Categoría preabeliana

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Categoría

En matemáticas, específicamente en teoría de categorías, una categoría preabeliana es una categoría aditiva que tiene todos los núcleos y conúcleos.

Explicado con más detalle, esto significa que una categoría C es preabeliana si:

C es preaditivo, que se enriquece sobre la categoría monoidal de grupos abelianos (equivalentemente, todos los hom-sets en C son grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilinear);
C tiene todos los productos finitos (equivalentemente, todos los coproductos finitos); nota que porque C es también los productos preadditivos y finitos son los mismos que los coproductos finitos, haciéndolos biproductos;
dado cualquier morfismo f:A→B dentro C, el igualador de f y el morfismo cero de A a B existe (esto es por definición el núcleo de f), al igual que el coequaliser (esto es por definición el cokernel de f).

Tenga en cuenta que el morfismo cero en el elemento 3 se puede identificar como el elemento de identidad del conjunto hom Hom(A,B), que es un grupo abeliano por Artículo 1; o como el único morfismo A → 0 → B, donde 0 es un objeto cero, cuya existencia está garantizada por el elemento 2.

Ejemplos

El ejemplo original de una categoría aditiva es la categoría Ab de grupos abelianos. Ab es preaditivo porque es una categoría monoidal cerrada, el biproducto en Ab es la suma directa finita, el núcleo es la inclusión del núcleo ordinario de la teoría de grupos y el conúcleo es el mapa del cociente en el cokernel ordinario de la teoría de grupos.

Otros ejemplos comunes:

La categoría de módulos (izquierda) sobre un anillo R, en particular:
- la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K.
La categoría de (Hausdorff) grupos topológicos abelianos.
La categoría de espacios de Banach.
La categoría de espacios Fréchet.
La categoría de espacios natos (Hausdorff).

Estos le darán una idea de qué pensar; para ver más ejemplos, consulte categoría abeliana (cada categoría abeliana es pre-abeliana).

Propiedades elementales

Cada categoría preabeliana es, por supuesto, una categoría aditiva, y muchas propiedades básicas de estas categorías se describen bajo ese tema. Este artículo se ocupa de las propiedades que tienen específicamente debido a la existencia de kernels y cokernels.

Aunque los kernels y cokernels son tipos especiales de ecualizadores y coecualizadores, una categoría preabeliana en realidad tiene todos los ecualizadores y coecualizadores. Simplemente construimos el ecualizador de dos morfismos f y g como el núcleo de su diferencia g − f ; del mismo modo, su coigualador es el conúcleo de su diferencia. (El término alternativo 'núcleo de diferencia' para los ecualizadores binarios se deriva de este hecho). Dado que las categorías preabelianas tienen todos los productos y coproductos finitos (los biproductos) y todos los ecualizadores y coecualizadores binarios (como se acaba de describir), entonces, por un teorema general de la teoría de categorías, tienen todos los límites y colímites finitos. Es decir, las categorías preabelianas son finitamente completas.

La existencia tanto de núcleos como de conúcleos da una noción de imagen y coimagen. Podemos definir estos como

imf:= ker cokerf;

coimf:= coker kerf.

Es decir, la imagen es el kernel del cokernel, y la coimagen es el cokernel del kernel.

Tenga en cuenta que esta noción de imagen puede no corresponder a la noción habitual de imagen o rango de una función, incluso suponiendo que los morfismos en la categoría son funciones. Por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos topológicos, la imagen de un morfismo en realidad corresponde a la inclusión de la clausura del rango de la función. Por esta razón, las personas suelen distinguir los significados de los dos términos en este contexto, usando "imagen" para el concepto categórico abstracto y "rango" para el concepto elemental de teoría de conjuntos.

En muchas situaciones comunes, como la categoría de conjuntos, donde existen imágenes y coimágenes, sus objetos son isomorfos. Dicho más precisamente, tenemos una factorización de f: A → B como

A→ C→ I→ B,

donde el morfismo de la izquierda es la coimagen, el morfismo de la derecha es la imagen y el morfismo del medio (llamado paralelo de f) es un isomorfismo.

En una categoría preabeliana, esto no es necesariamente cierto. La factorización que se muestra arriba siempre existe, pero el paralelo podría no ser un isomorfismo. De hecho, el paralelo de f es un isomorfismo para todo morfismo f si y sólo si la categoría preabeliana es una categoría abeliana. Un ejemplo de una categoría pre-abeliana no abeliana es, una vez más, la categoría de grupos abelianos topológicos. Como se remarca, la imagen es la inclusión del cierre del rango; sin embargo, la coimagen es un mapa de cociente en el rango mismo. Así, el paralelo es la inclusión del rango en su clausura, lo cual no es un isomorfismo a menos que el rango ya estuviera cerrado.

Funtores exactos

Recuerde que todos los límites y colímites finitos existen en una categoría preabeliana. En la teoría general de categorías, un funtor se llama exacto por la izquierda si conserva todos los límites finitos y exacto por la derecha si conserva todos los colímites finitos. (Un funtor es simplemente exacto si es exacto a la izquierda y exacto a la derecha).

En una categoría preabeliana, los funtores exactos se pueden describir en términos particularmente simples. Primero, recuerda que un funtor aditivo es un funtor F: C → D entre categorías preaditivas que actúa como un homomorfismo de grupo en cada hom-set. Entonces resulta que un funtor entre categorías preabelianas queda exacto si y solo si es aditivo y conserva todos los núcleos, y es exacto si y solo si es aditivo y conserva todos los núcleos.

Tenga en cuenta que un funtor exacto, debido a que conserva tanto los núcleos como los conúcleos, conserva todas las imágenes y coimágenes. Los funtores exactos son más útiles en el estudio de categorías abelianas, donde pueden aplicarse a sucesiones exactas.

Estructura máxima exacta

En cada categoría preabeliana ${mathcal {A}}$ existe una estructura exacta ${displaystyle {mathcal {E}}_{text{max}}}$ que es maximal en el sentido de que contiene cada otra estructura exacta. La estructura exacta ${displaystyle {mathcal {E}}_{text{max}}}$ consiste en precisamente esos pares de kernel-cokernel $(f,g)$ Donde $f$ es un núcleo semiestable y ${displaystyle {mathcal {g}}}$ es un cokernel semi-estable. Aquí, $f:Xrightarrow Y$ es un núcleo semiestable si es un núcleo y para cada morfismo ${displaystyle h:Xrightarrow Z}$ en el diagrama de empuje

{displaystyle {begin{array}{ccc}X&{xrightarrow {f}}&Y\downarrow _{h}&&downarrow _{h'}\Z&{xrightarrow {f'}}&Qend{array}}}

el morfismo $f'$ es otra vez un núcleo. ${displaystyle g:Xrightarrow Y}$ es un cokernel semi-estable si es un cokernel y para cada morfismo ${displaystyle h:Zrightarrow Y}$ en el diagrama de retroceso

{displaystyle {begin{array}{ccc}P&{xrightarrow {g'}}&Z\downarrow _{h'}&&downarrow _{h}\X&{xrightarrow {g}}&Yend{array}}}

el morfismo $g'$ es otra vez un cokernel.

Una categoría preabeliana ${mathcal {A}}$ es quasi-abelian si y sólo si todos los pares de kernel-cokernel forman una estructura exacta. Un ejemplo para el cual este no es el caso es la categoría de espacios natos (Hausdorff).

El resultado también es válido para categorías aditivas que no son preabelianas sino karoubianas.

Casos especiales

An categoría abeliana es una categoría pre-abeliana tal que cada monomorfismo y epimorfismo es normal.
A quasi-abelian category es una categoría pre-abeliana en la que los núcleos están estables bajo empujes y cokernels están estables bajo retrocesos.
A categoría semiabeliana es una categoría pre-abeliana en la que para cada morfismo $f$ el morfismo inducido ${displaystyle {overline {f}}:operatorname {coim} frightarrow operatorname {im} f}$ es siempre un monomorfismo y un epimorfismo.

Las categorías preabelianas más comúnmente estudiadas son, de hecho, categorías abelianas; por ejemplo, Ab es una categoría abeliana. Las categorías preabelianas que no son abelianas aparecen, por ejemplo, en el análisis funcional.

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