fcirc h)}

{displaystyle (f+g)circ h=(fcirc h)+(gcirc h),}

Algunos autores han usado el término categoría aditiva para categorías preaditivas, pero aquí seguimos la tendencia actual de reservar este término para ciertas categorías especiales preaditivas (ver § Casos especiales a continuación).

Ejemplos

El ejemplo más obvio de una categoría preaditiva es la propia categoría Ab. Más precisamente, Ab es una categoría monoide cerrada. Tenga en cuenta que la conmutatividad es crucial aquí; asegura que la suma de dos homomorfismos de grupo es nuevamente un homomorfismo. En cambio, la categoría de todos los grupos no está cerrada. Ver categoría medial.

Otros ejemplos comunes:

La categoría de módulos (izquierda) sobre un anillo R, en particular:
- la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K.
El álgebra de matrices sobre un anillo, pensado como una categoría como se describe en el artículo Categoría aditivo.
Cualquier anillo, pensado como una categoría con un solo objeto, es una categoría preadditiva. Aquí la composición de los morfismos es sólo la multiplicación del anillo y el conjunto único del hom-set es el grupo abeliano subyacente.

Estos le darán una idea de qué pensar; para ver más ejemplos, siga los enlaces a § Casos especiales a continuación.

Propiedades elementales

Debido a que cada hom-set Hom(A,B) es un grupo abeliano, tiene un elemento cero 0. Este es el morfismo cero de A a B. Debido a que la composición de los morfismos es bilineal, la composición de un morfismo cero y cualquier otro morfismo (a cada lado) debe ser otro morfismo cero. Si piensas que la composición es análoga a la multiplicación, esto significa que la multiplicación por cero siempre da como resultado un producto de cero, lo cual es una intuición familiar. Ampliando esta analogía, el hecho de que la composición sea bilineal en general se convierte en la distributividad de la multiplicación sobre la suma.

Enfocándose en un solo objeto A en una categoría preaditiva, estos hechos dicen que el endomorfismo hom-set Hom(A,A) es un anillo, si definimos la multiplicación en el anillo como composición. Este anillo es el anillo de endomorfismo de A. A la inversa, todo anillo (con identidad) es el anillo de endomorfismo de algún objeto en alguna categoría preaditiva. De hecho, dado un anillo R, podemos definir una categoría preaditiva R para tener un único objeto A, sea Hom(A,A) sea R, y sea la composición una multiplicación de anillos. Dado que R es un grupo abeliano y la multiplicación en un anillo es bilineal (distributiva), esto convierte a R en una categoría preaditiva. Los teóricos de categorías a menudo pensarán en el anillo R y la categoría R como dos representaciones diferentes de la misma cosa, por lo que un teórico de categorías particularmente perverso podría definir un anillo como un preaditivo categoría con exactamente un objeto (de la misma manera que un monoide puede verse como una categoría con un solo objeto, y olvidando la estructura aditiva del anillo nos da un monoide).

De esta forma, las categorías preaditivas pueden verse como una generalización de los anillos. Muchos conceptos de la teoría de anillos, como los ideales, los radicales de Jacobson y los anillos de factores, se pueden generalizar de manera sencilla a este entorno. Al intentar escribir estas generalizaciones, uno debe pensar en los morfismos en la categoría preaditiva como los "elementos" del "anillo generalizado".

Funtores aditivos

Si $C$ y $D$ son categorías preaditivas, luego un functor ${displaystyle F:Crightarrow D}$ es aditivo si también se enriquece con la categoría $Ab$ . Eso es, $F$ es aditivo si y sólo si, dado cualquier objeto $A$ y $B$ de $C$ , la función ${displaystyle F:{text{Hom}}(A,B)rightarrow {text{Hom}}(F(A),F(B))}$ es un grupo de homomorfismo. La mayoría de los functores estudiados entre categorías preadditivas son aditivos.

Por ejemplo, si los anillos $R$ y $S$ están representados por las categorías preadditivas de un solo objeto $C_{R}$ y $C_{S}$ , entonces un homomorfismo anillo de $R$ a $S$ está representado por un functor aditivo de $C_{R}$ a $C_{S}$ , y al revés.

Si $C$ y $D$ categorías y categorías $D$ es preaditivo, entonces la categoría de functor ${displaystyle D^{C}}$ es también preaditivo, porque las transformaciones naturales pueden ser agregadas de manera natural. Si $C$ es preaditivo también, entonces la categoría ${displaystyle {text{Add}}(C,D)}$ de los funerarios aditivos y todas las transformaciones naturales entre ellos también es preaditivo.

Este último ejemplo conduce a una generalización de módulos sobre anillos: Si $C$ es una categoría preaditiva, entonces ${displaystyle {text{Mod}}(C)mathbin {:=} {text{Add}}(C,Ab)}$ se llama categoría de módulo sobre $C$ . Cuando $C$ es la categoría preadditiva de un objeto correspondiente al anillo $R$ , esto reduce a la categoría ordinaria (izquierda) $R$ -módulos. De nuevo, prácticamente todos los conceptos de la teoría de los módulos se pueden generalizar a este escenario.

Categorías R-lineales

Más generalmente, se puede considerar una categoría $C$ enriquecido sobre la categoría monoidal de módulos sobre un anillo conmutativo $R$ , llamado $R$ - Categoría lineal. En otras palabras, cada hom-set ${displaystyle {text{Hom}}(A,B)}$ dentro $C$ tiene la estructura de un $R$ -modulo, y composición de morfismos es $R$ - Bilinear.

Al considerar los funtores entre dos categorías lineales $R$ , a menudo se restringe a aquellos que son $R$ -linear, por lo que aquellos que inducen $R$ -linear mapas en cada hom-set.

Biproductos

Cualquier producto finito en una categoría de preaditivo también debe ser un coproducto y viceversa. De hecho, los productos y coproductos finitos en categorías preaditivas se pueden caracterizar por la siguiente condición de biproducto:

El objeto B es un biproducto de los objetos A₁,... A_n si y sólo si hay morfismos de proyección p_j:B→A_j y morfismos de inyección i_j:A_j→B, tal que (i₁∘p₁) + ··· + (i_n∘p_n) es el morfismo de identidad B, p_j∘i_j es el morfismo de identidad A_j, y p_j∘i_k es el morfismo cero de A_k a A_j siempre j y k son distintos.

Este biproducto a menudo se escribe A₁ ⊕ ··· ⊕ A_n, tomando prestada la notación para la suma directa. Esto se debe a que el biproducto en categorías preaditivas bien conocidas como Ab es la suma directa. Sin embargo, aunque las sumas directas infinitas tienen sentido en algunas categorías, como Ab, los biproductos infinitos no tienen sentido (ver Categoría de grupos abelianos § Propiedades).

La condición de biproducto en el caso n = 0 se simplifica drásticamente; B es un subproducto nulo si y solo si el morfismo identidad de B es el morfismo cero de B a sí mismo, o de manera equivalente si el hom-set Hom(B,B) es el anillo trivial. Tenga en cuenta que debido a que un subproducto nulo será tanto terminal (un producto nulo) como inicial (un coproducto nulo), de hecho será un objeto cero. De hecho, el término "objeto cero" se originó en el estudio de categorías preaditivas como Ab, donde el objeto cero es el grupo cero.

Una categoría preaditiva en la que existen todos los subproductos (incluido un objeto cero) se llama aditivo. En ese tema se pueden encontrar más datos sobre los subproductos que son principalmente útiles en el contexto de las categorías de aditivos.

Núcleos y conúcleos

Debido a que los hom-sets en una categoría preaditiva tienen cero morfismos, la noción de kernel y cokernel tener sentido. Es decir, si f: A → B es un morfismo en una categoría preaditiva, entonces el núcleo de f es el ecualizador de f y el morfismo cero de A a B, mientras que el conúcleo de f es el coecualizador de f y este morfismo cero. A diferencia de los productos y coproductos, el kernel y el cokernel de f generalmente no son iguales en una categoría de preaditivo.

Al especializarse en las categorías preaditivas de grupos abelianos o módulos sobre un anillo, esta noción de núcleo coincide con la noción ordinaria de núcleo de un homomorfismo, si se identifica el núcleo ordinario K de f: A → B con su incrustación K → A. Sin embargo, en una categoría preaditiva general pueden existir morfismos sin núcleos y/o conúcleos.

Existe una relación conveniente entre kernel y cokernel y la estructura del grupo abeliano en los hom-sets. Dados los morfismos paralelos f y g, el ecualizador de f y g es solo el núcleo de g − f, si cualquiera de los dos existe, y el hecho análogo es cierto para los coigualadores. El término alternativo "núcleo de diferencia" para ecualizadores binarios se deriva de este hecho.

Una categoría de preaditivos en la que existen todos los subproductos, granos y co-núcleos se llama pre-abeliano. En ese tema se pueden encontrar más datos sobre granos y conúcleos en categorías preaditivas que son principalmente útiles en el contexto de categorías preabelianas.

Casos especiales

La mayoría de estos casos especiales de categorías preaditivas se han mencionado anteriormente, pero se recopilan aquí como referencia.

A anillo es una categoría preaditiva con exactamente un objeto.
An categoría aditiva es una categoría preadditiva con todos los biproductos finitos.
A pre-abelian category es una categoría aditiva con todos los kernels y cokernels.
An categoría abeliana es una categoría pre-abeliana tal que cada monomorfismo y epimorfismo es normal.

Las categorías preaditivas más comúnmente estudiadas son, de hecho, categorías abelianas; por ejemplo, Ab es una categoría abeliana.

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